综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本综合训练紧扣教材核心考点，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合函数、数列、概率统计等跨章节知识，强化数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与三角函数|5题|图像平移、周期与最值|概念生成→性质应用→实际情境（摩天轮）| |数列|6题|等差等比通项与求和、递推关系|定义推导→公式应用→综合运算（杨辉三角）| |概率统计与排列组合|4题|正态分布、随机变量、排列问题|数据意识→模型构建→实际决策（复习安排）| |解三角形|2题|边角关系与面积计算|定理应用→多解分析→几何直观|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则数列 的公差d的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．等差数列中，，则该数列前9项和（   ） A．27 B．49 C．54 D．108 4．在△ABC中，已知 ，，，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 5．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 6．已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（ ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 7．设是公比为的等比数列，是它的前项和，若是等差数列，则等于（    ） A． B． C．或 D． 8．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图1所示.摩天轮上的座舱运动可以近似的看作单位圆上的任意一点做匀速的圆周运动，可以抽象成如图2所示.如图，已知终边交于单位圆，终边交于，终边与单位圆交点关于原点对称.下列选项正确的是（   ）          A． B． C．的弧长为 D． 9．的展开式中的常数项为（ ） A． B．50 C． D．61 10．数学源于生活，数学在生活中无处不在，学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界，1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.    不妨记第个图中的图形的周长为，则（    ） A． B． C． D． 11．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（   ） A．20 B．21 C．42 D．84 12．已知α为第四象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13． （   ） A．56 B．52 C．50 D．48 14．随机变量，（   ） A．2 B．8 C．1.6 D．16 15．数列满足（），则等于（  ） A． B． C． D． 16．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 17．在同一坐标系中画出函数，的部分图像，其中且，则下列所给的图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 18．在中，角所对的边分别为．若，则的面积等于（   ） A．或 B． C． D． 19．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（    ） A．994 B．995 C．1003 D．1004 20．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位长度后得到的函数解析式为________． 22．已知，则________. 23．设当时，函数取得最大值，则________. 24．设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则的值为________． 25．在各项为正数的等比数列中，若，则________. 26．已知成等比数列，，，则公比_______. 27．若数列满足，，则______． 28．在中，，则的度数为_________． 29．孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文､数学､英语､物理､化学､地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有________种. 30．已知长方体的顶点都在球的表面上，且，则球的表面积为_______.若与所成的角为，则与所成角的余弦值为________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知数列的前项和为，且，数列满足：，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求. 32．某班级周一的课表安排语文、数学、英语、物理、音乐、体育共6门课程． (1)若语文必须排在第一节，求共有多少种不同的排课方法？ (2)若数学与物理两门课程不能排在相邻的两节，求共有多少种不同的排课方法？ (3)若体育不排在第一节，数学不排在第六节，求共有多少种不同的排课方法？ 33．已知等差数列和正项等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 34．已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 35．已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离为 (1)求函数的解析式; (2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，当时，，从而得到，求出的取值范围. 【详解】因为，所以，故， 故，即， 因为，所以， 故， 当时，， 要想在上有且只有一个最大值点和一个最小值点， 则要，解得. 故选：A 2．已知等差数列的前项和为，若，则数列 的公差d的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将分别用与d表示，代入原式化简即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 故可化为， 解得. 故选：C. 3．等差数列中，，则该数列前9项和（   ） A．27 B．49 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列下标和的性质，及等差数列前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 所以前9项和. 故选：C. 4．在△ABC中，已知 ，，，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】在中， ，，， 则， 解得，所以. 故选：C. 5．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误； 根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确． 【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误; 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确. 故选：A. 6．已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（ ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 【答案】D 【分析】利用作差法及等比数列通项公式得到，即可判断C、D，利用特殊值判断A、B. 【详解】因为等比数列的前项和为，公比为，显然， 若，即，所以， 所以是递减数列，故C错误、D正确； 若，，则，满足， 但是，则不具有单调性，故A、B错误. 故选：D. 7．设是公比为的等比数列，是它的前项和，若是等差数列，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据是等比数列，列出，，,再根据成等差数列，列出，，的关系式，解出即可. 【详解】设等比数列的首项为， 则，， 是等差数列， ，整理得， 解得或（舍去）． 当时，是常数列，,符合题意. 故选：A. 8．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图1所示.摩天轮上的座舱运动可以近似的看作单位圆上的任意一点做匀速的圆周运动，可以抽象成如图2所示.如图，已知终边交于单位圆，终边交于，终边与单位圆交点关于原点对称.下列选项正确的是（   ）          A． B． C．的弧长为 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合三角函数的定义及两角差的余弦公式，弧长公式及扇形面积公式逐项判断即可得解. 【详解】终边交于单位圆， 所以，，， 终边交于， 所以，，， 终边与单位圆交点关于原点对称，所以， 所以，，， 对于A，，故正确； 对于B，，故错误； 对于C，点与点对应的圆心角为，则弧长为，故错误； 对于D，，故错误， 故选：. 9．的展开式中的常数项为（ ） A． B．50 C． D．61 【答案】A 【分析】因为多项式表示5个因式的乘积，所以从5个因式中选2个，2个，选1个-1；或者选1个，选1个，选3个-1；或者选5个-1，由此即可求解． 【详解】， 展开式中的项都是右边5个括号各取一项相乘得到的， 当5个括号中选2个，2个， 1个-1，所得常数为； 当5个括号中选1个， 1个， 3个-1，所得常数为； 当5个括号中选5个-1，所得常数为， ∴展开式中的常数项为． 故选：A． 10．数学源于生活，数学在生活中无处不在，学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界，1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.    不妨记第个图中的图形的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题图规律确定第n个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长. 【详解】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长； 第二个图有12条边，各边长为，故周长； 第三个图有48条边，各边长为，故周长； …… 所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条， 边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为， 故. 故选：C. 11．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（   ） A．20 B．21 C．42 D．84 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和求解即可. 【详解】因为，所以. 进而. 故选：B. 12．已知α为第四象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的基本关系式求得，再利用倍角公式即可求解. 【详解】因为为第四象限角，所以， 由及得， 所以. 故选：C. 13． （   ） A．56 B．52 C．50 D．48 【答案】A 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的计算，即可求解. 【详解】. 故选：A. 14．随机变量，（   ） A．2 B．8 C．1.6 D．16 【答案】C 【分析】根据题意结合二项分布的方差公式，代入即可求解. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以. 故选：C. 15．数列满足（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再由已知仿写作差得到，验证是否符合，最后再用等差数列的求和公式求解. 【详解】由，，得， 当时， ， 两式相减得， 则， 显然满足上式， 因此， 所以. 故选：A 16．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据三角函数的图像平移变换即可得解. 【详解】因为， 所以将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 故选：C. 17．在同一坐标系中画出函数，的部分图像，其中且，则下列所给的图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦型函数与指数函数图像与性质即可得解. 【详解】指数函数且时为增函数,时为减函数. 正弦型函数的最小正周期为. 选项,正弦型函数图像,指数函数图像为增函数,故错误. 选项,正弦型函数图像,指数函数图像为减函数,故错误. 选项,正弦型函数图像与题意要求矛盾,故错误. 选项,正弦型函数图像,指数函数图像为减函数,故正确. 故选:. 18．在中，角所对的边分别为．若，则的面积等于（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知利用正弦定理求得，进一步求得，则三角形面积可求． 【详解】在中，由， 得，即， ∵，∴B为锐角，则， ， ∴的面积等于． 故选：D． 19．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（    ） A．994 B．995 C．1003 D．1004 【答案】B 【分析】由等比、等差数列的定义及求和公式，结合实际问题列出式子，计算即可. 【详解】没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则前行的数字的和为． 每一行的个数为1，2，3，4，…， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则前行总个数为． 当时，，去掉两端“1”，可得， 则去掉两端“1”后此数列的前36项和为， 并且第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为， 所以所求数列的前35项和为． 故选：B. 20．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析角度之间的关系，利用二倍角公式、诱导公式即可求解. 【详解】若， 根据余弦二倍角公式可知： ， 根据诱导公式： . 故选：D. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位长度后得到的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据图像结合正弦型函数的性质求出的解析式，利用三角函数平移转换规律即可得解. 【详解】如图为函数的部分图像， 则， 设函数的最小正周期为， 则，解得， 所以，解得， 此时函数， 将点代入函数中可得， 则，解得， 因为，所以， 所以， 将的图像向左平移个单位长度后得， 化简后得， 故答案为：. 22．已知，则________. 【答案】/1.5 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求解即可. 【详解】，. . 故答案为：. 23．设当时，函数取得最大值，则__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解. 【详解】由辅助角公式可知，，，， 当，时取最大值， 即， ， 故答案为：. 24．设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】先根据等差数列的前项和公式分别表示出、、，再利用等比中项的性质列出方程，最后求解方程得到的值. 【详解】已知首项为，公差， 则，，， 因为、、成等比数列， 根据等比中项的性质可得， 即，整理得，解得. 故答案为：. 25．在各项为正数的等比数列中，若，则___________. 【答案】 【分析】根据等比数列等比中项的性质结合对数的运算法则即可求解. 【详解】在各项为正数的等比数列中，，则 所以. 故答案为：. 26．已知成等比数列，，，则公比_______. 【答案】或 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，及通项公式，即可求解. 【详解】因为成等比数列，，， 所以，解得， 所以，即， 所以，解得或. 故答案为：或. 27．若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据等比数列的定义以及通项公式求解即可. 【详解】设，则可变形为：. 整理得，即，因此数列是公比为2的等比数列. 由，得，因此的首项为，所以， 则.因为，所以. 故答案为：. 28．在中，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可． 【详解】∵，即， ∴， ∵，∴． 故答案为：． 29．孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文､数学､英语､物理､化学､地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有__________种. 【答案】5040 【分析】分三种情况讨论：三天复习科目的数量为或或，再求每种情况的安排方法种数可得答案. 【详解】由题意可分三种情况讨论：三天复习科目的数量为或或， ①若三天复习数量为，所有的安排方法种数为， 语文与数学安排在同一天，有， 则三天复习数量为的安排方法种数为. ②若三天复习数量为， 所有的安排方法数为种， 语文与数学安排在“3”这一天，有种， 语文与数学安排在“2”这一天，有种， 则三天复习数量为的安排方法数为168. ③若三天复习数量为，所有的安排方法数为， 语文与数学安排在同一天，有种， 则三天复习数量为的安排方法数为.综上， 不同的复习方法共有种. 故答案为：. 30．已知长方体的顶点都在球的表面上，且，则球的表面积为_______.若与所成的角为，则与所成角的余弦值为___________. 【答案】 或 【分析】根据题意，先求出长方体的体对角线的长度，即为球的直径，继而求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求出表面积；结合异面直线所成角，易得或，结合余弦定理，分类求解即可. 【详解】 因为长方体的顶点都在球的表面上， 所以球是长方体的外接球， 所以球的直径等于长方体的体对角线长， 因为底面，底面，所以， 又， 所以体对角线， 即球的直径为，所以半径， 所以球的表面积； 因为与所成的角为， 又，所以与所成的角为， 设与交于点M，则或， 当时， 因为，所以，又， 所以， 所以， 因为，所以与所成角即为， 所以与所成角的余弦值为； 当时，， 所以， 又，所以， 所以， 因为，所以与所成角即为， 所以与所成角的余弦值为； 综上所述，与所成角的余弦值为或. 故答案为：；或. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知数列的前项和为，且，数列满足：，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用，求出，再由指数式与对数式的转化求出即可. （2）运用裂项相消法和等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）因为数列的前项和， 当时，， 当时，，， 两式相减得， 又时，满足上式，所以， 又，所以. （2）已知，由（1）知，，， 所以， 当为偶数时，，， 则，所以为偶数时，是公比为的等比数列， 则 . . 32．某班级周一的课表安排语文、数学、英语、物理、音乐、体育共6门课程． (1)若语文必须排在第一节，求共有多少种不同的排课方法？ (2)若数学与物理两门课程不能排在相邻的两节，求共有多少种不同的排课方法？ (3)若体育不排在第一节，数学不排在第六节，求共有多少种不同的排课方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合排列数的应用，即可求解； （2）根据题意，结合排列数的应用，利用插空法，即可求解； （3）根据题意，结合排列数的应用，利用间接法，即可求解； 【详解】（1）由题意，语文排在第一节，其他5门课程全排到剩余5节课，故共有种不同的排课方法； （2）由题意，先将除数学和物理外的其他4门课程全排列，再将这两门课程插到5个空中， 故共有种不同的排课方法； （3）由题意，6门课程全排列共有种， 其中，体育排在第一节的排法有种，数学排在第六节的排法有种， 体育排在第一节，且数学排在第六节的排法有种； 故体育不排在第一节，数学不排在第六节的排法种数共有种. 33．已知等差数列和正项等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式求解； （2）根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，， 因为，所以，解得， 因此； （2）正项等比数列中，， 因为，所以， 因为，所以， 所以数列的前n项和． 34．已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的性质，先求出公差和首项，继而求得通项公式； （2）根据题意，先表示出，结合等差数列和等比数列的前n项和公式，利用分组并项求和法，即可求解. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d， 又，， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 35．已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离为 (1)求函数的解析式; (2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案. （2）根据题意，计算即可得到答案. 【详解】（1）由函数图象的两相邻对称中心之间的距离为， 所以周期，所以，解得，所以函数. （2）(2）由时，， 所以，即. 又时，，所以， 即， 因为对任意的，均有， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $