综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本套综合训练以分层递进+跨模块整合为特色，通过AB卷夯实基础与能力提升，综合卷聚焦实战，系统覆盖数列、排列组合、三角函数等核心模块，培养数学抽象与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|选择4/填空1/解答2|等差等比通项与求和|概念生成→公式推导→实际应用| |排列组合与概率|选择3/填空2/解答1|计数原理与古典概型|分步分类思想→实际问题建模| |三角函数|选择2/填空1|图像变换与性质|函数图像→变换规律→性质应用| |二项式定理|选择1/填空2|展开式与系数|杨辉三角→通项公式→常数项求解|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1，4，9，_____，，中所空的数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出数列规律填空即可解得. 【详解】由题，设数列中所空的数字为，对数列相邻两项作差， ， 则，解得. 故选：D 2．已知数列为正项等比数列，记前n项和为，若，，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设数列的公比为， 由，得，解得，（舍去）， 所以数列的通项公式为. 故选：D 3．从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列组合的意义逐一检查选项即可. 【详解】对于A，从30名儿童中选3名扮演三种小动物，相当于从30个元素中挑选出3个元素进行排列，是一个排列问题，故不同的编排方法为，故A正确； 对于B，表示的意思是从相当于从30个元素中挑选出3个元素，没有排列，故B错误； 对于C，，，由A选项可知其错误，故C错误； 对于D，，由B选项可知其错误，故D错误. 故选：A. 4．若是等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与关系计算求解. 【详解】， 故选：B. 5．在等比数列中，，，则（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】D 【分析】根据等比数列性质得到，求出答案. 【详解】由等比数列性质可得，即，解得. 故选：D 6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】由题可得函数，再根据三角函数图象变换规律，即得． 【详解】由于函数， 故把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：D． 7．已知数列，，，则（       ） A．7 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【分析】直接代入数列的通项公式求解即可. 【详解】因为数列满足， 所以. 故选：D. 8．已知，D是边（不包括端点）上的动点，将沿直线折起到的位置，其中在平面内的射影H恰在直线上，则（    ） A．当时，，C两点间的距离最大 B．当时，，C两点间的距离最小 C．当时，，C两点间的距离最大 D．当时，，C两点间的距离最小 【答案】D 【解析】如图，过作，垂足为，连接，，中，角，，的对边分别为，，，根据余弦定理，求出的表达式，进而可判断出结果. 【详解】解:如图，过作，垂足为，连接，则，设， 中，角，，的对边分别为，，，则，， 由余弦定理知， 所以． 因为 ， 所以， 所以时，最小，此时. 故选：D 9．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是（　　） A．在中， B．在中， C．在中， D．在中，正弦值较大的角所对的边也较大 【答案】B 【详解】对于项，当时，且，∴， 但是反过来若，或，即或.不一定 故选：B 10．已知等比数列的公比为2，，则前5项和为（   ） A．45 B．93 C．141 D．189 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，公比为2， 所以. 故选：B. 11．已知等比数列的前三项依次为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比中项的公式即可解出结果. 【详解】解：因为为等比数列的前三项， 所以， 解得. 即等比数列的前三项依次为. 则. 所以. 故选：D 12．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（    ）． A．10 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】利用分类计数原理即可得解. 【详解】由题意，每一种方法都能证明该问题， 根据分类加法计数原理，可得共有（种）， 故选：A． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 14．二项式展开式的常数项为（ ） A． B．60 C．120 D．240 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得， 所以展开式的常数项为， 故选：B． 15．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 16．要得到函数的图像，需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】由正弦型函数的图像变换即可得解. 【详解】由函数的图像，得到函数的图像， 即由变为， 根据“左加右减”可得图像向右平移了个单位. 故选：D. 17． =（ ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据正弦二倍角公式进行化简计算. 【详解】. 故选：A. 18．在等比数列中，，，则（    ） A．12 B．16 C．36 D．64 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式结合条件求解即可. 【详解】在等比数列中，，，设公比为， 则，即， 所以 故选：B. 19．设点，为双曲线的两焦点，点在双曲线上，且，则的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，在双曲线中，    令， 由双曲线的定义可知，， 由余弦定理可知： 在中， 化简得， 则的面积， 故选：D 20．已知，则（    ） A．8 B．5 C．2 D．4 【答案】D 【分析】取代入等式可得，分别取，代入等式，组成方程组，联立即可得，代入即可求得结果. 【详解】解：因为， 取代入可得：， 取代入可得：①， 取代入可得：②， ①+②再除以2可得：，所以， ①-②再除以2可得：， 所以. 故选：D 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则___________. 【答案】220 【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可. 【详解】由题意，得， 所以 . 故答案为：220. 22．的值是__________. 【答案】1 【分析】利用正切的和差公式变形即可得解. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：. 23．二项式的展开式中含的项为_____． 【答案】 【分析】根据题意可求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，进而求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，即， 所以二项式的展开式中含的项为 ， 故答案为：. 24．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则_________． 【答案】 【分析】因要求变换之前的函数解析式，故应逆向考虑，将函数进行先横向伸长再向左平移即得所求函数解析式. 【详解】把函数的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， 再向左平移个单位，得到函数，即的图象. 故答案为：. 25．已知数列的首项，且满足，则______. 【答案】 【分析】根据等差数列的定义以及通项公式求解即可. 【详解】∵数列的首项，且满足，∴， ∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列， ∴.∴. 故答案为：. 26．若 ，且α是第二象限角，则____________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为是第二象限角， ，所以 ，则 ， 因为，所以． 故答案为：. 27．函数的最小值是______． 【答案】/ 【分析】利用余弦二倍角公式及辅助角公式化简解析式，然后根据正弦型函数性质求最值即可. 【详解】 ， 当时，取最小值，最小值是， 故答案为：. 28．为了筹办某运动会开幕式，导演组从某高校的6名男生代表和6名女生代表中选取8人加入开幕式志愿者团队．在志愿者招募的过程中，为了平衡男女比例，要求本次选取的8人中至少有3名女生，则选取的8人中男女生人数均等的概率为______． 【答案】/0.46875 【分析】求出选取8人且8人中至少有3名女生的所有选法数，继而求出选取的8人中男女生人数均等的选法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】从6名男生和6名女生中选取8人且8人中至少有3名女生， 共有种选法， 选取的8人中男女生人数均等的选法有（种）， 因此选取的8人中男女生人数均等的概率为． 故答案为： 29．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是________ ．（用集合表示） 【答案】 【分析】本题考查随机变量的取值问题，注意题目中球是有放回的，结合列表法分析说明， 【详解】因为两球号码和可出现同号相加，如下表所示： 一 二 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 所以X的可能取值是. 故答案为：. 30．（1）凸五边形有_____条对角线；（2）凸边形有_______条对角线． 【答案】 5 【分析】( 1 )画出凸五边形图象即可； ( 2)凸n边形每个顶点与它不相邻的个顶点的连线有条,共条边，根据乘法原理求出即可. 【详解】（1）如图， 故凸五边形的对角线数是5. （2）凸n边形，每个顶点与它不相邻的个顶点的连线有条，共个顶点， 由分步乘法计数原理有条，但是两顶点确定一条对角线， 故凸n边形对角线有条对角线. 故答案为：5；. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知随机变量服从正态分布，且.求的值. 【答案】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 32．已知． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由特殊角的三角函数值即可求解的值. （2）由同角的三角函数的平方关系和商数关系求解余弦值和正切值，再由两角差的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， 所以， 所以. 33．10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？ 【答案】 【分析】根据全排列的定义求解. 【详解】将第一排的5个位置从左至右编号，号码分别为1到5；再将第二排的5个位置从左至右编号，号码分别为6到10． 这样，问题就转化为：10名学生排在编号为1到10的十个位置上，共有多少种不同的排法？这时，完成一个排列可以分为以下十个步骤： 第一步：确定坐在1号位上的学生，有10种方法； 第二步：确定坐在2号位上的学生，有9种方法； …… 第k步：确定坐在k号位上的学生，有11—k种方法； …… 第十步：确定坐在10号位上的学生，有1种方法． 根据乘法原理，不同的排法数为． 34．已知等差数列中，，求 【答案】 【分析】先求出公差，再利用通项公式可求. 【详解】因为等差数列中，， 则， . 35．已知等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求证：是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据对数的运算，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得，设公比为，则，解得. 所以. （2）由（1）得，则. . 所以数列是首项为，公差为等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1，4，9，_____，，中所空的数字是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列为正项等比数列，记前n项和为，若，，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 3．从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（    ）种 A． B． C． D． 4．若是等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，，则（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．已知数列，，，则（       ） A．7 B．15 C．30 D．31 8．已知，D是边（不包括端点）上的动点，将沿直线折起到的位置，其中在平面内的射影H恰在直线上，则（    ） A．当时，，C两点间的距离最大 B．当时，，C两点间的距离最小 C．当时，，C两点间的距离最大 D．当时，，C两点间的距离最小 9．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是（　　） A．在中， B．在中， C．在中， D．在中，正弦值较大的角所对的边也较大 10．已知等比数列的公比为2，，则前5项和为（   ） A．45 B．93 C．141 D．189 11．已知等比数列的前三项依次为，则等于（    ） A． B． C． D． 12．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（    ）． A．10 B．16 C．20 D．24 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．二项式展开式的常数项为（ ） A． B．60 C．120 D．240 15．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ）    A． B． C． D． 16．要得到函数的图像，需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 17． =（ ） A．1 B．0 C． D．2 18．在等比数列中，，，则（    ） A．12 B．16 C．36 D．64 19．设点，为双曲线的两焦点，点在双曲线上，且，则的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 20．已知，则（    ） A．8 B．5 C．2 D．4 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则_______. 22．的值是______. 23．二项式的展开式中含的项为_____． 24．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则_______． 25．已知数列的首项，且满足，则______. 26．若 ，且α是第二象限角，则________． 27．函数的最小值是______． 28．为了筹办某运动会开幕式，导演组从某高校的6名男生代表和6名女生代表中选取8人加入开幕式志愿者团队．在志愿者招募的过程中，为了平衡男女比例，要求本次选取的8人中至少有3名女生，则选取的8人中男女生人数均等的概率为______． 29．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是________ ．（用集合表示） 30．（1）凸五边形有_____条对角线；（2）凸边形有_______条对角线． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知随机变量服从正态分布，且.求的值. 32．已知． (1)求； (2)求的值． 33．10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？ 34．已知等差数列中，，求 35．已知等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求证：是等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $