第九章 随机变量及其分布（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本试卷为中职数学拓展模块一下册第九章“随机变量及其分布”A卷基础巩固卷，紧扣教材核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，结合世界杯点球、人口普查等时代情境，强化基础与数学思维，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|随机事件概率、分布列、二项分布|基础考点全面，如独立事件概率计算| |填空题|5/15|独立事件、离散型随机变量、正态分布|聚焦概念辨析，如试验次数取值| |解答题|4/40|期望方差、数据分布、实际问题应用|结合生活情境（投篮、人口普查），体现数据意识与数学思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．小王在上学路上要经过3个路口，若在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则小王在上学路上恰好遇到1次红灯的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立重复试验的概率公式求解． 【详解】由题意，小王在上学路上恰好遇到1次红灯的概率是． 故选：D． 2．已知随机变量的分布列为 1 2 3 6 当在上变化时，的数学期望的变化情况为（    ） A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．先增后减 【答案】D 【分析】根据给定的分布列求出的数学期望，再结合二次函数的性质逐项判断作答. 【详解】依题意，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的数学期望是先增后减. 故选：D 3．已知随机变量的分布列如下表，则（   ） 1 2 3 P 0.2 0.3 A．1.8 B．2.3 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【分析】首先根据概率的性质求出，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】由题意得，，解得， 所以1.8. 故选：A. 4．下列说法正确的个数是（    ）． ①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布； ③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用独立重复实验的概率模型，判断3个命题的真假，推出结果即可． 【详解】解：①某同学投篮投中的概率，该运动员重复次投篮， 则命中次数服从二项分布，正确； ②福彩中奖概率为，某人一次买了张，中奖张数是一个随机变量， 满足二项分布；所以②正确； ③从装有个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止， 则摸球次数是随机变量，则的可能取值为、、、、、， 且，，，，，， 不是二项分布，所以③不正确； 故选：C． 5．有两种花籽，它们发芽的概率分别是0.3，0.4，设它们发芽相互独立，则至少有一颗种子发芽的概率是（　　） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.88 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对立事件和相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】有两种花籽，它们发芽的概率分别是0.3，0.4，它们发芽相互独立， 所以至少有一颗种子发芽的概率是：． 故选：C 6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（　　） A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9， 甲的脱靶概率为，乙的脱靶概率为， 则两人都脱靶的概率为. 故选：A. 7．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，将一枚均匀硬币随机掷4次，每次正面向上的概率均为，且相互独立， 由次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式得： 恰好出现3次正面向上的概率为． 故选：D． 8．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【详解】由题，，则，又，， 故选：D 9．某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布可知：， 所以， 故选：C. 10．如图，这是一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（    ）    A． B． C．A与B互斥 D．A与B不相互独立 【答案】B 【分析】计算出事件A和事件B，以及、的概率即可判断A,B，由于即可判断C项，分别计算与的值，看二者的关系即可判断D项. 【详解】对于A项，由题意得，故A项错误； 对于B项，因为， 所以，故B项正确； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，因为，，由A项知， 所以，所以A与B相互独立，故D项错误. 故选：B. 11．已知甲击中目标的概率为0.4，乙击中目标的概率为0.3，则甲、乙都没击中目标的概率为（    ） A．0.7 B．0.42 C．0.1 D．0.12 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】由题知甲没击中的概率为0.6，乙没击中的概率为0.7， 则两人同时没击中的概率为， 故选：. 12．已知随机变量服从二项分布，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布. 所以. 故选：A. 13．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 14．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可得门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4，且，从而可求出期望. 【详解】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为． 门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4．， ，，1，2，3，4． 期望． 故选：C． 15．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐一判断即可. 【详解】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设有8门大炮独立地同时向一目标各发射一枚炮弹，如果被不少于2枚炮弹命中，目标就会被击毁，已知每门大炮命中目标的概率为，则目标被击毁的概率是_______ 【答案】 【分析】根据独立重复事件的概率公式分别求出只有一枚炮弹击中，和都没击中的概率，再由目标被击毁的概率与目标没被击毁的概率和为1，即可解答. 【详解】已知每门大炮命中目标的概率为， 则只有一枚炮弹击中的概率为， 都没击中的概率为， 因为被不少于2枚炮弹命中，目标就会被击毁， 所以目标被击毁的概率是 . 故答案为：. 17．将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁，其中只有1把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为______． 【答案】3 【分析】由于是依次试验，可能前3次都打不开锁，那么剩下的一把钥匙一定能开锁，从而得到答案. 【详解】由于是依次试验，可能前3次都打不开锁，则剩下一把一定能打开锁，所以试验次数X的最大可能取值为3. 故答案为:3 18．随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为______． 【答案】/0.1875 【分析】根据给定表格，求出的分布列，再利用方差的定义计算即得. 【详解】依题意，的取值为0，1，且，， 则的期望， 所以的方差. 故答案为： 19．如果两个随机试验的结果___________，就说这些随机试验是独立的. 【答案】互相不受影响 【分析】利用独立事件的概念即得. 【详解】如果两个随机试验的结果互相不受影响，就说这些随机试验是独立的. 故答案为：互相不受影响. 20．设随机变量，且，则实数的值为________. 【答案】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为随机变量，且，则，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1). （1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； （2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望； （3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X). 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3），. 【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中，说明小明前两次未投中，第三次投中，再由小明每次投篮投中的概率都是，可求得所求概率； （2）由题意可知小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出每个所对应的概率，进而可列出分布列； （3）随机变量X~B(4，p)，，而由E(X)=1，可求出p=，进而可求出D(X) 【详解】解：（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A， 事件A说明小明前两次未投中，第三次投中， 所以P(A)=. 故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为. （2）小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8. P(ξ=0)=， P(ξ=2)=， P(ξ=4)=， P(ξ=6)=， P(ξ=8)=. 所以总得分ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8 P 所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×. （3）因为随机变量X~B(4，p)， 所以E(X)=4p=1.所以p=. 所以随机变量X的方差D(X)=np(1p)=4×. 22．第七次全国人口普查公报显示，自2010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著．下面两表分别列出了2010年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据． 东部地区（单位：年） 北京 天津 河北 上海 江苏 浙江 福建 山东 广东 海南 2020年 12.6 11.3 9.8 11.8 10.2 9.8 9.7 9.8 10.4 10.1 2010年 11.7 10.4 9.1 10.7 9.3 8.8 9.0 9.0 9.6 9.2 西部地区（单位：年） 重庆 四川 贵州 云南 西藏 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆 广西 内蒙古 2020年 9.8 9.2 8.8 8.8 6.8 10.3 9.1 8.9 9.8 10.1 9.5 10.1 2010年 8.8 8.4 7.7 7.8 5.3 9.4 8.2 7.9 8.8 9.3 8.8 9.2 （1）从东部地区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率； （2）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设X为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为，试比较与的大小．（只需写出结论） 【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）. 【分析】（1）设“选取的省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年”为事件，利用古典概型的概率公式求解即可． （2）的可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望． （3）通过数据比较，推出． 【详解】解：（1）东部地区共有10个省份，其中2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2个． 设“选取的省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年”为事件A， 则． （2）东部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2个，西部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有6个，共8个． 则X的可能取值为0，1，2， ，，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ． （3）由表中所给数据可知，2020年的数据比较集中，2010年的数据比较分散，故． 23．随机变量的分布列如下，若，求的值. 【答案】 【分析】根据随机变量分布列的性质结合数学期望的公式列方程求出的值即可. 【详解】由题意知， 可化为，解得， 所以. 24．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天. (1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率； (2)设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)分布列见解析；； (3)从月日开始连续三天游览舒适度的方差最大． 【分析】（1）设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（）且，通过观察上表可知两天都遇上拥挤为，即得； （2）可知的所有可能取值为，分别计算概率即得分布列，进而可得数学期望； （3）根据方差的意义，结合条件即可得结果. 【详解】（1）设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（）， 根据题意，，且,          设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，        则，                                   所以； （2）由题意，可知的所有可能取值为，              ， ， ，       所以的分布列为 故的期望； （3）由图可知从月日开始连续三天游览舒适度的偏差较大， 从月日开始连续三天游览舒适度的方差最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．小王在上学路上要经过3个路口，若在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则小王在上学路上恰好遇到1次红灯的概率是（   ）. A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为 1 2 3 6 当在上变化时，的数学期望的变化情况为（    ） A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．先增后减 3．已知随机变量的分布列如下表，则（   ） 1 2 3 P 0.2 0.3 A．1.8 B．2.3 C．2.5 D．2.8 4．下列说法正确的个数是（    ）． ①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布； ③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．有两种花籽，它们发芽的概率分别是0.3，0.4，设它们发芽相互独立，则至少有一颗种子发芽的概率是（　　） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.88 6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（　　） A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72 7．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 10．如图，这是一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（    ）    A． B． C．A与B互斥 D．A与B不相互独立 11．已知甲击中目标的概率为0.4，乙击中目标的概率为0.3，则甲、乙都没击中目标的概率为（    ） A．0.7 B．0.42 C．0.1 D．0.12 12．已知随机变量服从二项分布，则（    ）． A． B． C． D． 13．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（    ） A． B． C． D．2 15．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设有8门大炮独立地同时向一目标各发射一枚炮弹，如果被不少于2枚炮弹命中，目标就会被击毁，已知每门大炮命中目标的概率为，则目标被击毁的概率是_______. 17．将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁，其中只有1把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为______． 18．随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为______． 19．如果两个随机试验的结果___________，就说这些随机试验是独立的. 20．设随机变量，且，则实数的值为________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1). （1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； （2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望； （3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X). 22．第七次全国人口普查公报显示，自2010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著．下面两表分别列出了2010年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据． 东部地区（单位：年） 北京 天津 河北 上海 江苏 浙江 福建 山东 广东 海南 2020年 12.6 11.3 9.8 11.8 10.2 9.8 9.7 9.8 10.4 10.1 2010年 11.7 10.4 9.1 10.7 9.3 8.8 9.0 9.0 9.6 9.2 西部地区（单位：年） 重庆 四川 贵州 云南 西藏 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆 广西 内蒙古 2020年 9.8 9.2 8.8 8.8 6.8 10.3 9.1 8.9 9.8 10.1 9.5 10.1 2010年 8.8 8.4 7.7 7.8 5.3 9.4 8.2 7.9 8.8 9.3 8.8 9.2 （1）从东部地区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率； （2）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设X为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为，试比较与的大小．（只需写出结论） 23．随机变量的分布列如下，若，求的值. 24．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天. (1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率； (2)设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $