第九章 随机变量及其分布（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块一下册第九章随机变量及其分布，为B卷能力提升型单元卷，通过文化情境与现实问题整合，强化知识应用与逻辑推理，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|分布列、期望、独立事件概率、正态分布|15题结合太极八卦图考查条件概率，体现文化传承与数学眼光| |填空|5/15|正态分布应用、概率分布规律、比赛概率模型|18题足球比赛概率计算，培养数据观念与应用意识| |解答|4/40|频率分布直方图与分布列、抽样分布列、工序概率与方差|23题工序成功率综合题，考查逻辑推理与数学语言表达，贴合真题命题趋势|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知X的分布列如下，且，，则a为（    ） X ﹣1 0 1 P A．1 B．2 C．3 D．4 2．甲乙两人独立解决一道难题的概率分别为和，则该题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 3．若离散型随机变量满足，则和的值分别为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为0.6，乙破译成功的概率为0.7，则密码被破译的概率为（     ） A．0.42 B．0.88 C．0.12 D．1.3 5．已知随机变量，则下列式子（）错误的是（    ） A． B． C． D． 6．某射手射击所得环数X的分布列如表所示，已知X的数学期望，则y的值是（ ） X 7 8 9 10 P 0.1 0.3 y A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 7．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A． B． C． D． 9．设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 10．已知随机变量X服从二项分布，若，则（    ） A． B． C．​ D． 11．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 4 6 8 P a A． B．7 C． D． 12．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 13．已知甲、乙两人射击某一猎物的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（  ） A． B． C． D． 14．某校高二学生数学成绩服从正态分布，则成绩在至分之间的学生比例约为（  ） A． B． C． D． 15．如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．某所学校高三共有1000名学生，教育局对这1000名学生的某日学习时间进行了调查.其中该校所有高三学生在该日学习时间（单位：小时）服从正态分布，则该日这1000名学生学习时间在10.2小时以上的人数为______人.（四舍五入，保留整数）(参考数据:,). 17．离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______． 18．某次足球比赛中，A，B，C，D四支球队进入了半决赛．半决赛中，A对阵C，B对阵D，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队夺季军．已知他们之间相互获胜的概率如下表所示： 组别 A B C D A获胜的概率 — 0.4 0.3 0.8 B获胜的概率 0.6 — 0.7 0.4 C获胜的概率 0.7 0.3 — 0.3 D获胜的概率 0.2 0.6 0.7 — 则A队获得冠军的概率为__________． 19．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则__________. 20．甲、乙两种零件某次性能测评的分值， 的分布如下，则性能更稳定的零件是______． 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某中职学校随机抽取部分学生调查其课外阅读所花费的时间（单位：min），并将所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中课外阅读所花费时间的范围是［0,100］，样本数据分组为［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100］．    (1)若课外阅读所花费时间在［40,60）的人数为6，则共抽取了多少人？ (2)在（1）的条件下，若从课外阅读所花费时间在［40,80）的人中抽取2人，设其中抽取到［60,80）的人数为X，求随机变量X的分布列． 22．一个袋中装有8个形状和大小相同的球，其中有6个红球，两个白球． (1)若从中无放回的任取两个球都是红球的概率． (2)若从中有放回的任取一个，连取2次，求出现红球数的概率分布． 23．已知生产一件产品要经过三道工序，工序一、工序二、工序三的成功率分别为，，（各环节相互独立）．若工序一失败，则该产品为次品；若工序一成功但工序二和工序三中只有一个环节失败，则为合格品；若三个环节均成功，则为优良品．合格品和优良品均为成品，可对外销售，假设每件产品的制作过程相互独立． (1)求生产一件成品的概率； (2)若生产3件产品，求优良品件数X的分布列及方差． 24．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球. (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知X的分布列如下，且，，则a为（    ） X ﹣1 0 1 P A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由离散型随机变量期望的定义，计算得到答案. 【详解】离散型随机变量的期望为． ， ∴， 故选：B． 2．甲乙两人独立解决一道难题的概率分别为和，则该题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】设“甲解决难题”为事件，“乙解决难题”为事件，所以事件与事件相互独立， 已知，， 可得，， 该题未被攻克的概率为， 所以该题被攻克的概率为：. 故选：B. 3．若离散型随机变量满足，则和的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据均值与方差的性质结合已知条件即可求解. 【详解】因为离散型随机变量满足， 所以， . 故选： A . 4．甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为0.6，乙破译成功的概率为0.7，则密码被破译的概率为（     ） A．0.42 B．0.88 C．0.12 D．1.3 【答案】B 【分析】根据对立事件及独立事件的概率公式求解. 【详解】已知甲破译成功的概率为，那么甲未破译成功的概率为， 乙破译成功的概率为，那么乙未破译成功的概率为， 因为甲、乙两人独立破译密码，所以两人都没破译密码的概率为， 因此密码被破译的概率为. 故选：B. 5．已知随机变量，则下列式子（）错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】依题意，， A项，，故A正确； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，而，故D错误. 故选：D. 6．某射手射击所得环数X的分布列如表所示，已知X的数学期望，则y的值是（ ） X 7 8 9 10 P 0.1 0.3 y A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质与数学期望公式求解. 【详解】分布列中所有概率之和为1，则，即①， 已知，则，即②， 联立①②解得， 故选：C. 7．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X的分布列，根据数学期望的公式即可计算p的范围. 【详解】考试次数的所有可能取值为1，2，3， ，，， ∴， 即，解得或， 又，故． 故选：B. 8．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率计算公式，即可求解. 设密码被成功破译的事件为， 则这份密码没有被破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为， 故选：C. 9．设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得，则 ，则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则 故选D. 10．已知随机变量X服从二项分布，若，则（    ） A． B． C．​ D． 【答案】C 【分析】通过二项分布的期望和方差公式联立求解即可. 【详解】因为， 又， 联立解得. 故选：C. 11．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 4 6 8 P a A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先根据分布列的性质求出的值，再利用期望公式计算期望. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：A. 12．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1，4局甲胜，第2，3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1，4局甲胜，第2，3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 13．已知甲、乙两人射击某一猎物的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】由题意可知，只有甲打中猎物的概率为， 只有乙打中猎物的概率为， 所以甲、乙分配猎物的比例应该是. 故选：A. 14．某校高二学生数学成绩服从正态分布，则成绩在至分之间的学生比例约为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】成绩在至分之间即对应区间，根据正态分布的性质即可得解. 【详解】正态分布中，， 成绩在至分之间即对应区间，即区间， 而在的概率为， 则成绩在至分之间的学生比例约为. 故选：A. 15．如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需先统计八卦中不同阳爻数量的卦的数量，再利用古典概型概率公式、对立事件概率公式以及条件概率公式求解. 【详解】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻. 设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件. 因为，. 所以. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．某所学校高三共有1000名学生，教育局对这1000名学生的某日学习时间进行了调查.其中该校所有高三学生在该日学习时间（单位：小时）服从正态分布，则该日这1000名学生学习时间在10.2小时以上的人数为______人.（四舍五入，保留整数）(参考数据:,). 【答案】159 【分析】利用正态分布的性质计算学习时间在10.2小时以上的概率，再结合总人数得出答案. 【详解】已知该校所有高三学生在该日学习时间服从正态分布，即，， 因为，可得， 因为正态分布曲线关于对称，且， 所以， 所以该日这1000名学生学习时间在10.2小时以上的人数为. 故答案为：159. 17．离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______． 【答案】/0.875 【分析】根据所给的概率分布规律，写出6个变量对应的概率，由分布列的性质和为1求出实数，在求出满足条件的概率即可. 【详解】因为， ， 所以， 所以， 所以 ， 故答案为：. 18．某次足球比赛中，A，B，C，D四支球队进入了半决赛．半决赛中，A对阵C，B对阵D，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队夺季军．已知他们之间相互获胜的概率如下表所示： 组别 A B C D A获胜的概率 — 0.4 0.3 0.8 B获胜的概率 0.6 — 0.7 0.4 C获胜的概率 0.7 0.3 — 0.3 D获胜的概率 0.2 0.6 0.7 — 则A队获得冠军的概率为__________． 【答案】0.144 【分析】根据表中信息，可得胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜D的概率即可求解. 【详解】由表中信息可知，胜C的概率为； 若B进入决赛，B胜D的概率为，则A胜B的概率为； 若D进入决赛，D胜B的概率为，则A胜D的概率为； 由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为. 故答案为：. 19．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则__________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质及数学期望求出的值，即可求得. 【详解】由题意知， 由得，解得， 故. 故答案为：. 20．甲、乙两种零件某次性能测评的分值， 的分布如下，则性能更稳定的零件是______． 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 【答案】乙 【分析】根据期望和方差的定义直接计算可得甲、乙的结果，进行比较得到结论. 【详解】由题意知：， ， 所以， ， 因为,，所以乙更稳定． 故答案为:乙． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某中职学校随机抽取部分学生调查其课外阅读所花费的时间（单位：min），并将所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中课外阅读所花费时间的范围是［0,100］，样本数据分组为［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100］．    (1)若课外阅读所花费时间在［40,60）的人数为6，则共抽取了多少人？ (2)在（1）的条件下，若从课外阅读所花费时间在［40,80）的人中抽取2人，设其中抽取到［60,80）的人数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1)50 (2)分布列见解析 【分析】（1）首先求出课外阅读所花费时间在［40,60）的频率，进而得到总抽取的人数. （2）首先求出课外阅读所花费时间在［40,80）的人数，再根据概率公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，组距为20， 进而课外阅读所花费时间在［40,60）的. 因为课外阅读所花费时间在［40,60）的人数为6，所以总抽取的人数为. （2）课外阅读所花费时间在［60,80）的人数为. 从10人中抽取2人，抽取到［60,80）的人数为X，则的所有可能为. 则， . 22．一个袋中装有8个形状和大小相同的球，其中有6个红球，两个白球． (1)若从中无放回的任取两个球都是红球的概率． (2)若从中有放回的任取一个，连取2次，求出现红球数的概率分布． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据“有放回”先求出现红球数的取值，再根据的不同取值求解对应的概率， 【详解】（1）记事件A：任取两个球都是红球， 则有. （2）的所有可能取值为0，1，2， 从中任取一个，出现红球的概率为， ， ， ， ξ的概率分布如下： ξ 0 1 2 P 23．已知生产一件产品要经过三道工序，工序一、工序二、工序三的成功率分别为，，（各环节相互独立）．若工序一失败，则该产品为次品；若工序一成功但工序二和工序三中只有一个环节失败，则为合格品；若三个环节均成功，则为优良品．合格品和优良品均为成品，可对外销售，假设每件产品的制作过程相互独立． (1)求生产一件成品的概率； (2)若生产3件产品，求优良品件数X的分布列及方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，方差为 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式计算； （2）先确定服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式及方差公式求解. 【详解】（1）设事件为“第一道工序成功”，事件为“第二道工序成功”，事件为“第三道工序成功”， 则，，，且，，相互独立． 所以生产一件成品的概率为 . （2）生产一件优良品的概率为，依题意可知， 所以，； ； ； ； 所以优良品件数的分布列为： 0 1 2 3 方差为：. 24．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球. (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列. 【答案】(1). (2)分布列见解析. 【分析】（）根据题意结合古典概型公式及组合数的计算即可得解. （）随机变量可能取值为，分别算出概率即可得解. 【详解】（1）设取出的3个球恰有一个红球为事件， 则. （2）随机变量可能取值为， ，，， 故X的分布列为： 0 1 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $