第88卷 立体几何（3）-专题训练卷 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进巩固层，聚焦立体几何核心考点，以题载知，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|选择1-2、填空11、解答14|围绕表面积、体积、母线长等基础量计算|从几何体结构特征到公式应用，体现几何直观| |空间位置关系|选择4、7、9|以命题判断形式考查线面平行、面面平行等判定|从概念辨析到定理应用，培养推理意识| |空间角计算|选择3、5、6、8、填空12|涉及异面直线所成角、线面角等定量计算|从空间模型构建到角的转化，发展空间观念| |综合证明与计算|解答15-16|包含线面垂直证明、距离与角综合求解|整合判定定理与性质应用，提升综合思维|

编写说明：2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》 第88卷 立体几何（3） 专题训练卷 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．一个正三棱柱的底面边长为，高为，它的侧面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱的侧面积公式计算即可. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为，高为， 所以侧面积为. 故选：D. 2．已知一个高为的圆锥，其体积为，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式先求出底面圆的半径，再求出母线长，再根据弧长公式求解. 【详解】因为高为的圆锥，其体积为，设底面圆的半径为， 所以，解得. 因为，所以母线长为. 令该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为， 根据弧长公式，即，解得. 故选：C. 3．在正方体中，直线与所成的角为θ，则（   ）．    A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为， 所以直线与所成的角为直线与所成的角， 因为，所以为等边三角形， 则，， 故选：. 4．下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线a上有无数个点不在平面内，则； ②若直线平面，则直线a与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线直线b，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线a与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线面平行的定义、判定定理以及性质定理，依次分析每一个命题即可求解. 【详解】对于①，若直线a上有无数个点不在平面内，则直线a可能与平面相交，也可能与平面α平行，所以①错误， 对于②，当直线平面时，直线a与平面内直线平行或异面，所以②错误， 对于③，当直线直线b，直线平面，则直线平面，或直线a在平面内，所以③错误， 对于④，当直线平面时，则直线a与平面无公共点，所以直线a与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确. 故选：B. 5．如图，在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（  ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理，可得，继而求解. 【详解】 如图，连接， 因为在正方体中，平面， 又平面， 所以， 因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 即异面直线与所成角为， 又， 即异面直线与所成角的余弦值为0. 故选：A. 6．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线与平面所成角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】在长方体中，侧棱平面， 所以直线在平面的射影为， 即直线与平面所成角为， 因为，， 所以. 故直线与平面所成角的正切值为. 故选：A. 7．“一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面”是“这两个平面平行”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面平行的判定定理和必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】因为一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面推不出两个平面平行，故充分性不成立， 又因为两个平面平行，则一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，故必要性成立， 所以一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是这两个平面平行的必要不充分条件. 故选:B. 8．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角所成的角为 D．异面直线与所成的角为 【答案】B 【分析】依据直线与直线、直线与平面所成角及二面角知识分析求解 . 【详解】选项中，异面直线与所成角等于为，错误； 选项中，直线在平面射影为 所以直线与平面所成角为 ，正确； 选项中，取AC的中点O,连接DO,, 因为，所以，    则是二面角的平面角，设正方体的棱长为1，则，错误； 选项中，平面 ,则,异面直线所成角为，错误. 故选：B. 9．下列说法中正确的是（    ） A．经过空间两条直线，有且只有一个平面 B．经过空间三个点，有且只有一个平面 C．空间两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条公共直线 D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质即可判断. 【详解】对A，根据基本事实的推论可知，经过空间中两条平行（或相交）的直线，有且只有一个平面，A错； 对B，根据基本事实可知，经过空间中不共线的三点，有且只有一个平面，B错； 对C，根据基本事实可知，C正确； 对D，根据基本事实的推论可知，经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面， D错． 故选：C. 10．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定，二面角的定义即可求解. 【详解】对A，因为，所以平面， 又平面，所以，因为平面平面， 所以为平面与平面的平面角， 因为是锐角三角形，所以， 所以平面与平面不垂直，故A错误. 对B，若平面平面，则平面内要有直线垂直平面， 因为，，则平面内找不到直线垂直平面， 所以平面平面不成立，故B错误. 对C，因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确. 对D，因为，所以平面， 因为与平面交于点，故平面内找不到直线垂直平面 所以平面和平面不垂直，故D错误. 故选：C. 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 11．一个圆锥的轴截面为边长为4的正三角形，则其表面积为__________. 【答案】 【分析】根据圆锥的结构特征及表面积公式，分析求解即可. 【详解】因为圆锥的轴截面为边长为4的正三角形， 所以圆锥的底面圆的直径为、圆锥的母线，则圆锥半径， 所以圆锥的表面积， 故答案为：. 12．如图，在正方体中， （1）AC和所成的角是____；（2）AC和所成的角是___ 【答案】 【分析】（1）根据线面垂直的性质求解即可. （2）找到AC和D1C1所成的平面角，再求解即可. 【详解】（1）根据正方体的性质，平面. 因为平面，所以. 故AC和DD1所成的角是90°. （2）根据正方体的性质，， 所以是AC和所成的角（或其补角）. 根据正方形的性质，，即AC和所成的角. 故答案为：；. 13．如图，是直角三角形，，平面，此图形中直角三角形的个数为_____个． 【答案】4 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面平面，，，. ，且平面， 平面平面，． 综上知：，，，，都是直角三角形，共有4个． 故答案为：4. 三、解答题:本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．如图所示，粮仓可看成是两个等底的圆锥和圆柱组成的一个简单几何体，现已知圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面半径为4米.    (1)求该粮仓顶部（圆锥）的母线长； (2)求该粮仓理论上可以存储的最大粮食的体积； (3)求该粮仓的表面积（包括底面）. 【答案】(1)5m (2) (3) 【分析】（1）根据圆锥的结构特征即可求解. （2）根据圆柱和圆锥的体积公式即可求解. （3）根据圆柱和圆锥的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，，设圆锥的母线长为， 所以该粮仓顶部（圆锥）的母线长. （2）该粮仓理论上可以存储的最大粮食的体积为上半部分圆锥的体积加上圆柱的体积， 圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以该粮仓理论上可以存储的最大粮食的体积为. （3）顶部圆锥部分的面积为， 圆柱部分的面积为， 所以该粮仓的表面积为. 15．如图所示，在三棱锥中, , ，且O，M分别为AC，BC的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)见解析. (2) 【分析】（1）由题可证，根据线面平行的判定定理可证明结论； （2）由题可证 ，连接，在三角形，可得，从而有，据此可得到与平面所成角的大小． 【详解】（1）分别为的中点，. 平面平面， 平面. （2） 连接，，如图所示， 为的中点，， 因为， 是等腰直角三角形，. 在直角三角形中，， 又， 平面平面， 平面． 所以是与平面所成角. . 所以. 从而与平面所成角的大小是. 16．如图，在棱长为的正方体中，、分别是和的中点．求：    (1)异面直线和的距离； (2)异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正方体性质找到与两直线垂直且有交点的垂线段，公垂线段长度即两异面直线距离. （2）通过找平行直线将问题转换成找共面直线夹角，再将角放在直角三角形里面，通过边的关系找角的大小即可. 【详解】（1）由正方体的性质得，，， ，， ∴为异面直线和的公垂线段， ，即和的距离为． （2）    取的中点，连接、， 如图∵是的中点，∴． ∵，∴即为异面直线与所成的角． 由正方体的性质得，，， 且，平面，平面， ∴平面． ∵、分别是、的中点，∴，∴平面． ∵平面，∴，∴为直角三角形． 在中，， ∴，即异面直线与所成角的大小为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》 第88卷 立体几何（3） 专题训练卷 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．一个正三棱柱的底面边长为，高为，它的侧面积为（    ）. A． B． C． D． 2．已知一个高为的圆锥，其体积为，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，直线与所成的角为θ，则（   ）．    A． B． C． D．1 4．下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线a上有无数个点不在平面内，则； ②若直线平面，则直线a与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线直线b，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线a与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（  ） A．0 B． C． D． 6．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 7．“一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面”是“这两个平面平行”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角所成的角为 D．异面直线与所成的角为 9．下列说法中正确的是（    ） A．经过空间两条直线，有且只有一个平面 B．经过空间三个点，有且只有一个平面 C．空间两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条公共直线 D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面 10．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 11．一个圆锥的轴截面为边长为4的正三角形，则其表面积为__________. 12．如图，在正方体中， （1）AC和所成的角是____；（2）AC和所成的角是___ 13．如图，是直角三角形，，平面，此图形中直角三角形的个数为_____个． 三、解答题:本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．如图所示，粮仓可看成是两个等底的圆锥和圆柱组成的一个简单几何体，现已知圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面半径为4米.    (1)求该粮仓顶部（圆锥）的母线长； (2)求该粮仓理论上可以存储的最大粮食的体积； (3)求该粮仓的表面积（包括底面）. 15．如图所示，在三棱锥中, , ，且O，M分别为AC，BC的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小． 16．如图，在棱长为的正方体中，、分别是和的中点．求：    (1)异面直线和的距离； (2)异面直线与所成角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $