综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层训练与综合测试卷整合数列、三角函数、解三角形等模块，构建基础巩固到能力提升的知识网络，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|10题（如选择1-4、35题）|含基础计算、证明、求和，结合实际应用（如绿植生长）|从定义到性质到求和，体现概念生成与应用拓展| |三角函数|11题（如选择6-7、32题）|涉及求值、图像变换、性质，结合恒等变换|从定义到图像性质到实际问题，构建逻辑链条| |解三角形|5题（如选择12-13、33题）|应用正余弦定理求边、角及面积|定理推导与实际情境结合，强化知识应用| |排列组合与概率|3题（如选择5、24题）|计数问题、古典概型|分步分类思想与概率计算逻辑，培养数学思维| |统计|1题（选择18题）|线性回归方程应用|数据处理与模型构建，体现数学语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（    ） A． B． C． D． 2．等差数列，1，5，…的第5项的值是（    ） A．4 B．13 C．9 D．25 3．已知等差数列中，，则该数列的前15项的和为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 4．在等比数列中，若，则（    ） A． B．3 C． D． 5．3名同学分别报名参加学校的音乐兴趣小组、美术兴趣小组，每人限报其中1个兴趣小组，则不同的报名方法种数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 6．已知 ，则 的值等于（     ） A． B． C． D． 7．已知、均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是等差数列，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．在数列中，已知，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 12．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．或 C． D．或 13．在中，若，，，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 14．已知数列、、、、，那么在此数列中的项数是（ ） A． B． C． D． 15．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 16．校园绿植养护小组记录花草生长数据，某种四季草每月的生长量构成等差数列，已知前5个月总生长高度为55cm，前7个月总生长高度为91cm，则该生长数列的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 18．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表： 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学成绩x 100 105 90 85 80 地理成绩y 75 ■ 68 64 62 现已知其线性回归方程为，则“■”代表该生的地理成绩为（    ） A．76 B．74.85 C．73 D．72.5 19．已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则△的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．在函数的图像中，已知点和点分别为相邻的最高点和最低点，则函数的解析式为________． 22．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______． 23．已知的展开式中，各项系数之和为243，则二项式系数之和为________． 24．某高校学生会从5名男生和4名女生中选出3人参加社区服务，则这三人性别相同的概率为________． 25．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为_________. 26．要得到的图像，可将函数的图像向_______平移_______个单位. 27．已知点是角终边上的一点，则________． 28．在数列中，，，则_________. 29．函数化为的形式是________． 30．函数的最小正周期为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．从数字1、2、3、5、6中随机选出若干个数，求： (1)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (2)从无重复数字的三位奇数中选出一个数，这个数不小于521的概率？ 32．已知函数 (1)求函数的周期及值域； (2)已知分别为的内角的对边，其中A为锐角，且，求及的面积． 33．在中边长a，b是方程的两个根，且． (1)求角C的大小 (2)求边长的长度． 34．在 中，角 ，边 ，，求边 的长度. 35．已知数列满足. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列前40项的和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析数列求出递推公式即可得解. 【详解】观察下列数的特点，，，，，，，，，…， ，，，，可得， 所以， 故选：． 2．等差数列，1，5，…的第5项的值是（    ） A．4 B．13 C．9 D．25 【答案】B 【分析】根据等差数列，求出公差，依次求解第4项和第5项即可. 【详解】等差数列，1，5，…， 可知公差为， 所以第4项为，第5项为. 故选：B. 3．已知等差数列中，，则该数列的前15项的和为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】由等差数列的性质和等差数列的前n项和公式代入求解即可. 【详解】因为，且， 所以可得， 所以. 故选：C. 4．在等比数列中，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中，， 则. 故选：. 5．3名同学分别报名参加学校的音乐兴趣小组、美术兴趣小组，每人限报其中1个兴趣小组，则不同的报名方法种数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】因为3名同学分别报名参加学校的音乐兴趣小组、美术兴趣小组， 所以每人都有2种选择方法， 所以不同的报名方法种数为种. 故选：C. 6．已知 ，则 的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的余弦公式即可解得. 【详解】由两角差的余弦公式可知： ， 则 故选：C 7．已知、均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系结合三角函数的和的公式，即可求解. 【详解】因为、均为锐角， 则， ， 故选：C 8．已知是等差数列，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 ， 由得，， 则 故选：B. 9．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的值和递推公式求出，再利用的值和递推公式求出. 【详解】已知，， 当时，， 当时，. 故选：B. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正切公式可得. 【详解】． 故选：D. 11．在数列中，已知，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，可得数列是公差为2的等差数列，且，据此可求解. 【详解】由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列，且， 所以. 故选：B 12．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据余弦定理，结合已知条件即可求解. 【详解】由得，， 由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C. 13．在中，若，，，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式求解. 【详解】在中，已知，，, 所以， 故选：B. 14．已知数列、、、、，那么在此数列中的项数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用观察法得到数列的通项公式，再令，解之即可得解． 【详解】由题意可知数列的通项公式为， 令，即可得， 因此在此数列中的项数是． 故选：C． 15．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 16．校园绿植养护小组记录花草生长数据，某种四季草每月的生长量构成等差数列，已知前5个月总生长高度为55cm，前7个月总生长高度为91cm，则该生长数列的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意利用等差数列的求和公式列出方程组即可得解. 【详解】设每月生长量构成等差数列，公差为， 前5个月总生长高度为55cm，前7个月总生长高度为91cm， 则，解得， 所以公差为， 故选：. 17．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质和等差数列的基本量完成计算. 由可得，， 所以，，所以B正确； 故选：B. 18．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表： 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学成绩x 100 105 90 85 80 地理成绩y 75 ■ 68 64 62 现已知其线性回归方程为，则“■”代表该生的地理成绩为（    ） A．76 B．74.85 C．73 D．72.5 【答案】A 【分析】计算出，代入中，计算出，从而计算出答案. 【详解】， 所以■． 故选：A 19．已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则△的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】， 则， 故选：. 20．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．在函数的图像中，已知点和点分别为相邻的最高点和最低点，则函数的解析式为__________． 【答案】 【分析】由点和点分别为相邻的最高点和最低点确定和，将点代入，结合确定，从而确定的解析式. 【详解】由点和点分别为相邻的最高点和最低点， 可得， 则， 将点代入得，解得， 又. 故答案为：. 22．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义先计算，再利用二倍角公式计算即可． 【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 则， 所以， 故答案为：. 23．已知的展开式中，各项系数之和为243，则二项式系数之和为____________． 【答案】32 【分析】令可得展开式各项系数之和，即可求出，从而得到其二项式系数之和. 【详解】令可得的展开式中，各项系数之和为，解得， 所以二项式的展开式中，二项式系数之和. 故答案为： 24．某高校学生会从5名男生和4名女生中选出3人参加社区服务，则这三人性别相同的概率为________． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从5名男生和4名女生中选出3人参加社区服务共有种情况， 这三人性别相同有种情况. 所以从5名男生和4名女生中选出3人参加社区服务， 则这三人性别相同的概率为. 故答案为：. 25．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为___________. 【答案】2 【分析】由根据等差数列的求和公式和通项公式，可得等差数列的首项和公差，进而得，根据裂项相消法求的和，由恒成立可得的最小值. 【详解】由，可得，即， 由，可得，即， 所以，则， 从而. 所以 ， 要使恒成立，则. 所以的最小值为2. 故答案为：2 26．要得到的图像，可将函数的图像向___平移___个单位. 【答案】 左 【分析】根据题意，结合正弦型函数图像的平移变换规律，即可求解. 【详解】因为函数， 所以将函数的图像向左平移个单位，即可得到的图像. 故答案为：左；. 27．已知点是角终边上的一点，则________． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出的值，再利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上的一点， 所以，， 所以. 故答案为：. 28．在数列中，，，则___________. 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及裂项相消法求解即可. 【详解】因为，故可得，，…，，及， 累加可得. 则，当时，上式也成立， 所以， 则. 故答案为：. 29．函数化为的形式是________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式即可求解． 【详解】函数， 由辅助角公式得， 则. 故答案为：． 30．函数的最小正周期为________． 【答案】 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再由正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】 ， 所以最小正周期为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．从数字1、2、3、5、6中随机选出若干个数，求： (1)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (2)从无重复数字的三位奇数中选出一个数，这个数不小于521的概率？ 【答案】(1)36个 (2) 【分析】（1）根据特殊位置法，先选择个位数字，再选择十位、百位. （2）根据特殊位置法，先选择百位，再选择个位，再选择十位. 【详解】（1）从数字1、2、3、5、6中随机选数组成无重复数字的三位奇数可以分为三个步骤完成： 第一步，选一个数字作为个位数，有3种选法； 第二步，选一个数字作为十位数，有4种选法； 第三步，选一个数字作为百位数，有3种选法； 根据分步计数原理，取法种数有： 所以，可以组成36个无重复数字的三位奇数． （2）由（1）得：组成无重复数字的三位奇数共有36种可能的结果． 记这个无重复数字的三位奇数不小于521为事件. （I）当百位数为6时：个位数有1、3、5共3种选法，十位数有3种选法， 依据分步计数原理，选法数有：； （II）当百位数为5时：①若个位数为1，选法数有3种； ②若个位数为3，选法数有2种； 根据分类计数原理，事件中共包含个基本事件. 所以事件发生的概率 32．已知函数 (1)求函数的周期及值域； (2)已知分别为的内角的对边，其中A为锐角，且，求及的面积． 【答案】(1)周期；值域为 (2)； 【分析】（1）根据题意，结合正、余弦的二倍角公式，将函数化简为正弦型函数，结合正弦函数的图像和性质，即可求解； （2）根据题意，先求出角A的值，结合余弦定理，即可求得b的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的周期；值域为； （2）由（1）知， 所以， 所以，即， 又A为锐角，所以， 因为， 所以， 即，解得； 所以. 33．在中边长a，b是方程的两个根，且． (1)求角C的大小 (2)求边长的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及三角函数的诱导公式求解； （2）利用韦达定理和余弦定理求解. 【详解】（1）在中，，所以， 已知，即， 可得，解得， 因为，所以. （2）已知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 在中，设为边的长度， 根据余弦定理， 即， 因为为边长，即，所以，即. 34．在 中，角 ，边 ，，求边 的长度. 【答案】 【分析】根据三角函数的余弦定理进行边角互化，分析求解即可. 【详解】设，，， 由余弦定理：可得： ， 解得：， 又因为，所以， 即. 35．已知数列满足. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列前40项的和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)784 【分析】（1）根据递推关系证明为一个常数，从而证明为等差数列 （2）根据等差数列的通项公式，先求，再求. （3）根据分段函数的特点，列出各项，再根据数列特征分别求为奇数和为偶数的和. 【详解】（1）由得 是公差为2的等差数列. （2）由（1）可知是公差为2的等差数列 （3） 由（2）可知 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $