第八章 排列组合（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣高教版《数学拓展模块一下册》第八章排列组合，设AB卷与综合测试卷，B卷（能力提升）通过15道单选、5道填空、4道解答题，整合排列组合、二项式定理等核心考点，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|排列应用（甲、乙必须参加且甲在前）、二项式系数（展开式含x项系数）、概率计算（抽卡片数字和为偶数）|结合抗战胜利80周年情境，基础考点与能力辨析结合| |填空题|5/15|错位排列（4位教师监考）、杨辉三角（第15行第13个数）、二项式常数项与系数|融入数学文化，考查知识迁移能力| |解答题|4/40|排列组合综合应用（男生女生排队）、二项式定理计算（含x项系数及参数求解）|分步设问，综合检测知识网络构建与问题解决能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．为庆祝抗战胜利80周年，某班级准备从甲､乙､丙､丁､戊5人中选4人参加演出，要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前､乙在后，那么不同的演出顺序种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．72 2．在二项式的展开式中含项的系数为    （    ） A．10 B． C． D．20 3．若，则m等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（    ） A．8 B．24 C．48 D．120 5．从1到9的9张卡片中随机抽取2张，则两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 6．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（    ）种. A． B． C． D． 7．袋中有3个红球、2个白球和1个黑球，从中任取2个，则取到的2个球颜色不同的概率为（     ） A． B． C． D． 8．已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（ ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 10．已知的展开式中共8项，则（    ） A． B． C． D． 11．二项式的展开式中，含的项为（   ） A． B． C． D． 12．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第k（，）个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k斜列与第斜列各项之和最大时，k的值为（    ） 第1行          1   1 第2行        1   2  1 第3行      1   3  3  1 第4行    1  4   6   4  1 第5行  1  5  10  10  5  1 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 13．的展开式中，各二项式系数和为，各项系数和为，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 14．已知的二项展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（    ） A．28 B．56 C．70 D．36 15．6人排成一行，甲、乙不相邻且丙不排两端的排法有（    ） A．288种 B．336种 C．196种 D．144种 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________. 17．有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有___________种. 18．（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是_________．（用数字作答） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… 19．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为_________. 20．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．有3名男生和4名女生，按下列要求排列，求不同的排列方法种数. (1)排成前后两排，前排4人，后排3人； (2)全体排成一排，女生必须相邻； 22．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止． (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 23．（1）求二项式的展开式中含的项的系数； （2）在二项式的展开式中，已知前四项的二项式系数之和为M，二项式的展开式中各项的系数之和为N，且，求实数a的值. 24．有5名同学站成一排拍照. (1)若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法? (2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．为庆祝抗战胜利80周年，某班级准备从甲､乙､丙､丁､戊5人中选4人参加演出，要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前､乙在后，那么不同的演出顺序种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【分析】先确定除甲乙外还需选的人数，再根据甲乙的演出顺序利用定序倍缩法计算即可. 【详解】从甲､乙､丙､丁､戊5人中选4人参加演出，要求甲和乙必须同时参加，则选法有种. 因为他们的演出顺序必须满足甲在前､乙在后，所以共用种. 所以不同的演出顺序种数为种. 故选：C. 2．在二项式的展开式中含项的系数为    （    ） A．10 B． C． D．20 【答案】A 【分析】使用二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得， ∴项的系数为. 故选：A. 3．若，则m等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数计算公式即可得解. 【详解】因为若，则， 化简得，解得. 故选：C. 4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（    ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【分析】由分步计数原理，先排个位再排余下三位数即可得解. 【详解】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个排列，有种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有（个）， 故选：. 5．从1到9的9张卡片中随机抽取2张，则两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合与古典概型的概率公式求值即可. 【详解】和为偶数需两奇或两偶，共种， 总取法共种，所以概率为. 故选：B. 6．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对2个女生进行排列，再将2个女生看出一个元素与5个男生共6个元素进行全排列，然后减去两个女生在两端的排列数即可. 【详解】先对2个女生进行排列共有种排法， 将2个女生看出一个元素与5个男生共6个元素进行全排列共有种排法， 两个女生在两端情形共有种排法， 所以总的排法为. 故选：C. 7．袋中有3个红球、2个白球和1个黑球，从中任取2个，则取到的2个球颜色不同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与古典概型的概率公式，结合组合数公式求解. 【详解】已知袋中一共有个球，从中任取个球，则所有可能的取法有种， 则取到的2个球颜色相同的取法有种，其概率为， 所以取到的2个球颜色不同的概率为. 故选：A. 8．已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（ ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【答案】B 【分析】根据二项式系数和公式，结合二项式系数的性质、二项式的通项公式、赋值法逐一判断即可. 由题意可得，解得，故正确； 二项式的展开式的通项公式为，，1，，6，令，解得，则常数项为第4项，故错误； 因为，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，最大值为，故正确； 令，则展开式的所有项的系数和为，故正确， 故选：B 9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用捆绑法将丙丁整体与乙戊排列，最后考虑甲的插空位置. 【详解】丙和丁相邻，所以丙和丁相邻的排列方式有种. 将丙丁看成一个整体，再与乙戊排列，排列方式有种. 由于甲不站在两端，所以在丙丁整体、乙、戊形成的两个空隙中选一个位置插入，共用选择. 所以不同排列方式共有种. 故选：B. 10．已知的展开式中共8项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的性质得出，利用组合数的性质即可得解. 【详解】的展开式中共8项，则， 则， 故选：. 11．二项式的展开式中，含的项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】二项式的展开式， 由二项展开式的通项公式得， 令，则，所以， 所以该二项展开式中含的项为. 故选：A. 12．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第k（，）个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k斜列与第斜列各项之和最大时，k的值为（    ） 第1行          1   1 第2行        1   2  1 第3行      1   3  3  1 第4行    1  4   6   4  1 第5行  1  5  10  10  5  1 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【分析】根据题意可得第k斜列各项之和为，第k+1斜列各项之和为，结合组合数的运算性质即可求解. 【详解】当时，第k斜列各项之和为 ， 同理，第k+1斜列各项之和为， 所以， 当第k斜列与第k+1斜列各项之和最大时，，解得. 故选：C. 13．的展开式中，各二项式系数和为，各项系数和为，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】D 【分析】先由题意结合二项式系数的性质求出和的值，再利用二项式展开式求出的系数. 【详解】因为的展开式中，各二项式系数和为，所以. 再令，可得各项系数和为，所以， 则展开式中的通项公式为， 令，可得，故展开式中的系数为. 故选：D. 14．已知的二项展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（    ） A．28 B．56 C．70 D．36 【答案】C 【分析】根据二项式展开式通项公式与二项式系数的性质求解即可. 【详解】的二项展开式中第3、7项的二项式系数分别为， 因为相等，所以，根据二项式系数的性质，解得， 则的二项展开式， 令，解得，因此常数项为. 故选：C. 15．6人排成一行，甲、乙不相邻且丙不排两端的排法有（    ） A．288种 B．336种 C．196种 D．144种 【答案】B 【分析】先分析没有限制的3人的排法，再根据丙不排两端分两种情况讨论甲、乙、丙3人的排法，最终算出共有几种排法. 【详解】第一步，先排除甲、乙、丙之外的其他三人，共种排法； 第二步分为两种情况，第1种情况，将丙插入三个人之间，再用插空法插入甲、乙两人，则共有种排法， 第2种情况，将丙插入三个人之外，即丙站在两端，丙的外面必须再排甲、乙中的一人，则共有种排法， 所以共有种排法． 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________. 【答案】 15 【分析】根据二项式展开式的通项公式，通过赋值即可求得指定项的系数；根据绝对值最大，列出不等式组，解得的范围，即可求得，则问题得解. 【详解】因为， 所以当时，，则； 令，得，所以的系数为. 设的系数的绝对值最大，则， 解得， 因为，，所以， 故系数的绝对值最大的项的系数为. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数与系数绝对值最大项等问题，考查了学生的运算求解能力. 17．有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有___________种. 【答案】9 【分析】运用排列数与组合数计算即可得出答案. 【详解】当监考不受限制时，共有种， 且其中有1人在本班监考的有种， 其中有2人在本班监考的有种， 其中有3人在本班监考的有种， 其中有4人在本班监考的有种， 所以要求每位教师都不能在本班监考， 则监考的方法数有种， 故答案为：9． 18．（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… 【答案】455 【分析】对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案. 【详解】由题图可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…， 观察可得第n行第r（）个数为，所以第15行第13个数为． 故答案为：455. 19．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______. 【答案】 【分析】根据数字之间的关系找到规律，然后进行求解即可. 【详解】因为从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…， 所以可以判断从第三个数开始，每个数是它前两个数的和， 所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…， 因此第10条斜线上，各数之和为， 故答案为： 20．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【答案】360 【分析】按照选择的有0和没有0讨论，根据排列组合知识计算. 【详解】有0：先从从1，3，5，7中任取2个数字有种方法，然后从2，4中任取1个数字，有种方法， 然后将不是0的三个数字选1个作为首位有种方法，剩余的三个数字全排列， 所以总共有个没有重复数字的四位数； 没有0：先从从1，3，5，7中任取2个数字有种方法，然后将2，4全取有种方法，最后4个数字全排列， 所以有个没有重复数字的四位数； 一共有：个. 故答案为：360 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．有3名男生和4名女生，按下列要求排列，求不同的排列方法种数. (1)排成前后两排，前排4人，后排3人； (2)全体排成一排，女生必须相邻； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用排列知识，分别求出先排前排，再排后排的方法数，再根据分步计数原理可求解； （2）采用“捆绑法”，即先对女生进行排列，再把女生看成一个整体和3个男生进行全排列，最后根据分步计数原理可求解； 【详解】（1）第一步，排前排4人，共有种方法；第二步，排后排3人，共有种方法； 根据分步计数原理，不同的排列方法种数为：（种）. （2）先对女生进行排列，再把女生看成一个整体和3个男生进行全排列，根据分步计数原理，则 不同的排列方法共有（种）. 22．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止． (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 【答案】(1)103680种. (2)576种. 【分析】（）根据题意结合排列数的计算及分步计数原理即可得解. （）根据题意可知第5次测试恰为最后一件次品，结合排列数及组合数的计算即可得解. 【详解】（1）10件不同产品中有4件是次品，则件是正品， 先排前4次测试，只能取正品，有种不同测试方法， 再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有种测法， 再排余下4件的测试位置有种测法． ∴共有不同排法种. （2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现． ∴共有不同测试方法种． 23．（1）求二项式的展开式中含的项的系数； （2）在二项式的展开式中，已知前四项的二项式系数之和为M，二项式的展开式中各项的系数之和为N，且，求实数a的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二项式的展开式即可求解. （2）根据二项式中各项系数的和的求法即可求解. 【详解】（1）二项式的展开式的通项为， ，1，2，3，4，5. 令，则， 所以含的项为. 所以二项式的展开式中含的项的系数为. （2）由题意得. 在二项式的展开式中，令，可得， ，， 即，解得. 24．有5名同学站成一排拍照. (1)若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法? (2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法? 【答案】(1)48 (2)42 【分析】（1）由题意，利用捆绑法先将甲、乙看作一个整体进行求解； （2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可. 【详解】（1）有5名同学站成一排拍照， 若甲、乙必须站一起，先安排甲、乙有种， 再将甲、乙看作一个整体与其他进行排列，故方法数有（种）. （2）最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲， 如果甲排左端，则方法数有（种）； 如果乙排左端，则方法数有（种）； 故总的方法数有（种）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $