第1章 直线与圆章末整合提升〔含真题体验〕(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线与圆的章末整合，系统梳理直线方程求解、位置关系判断、圆的方程及直线与圆位置关系等核心知识点，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料以数学运算、逻辑推理、直观想象为核心素养导向，设计“培优”例题与真题体验，通过一题多解、图形分析等方法，助力学生提升运算能力与推理意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

章末整合提升〔含真题体验〕 一、数学运算 　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.数学运算主要表现为：能结合具体问题，明确运算对象；依据运算规则，形成运算思路和步骤；求得运算结果，解决问题.本章中直线与圆的方程的求解体现了核心素养中的数学运算. 培优一　直线的方程与直线的位置关系 根据下列条件分别求直线的方程，并化为一般式方程： （1）经过点A（5，3），且倾斜角为120°； （2）过点B（－3，0），且垂直于x轴； （3）过点P（－1，2），且与直线x－2y－3＝0平行； （4）过点B（1，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数. 解：（1）直线的斜率为－，由点斜式方程得y－3＝－（x－5），即x＋y－3－5＝0. （2）x＝－3，即x＋3＝0. （3）根据题意可设直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠－3），将点P（－1，2）代入可得C＝5，可得直线l的方程为x－2y＋5＝0. （4）当直线过原点时满足题意， 此时设直线方程为y＝ax，由直线过点B（1，2）， 得a＝2，故直线方程为y＝2x，化为一般式为2x－y＝0. 当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即－＝1，解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0. 培优二　直线的交点与距离问题 〔多选〕已知直线l1：x－ay＋2＝0，l2：ax＋y－2＝0，a∈R，则以下结论正确的是（　　） A.不论a为何值，l1与l2都互相垂直 B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A（－2，0）和B（0，2） C.不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D.设O为坐标原点，如果l1与l2交于点M，则｜MO｜的最大值是2 解析：ABD　由于1×a＋（－a）×1＝0，所以l1与l2互相垂直，故不论a为何值，l1与l2都互相垂直，故A正确；直线l1：x－ay＋2＝0，当y＝0时，x＝－2，所以恒过点（－2，0），l2：ax＋y－2＝0，当x＝0时，y＝2，所以恒过点（0，2），故B正确；设直线l1：x－ay＋2＝0上任意一点P（x，y），则点P关于直线x＋y＝0的对称点为P'（－y，－x），将点P'（－y，－x）代入直线l2，可得x＋ay＋2＝0，与P（x，y）在直线l1：x－ay＋2＝0上矛盾，故C错误；联立方程组解得故M点坐标为，则｜MO｜＝＝≤2，则｜MO｜的最大值是2，故D正确.故选A、B、D. 培优三　圆的方程 〔一题多解〕（2022·全国甲卷14题）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　（x－1）2＋（y＋1）2＝5　. 解析：法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M， ∴解得 ∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 二、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.本章中判断直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系就是从一般到特殊的推理. 培优四　两条直线的平行与垂直 （1）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：（m－1）x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）已知直线l1：2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：（a＋1）x＋（a－1）y＝0，若l1⊥l2，则a＝（　B　） A.2或 B.或－1 C. D.－1 解析：（1）当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2＝m（m－1），解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件. （2）因为直线l1：2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：（a＋1）x＋（a－1）y＝0，l1⊥l2，所以2a（a＋1）＋（a＋1）（a－1）＝0，解得a＝或a＝－1.故选B. 培优五　直线与圆、圆与圆的位置关系 （1）（2022·北京卷3题）若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　A　） A. B.－ C.1 D.－1 （2）已知圆C1：x2＋y2－4x－4y＝0与x，y正半轴分别交于点A，B，半径为的圆C2与圆C1外切，则圆心C2变动时，｜C2A｜2＋｜C2B｜2的值（　D　） A.不是定值 B.恒为36 C.恒为 D.恒为52 解析：（1）依题意可知圆心坐标为（a，0），又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝，故选A. （2）圆C1的标准方程为（x－2）2＋（y－2）2＝8，圆心为C1（2，2），半径r1＝2，在圆C1的方程中，令y＝0，可得x2－4x＝0，解得x＝0或x＝4，令x＝0可得y2－4y＝0，解得y＝0或y＝4，则点A（4，0），B（0，4），因为圆C1与圆C2外切，所以｜C1C2｜＝r1＋＝2＋＝3，设C2（x，y），则（x－2）2＋（y－2）2＝18，｜C2A｜2＋｜C2B｜2＝（x－4）2＋y2＋x2＋（y－4）2＝2x2＋2y2－8x－8y＋32＝2[（x－2）2＋（y－2）2]＋16＝52.故选D. 三、直观想象 　　在直观想象核心素养的形成过程中，学生可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维.直观想象主要表现为：借助空间形式认识事物的位置关系与变化规律；利用图形描述与分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；运用空间想象，探索解决问题的思路.本章中题目在计算弦长、切线、最值问题时常体现学科素养中的直观想象. 培优六　弦长与切线问题 （1）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（　B　） A. B. C. D. （2）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　B　） A.1 B.2 C.3 D.4 （3）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切与点B，则｜AB｜＝　　. 解析：（1）因为圆与两坐标轴都相切，点（2，1）在该圆上，所以可设该圆的方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），所以（2－a）2＋（1－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为（1，1）或（5，5），所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B. （2）将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程（x－3）2＋y2＝9，设圆心为C，则C（3，0），半径r＝3.设点（1，2）为点A，过点A（1，2）的直线为l，因为（1－3）2＋22＜9，所以点A（1，2）在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝｜AC｜＝＝2，所以｜BD｜min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B. （3）设圆心为M，由直线的斜率为知此切线的倾斜角为60°，又切线与y轴交点为A，所以∠MAB＝30°，又∠ABM＝90°，且MB＝1，所以AM＝2，即｜AB｜＝＝. 培优七　与圆有关的最值问题 〔一题多解〕已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为（　　） A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0 解析：D　法一　由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，　① 得☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由得所以P（－1，0）.易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0，　② 由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D. 法二　因为☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝＝，所以只需｜PM｜最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A、C.易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P（－1，0）.因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与☉M相切，所以A（－1，1）.因为点A（－1，1）在直线AB上，故排除B.故选D. 1.（2025·全国Ⅰ卷7题）已知圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是（　　） A.（0，1） B.（1，3） C.（3，＋∞） D.（0，＋∞） 解析：B　易得圆心（0，－2）到直线y＝x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个.故选B. 2.（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1 B. C. D. 解析：B　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.故选B. 3.（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　－2（或－或或2，填写任意一个均可）　. 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 4.〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0（答案不唯一）　. 解析：法一　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点，设公切线l2的方程为y＋＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝（x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意. 5.〔一题多解〕（2022·新高考Ⅱ卷15题）设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是　　. 解析：法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 法二　易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为（3，－2），半径为1，所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤≤－，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $