第六章 三角计算（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣高教版《数学 拓展模块一下册》第六章“三角计算”核心考点，设A卷基础巩固卷（60分钟/100分），通过基础训练与情境应用，助力单元复习中知识扎实掌握与数学眼光、思维、语言的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15题/45分|三角函数值、解三角形、图像变换等|基础考点全面覆盖，如判断三角形形状强化推理意识| |填空|5题/15分|方程解范围、三角公式默写、几何坐标|公式默写夯实基础，滚动圆问题培养空间观念| |解答|4题/40分|函数图像绘制、摩天轮高度建模、性质探究|摩天轮情境题（22题）体现数学建模，五点法绘图（21题）发展几何直观，强化应用意识与运算能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的值是（    ）． A． B． C．或 D．或 3．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．若，则三角形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 6．在中，角的对边分别为，若，则（    ）     A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 7．已知函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（    ） A． B． C． D． 9．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（　　） A． B． C．2 D． 10．（   ） A． B． C． D． 11．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 12．函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D．1 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．在中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 15．（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若方程有解，则m的取值范围是________. 17．化简： _______． 18．两角和的正弦、余弦、正切公式 （1）_________. （2）_________. （3）_________. 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的两圆，相切于点，的圆心为原点O，的圆心为．若圆沿圆顺时针滚动，当滚过的弧长为1时，点所在位置的坐标为__________，圆上的点A所在位置的坐标为__________． 20．在，内角的对边分别是，且，则______ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知函数． （1）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期； （2）说明的图象可由的图象经过怎样变换而得到． 22． 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 23．已知函数．求： (1)的值域及最小正周期； (2)的单调递减区间． 24．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数的最大值与最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦两角和差公式即可得解. 【详解】. 故选：. 2．在中，，，，那么的值是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由根据正弦定理即可解得. 【详解】由题，在中，， 则由正弦定理可得， 即， ， 解得，又， 则或， 故选：C 3．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的平方关系得到，再根据二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， ∴． 故选：C 4．若，则三角形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】， ， ， ， 所以，，， 三角形的形状为钝角三角形. 故选：C. 5．为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】利用三角函数的平移规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，把余弦函数曲线上所有的点向左平行移动个单位长度， 可得的图象，故A错误； 对于B，把余弦函数曲线上所有的点向右平行移动个单位长度， 可得的图象，故B错误； 对于C，把余弦函数曲线上所有的点向左平行移动个单位长度， 可得的图象，故C正确； 对于D，把余弦函数曲线上所有的点向右平行移动个单位长度， 可得的图象，故D错误； 故选：C. 6．在中，角的对边分别为，若，则（    ）     A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 【答案】C 【分析】根据余弦定理，求得的符号，从而可得角的大小，然后判断三角形形状即可． 【详解】由，得， 由余弦定理得， 所以在中，，即为钝角， 所以一定是钝角三角形. 故选：C. 7．已知函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对数函数的性质求得定点坐标，再结合任意角三角函数的定义，倍角公式即可求解. 【详解】已知该函数恒过定点，则令，解得，则. 即点的坐标为 因为角的终边经过点，所以，， 则， 故选：C. 8．已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求解. 【详解】由余弦定理可得：， 所以. 故选：C 9．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域求解正弦型函数的值域即可； 【详解】 因为，所以； 则，即； 所以的最大值为，最小值为， 即，， 所以， 故选：C. 10．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式进行化简计算. 【详解】. 故选：A. 11．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦函数的性质及二倍角公式即可得解. 【详解】A： 的取值范围是 ，不可能等于2； B： 的取值范围是 ，因此，不可能等于； C：，不可能等于； D： 即，解为（），存在实数解. 故选：D. 12．函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：C. 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系式及二倍角的正弦公式化简得，再利用平方关系即可求解. 【详解】因为， 所以， 故， 所以. 故选：D 14．在中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理和三角形的性质即可求解. 【详解】由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 又为的内角，所以. 故选：B 15．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若方程有解，则m的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，并求出，从而得到，求出答案. 【详解】 故， ∵， ∴， 解得. 故答案为： 17．化简： _______． 【答案】/ 【分析】利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 18．两角和的正弦、余弦、正切公式 （1）________________. （2）_______________. （3）______________. 【答案】 【解析】略 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的两圆，相切于点，的圆心为原点O，的圆心为．若圆沿圆顺时针滚动，当滚过的弧长为1时，点所在位置的坐标为__________，圆上的点A所在位置的坐标为__________． 【答案】 ． 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）分析角度关系，边长关系，在等腰梯形中求出，进而利用三角函数关系求值. 【详解】 由图可知,滚动过程中,滚动的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 当滚过的弧长为1时，设所到位置为，两圆外切于点, 所以在圆中，,所以rad, 所以rad, 所以根据三角函数的定义知 所以当滚过的弧长为1时，点所在位置的坐标为； 设滚动后点到达位置为， 因为rad,, 所以四边形为等腰梯形，所以， 又因为 所以与 轴正方向的夹角等于， 所以， . 所以圆上的点A所在位置的坐标为， 故答案为: ;. 20．在，内角的对边分别是，且，则______ 【答案】2 【解析】根据三个角的比可分别求得三个内角，结合正弦定理可求得外接圆直径，将要求的式子，结合正弦定理化简即可得解. 【详解】因为在中，且， 所以， 由，根据正弦定理可知， 由正弦定理化简可得 ， 故答案为：2. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知函数． （1）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期； （2）说明的图象可由的图象经过怎样变换而得到． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，然后列表、描点、连线可得函数在区间上的图象； （2）根据三角函数的图象变换规律可得答案. 【详解】（1）由 ． 列表： 描点、连线可得函数在区间上的图象： （2）把图象上所有点向右平移个单位，得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，然后把的图象上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象，再将的图象上所有点向上平移1个单位，即得到的图象． 22． 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【详解】（1）设 由题意知：， ，故， 可取， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米 23．已知函数．求： (1)的值域及最小正周期； (2)的单调递减区间． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和辅助角公式，将解析式化简，得正弦型函数，直接求解； （2）根据正弦函数的单调减区间列出不等式，求解即可. 【详解】（1） 则的值域为， 最小正周期为. （2）因为， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为. 24．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数的最大值与最小值． 【答案】(1)， (2)最大值，最小值-2， 【分析】（1）根据辅助角公式化简，利用整体换元法即可求解增区间， （2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值. 【详解】（1）由于,故，解得，,故函数的单调递增区间为， （2）当时，，故当时，取最小值-2，当时，取最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $