第七章 数列（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块一下册第七章数列，设A/B卷分层训练，B卷通过15选择+5填空+4解答题（含图形与实际情境题），强化知识整合与数学思维，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|等差等比数列通项、前n项和、性质（如第1题等差数列前n项和最值、第10题图形面积等比求和）|注重基础概念辨析与数学眼光观察| |填空题|5/15|等比数列公比、递推数列求通项（如第18题ln递推式）|强化符号意识与运算能力| |解答题|4/40|数列通项与求和（21题）、图形规律探究（22题黑点总数）、实际应用（24题树形图生长面积）|突出数学思维推理与数学语言表达，整合知识网络|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等差数列的前n项和为，且，若对任意，总有，则k的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．等比数列，，，从第项到第项的和为（    ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 5．已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 7．在等差数列中，，则数列的前9项的和（    ） A． B． C． D． 8．若等差数列前项和为，且，则公差等于（    ） A．1 B．2 C． D．3 9．记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 10．如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 11．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 12．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层根，共8层．则这堆木材共有（   ） A． B． C． D． 13．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 14．已知正项数列是公比不为的等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C．成等差数列 D．成等差数列 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知等比数列的前3项和等于首项的倍，则公比______. 17．在等比数列中，若公比，，则的值为________. 18．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝________. 19．若数列，a，b，c，是等比数列，则_________. 20．设是公差为1的等差数列，则_________． 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列是等差数列，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 22．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为. (1)求； (2)写出与的关系； (3)求数列的通项公式. 23．已知数列的通项公式为，画出数列的图象，并求数列的最小项． 24．某树形图的生长过程如图所示，一个半径为1的圆，第1次生长出2个小圆，第2次分别从2个小圆处各生长出2个更小的圆……，依次下去，它们的半径都为其前一个圆的半径的一半，第次生长后，新出现的一个小圆的面积为，求： (1)的值； (2)猜测数列为何数列，并根据猜测写出数列的通项公式； (3)第次生长后图中所有圆的面积之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等差数列的前n项和为，且，若对任意，总有，则k的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由条件中和的关系和等差数列求和公式求出，再由等差数列的前项和性质求解即可. 【详解】在等差数列中，设公差为， 则 ， 即， 所以， 所以前n项和， 故前7项和最大，故总有，所以. 故选：C. 2．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的前项和的性质求解. 【详解】因为是等比数列， 所以也组成一个新的等比数列， 因为，所以新数列的首项为2，公比为， 是新数列的第7项，所以第7项为. 故选：C. 3．等比数列，，，从第项到第项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】根据题意可知，该等比数列的公比首项为1，公比， 所以该数列的前10项和为， 前4项和为， 所以该数列从第项到第项的和为. 故选：A. 4．在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 【答案】C 【分析】由等比数的性质可知，成等比数列，据此可求解. 【详解】由题可知，成等比数列， 所以， 由代入，可得， 解得. 故选：C 5．已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可. 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为， ， 解得， 所以等差数列的通项公式为： ， 所以， 当时，， 当时，， 所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项， 故选：C. 6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质确定的值，再由椭圆与双曲线的标准方程确定离心率即可. 【详解】已知实数构成一个等比数列， 所以可得，即， 当时，的方程为为椭圆方程， 则，此时离心率， 当时，的方程为， 此时为双曲线方程，其中， 即，可得此时离心率为. 故选：C. 7．在等差数列中，，则数列的前9项的和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质进行求解. 【详解】设等差数列的前项和为， 因为，， 则. 已知在等差数列中，，，成等差数列. 所以，即， 解得. 故选：A. 8．若等差数列前项和为，且，则公差等于（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用等差数列基本量方法计算即可. 【详解】因为等差数列前项和为，且， 所以有，而， 所以，即， 故选：. 9．记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列，又知，可求得，再由与的差值为6倍公差，而得解. 【详解】已知等差数列中，又， 因为，所以，则， 设数列公差为d，则， 所以，得. 故选：B. 10．如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造等比数列，利用等比数列前项和公式求和即可得解. 【详解】设正方形的面积为，则数列是以1为首项，为公比的等比数列， 数列的前项和，随着的无限增大，无限接近于0， 所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于2． 故选：B 11．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和的关系，结合等差中项求解即可. 【详解】由题意得. 故选：B 12．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层根，共8层．则这堆木材共有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，利用等差数列的求和公式求出答案. 【详解】由题图可知，自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，记为． 因为，，，所以． 故选：D． 13．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设公比为，再由等比数列的通项公式列方程求值即可. 【详解】已知为等比数列，设公比为， 由， 得，即， 因为，解得，， 所以， 故选：D. 14．已知正项数列是公比不为的等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】令等比数列的公比为，由，得， 则，即，所以，即. 故选：B. 15．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C．成等差数列 D．成等差数列 【答案】D 【分析】利用与的关系式分析得的通项公式，进而判断A，利用判断B，利用等差数列的定义，结合的通项公式与前和计算判断CD，从而得解. 【详解】由， 时，， 当时，， 对于A：当时，，不成立， 数列不是等差数列，故A错误； 对于B：因为，即，因此数列不是递增数列，故B错误； 对于C：， 因此不成等差数列，故C错误； 对于D：， ， ， ， 成等差数列，故D正确. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知等比数列的前3项和等于首项的倍，则公比______. 【答案】/ 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知为等比数列，公比为， 因为前3项和等于首项的倍， 则，即， 因为，所以，即，解得. 故答案为：. 17．在等比数列中，若公比，，则的值为________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和定义求值即可. 【详解】已知公比，， ， 故答案为：. 18．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝________； 【答案】an＝2＋ln n 【分析】应用累加求和的方法解决问题. 【详解】∵an＋1＝an＋ln（1＋）， ∴an－an－1＝ln（1＋）＝ln（n2）， ∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1 ＝ln＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2 ＝2＋ln（··…··2） ＝2＋ln n（n2）． 显然满足上式 ∴an＝2＋ln n. 故答案是：an＝2＋ln n. 19．若数列，a，b，c，是等比数列，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列性质列方程求解即可. 【详解】因为数列，a，b，c，是等比数列， 所以，则 因为成等比数列，则， 所以，所以. 故答案为：. 20．设是公差为1的等差数列，则_____________． 【答案】1000 【分析】根据等差数列及对数函数的性质求解. 【详解】由是公差为1的等差数列， 得， 即． 故答案为： 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列是等差数列，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据的值求出公差的值，进而可求出的通项公式； （2）根据（1）的结论，化简，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，所以公差， 所以. （2）由于， 故 . 22．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为. (1)求； (2)写出与的关系； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中图形数出黑点数即可解得. （2）根据第一问的结论找出规律即可解得. （3）根据第二问的结论进行分组求和结合等差数列求和公式即可解得. 【详解】（1）由题意得. （2）由已知得， . （3）， （其中）， 又. 23．已知数列的通项公式为，画出数列的图象，并求数列的最小项． 【答案】答案见解析 【分析】由数列的通项公式求出前若干项，从而作出数列的图象，结合图象即可得解. 【详解】因为， 所以，，，，，， ，，，，， 则数列的图象如图所示，    由图可知，当时，递减；当时，递增； 所以数列最小的项为第六项. 24．某树形图的生长过程如图所示，一个半径为1的圆，第1次生长出2个小圆，第2次分别从2个小圆处各生长出2个更小的圆……，依次下去，它们的半径都为其前一个圆的半径的一半，第次生长后，新出现的一个小圆的面积为，求： (1)的值； (2)猜测数列为何数列，并根据猜测写出数列的通项公式； (3)第次生长后图中所有圆的面积之和． 【答案】(1)，， (2)数列为等比数列， (3) 【分析】（1）求得第1、2、3次生长后，新出现的一个小圆的半径，计算面积即可； （2）根据等比数列的定义判断，由等比数列的通项公式求出； （3）利用等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）由题意，第1次生长后，新出现的一个小圆的半径为，则， 第2次生长后，新出现的一个小圆的半径为，则， 第3次生长后，新出现的一个小圆的半径为，则． （2）由题意得，数列为等比数列，且， ． （3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $