第87卷 立体几何（2）-专题训练卷 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何专项，以三阶递进体系为框架，覆盖空间几何体计算、位置关系判断及空间角证明，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|选择1-3、填空11、解答14|基础计算（体对角线、侧面积、体积）|从棱长/半径等基本量到表面积/体积公式应用| |空间位置关系|选择4、6、7、10、填空12|命题判断与位置关系（平行/异面）|从点线面概念到平面性质及判定定理推导| |空间角与证明|选择5、8、9、填空13、解答15-16|线线角/线面角计算、线面平行/垂直证明|从空间角定义到空间向量或几何法求解，体现转化思想|

编写说明：2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》 第87卷 立体几何（2） 专题训练卷 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若长方体的三条棱长分别为3，4，5，则长方体的体对角线的长是（   ） A．5 B． C． D．10 2．用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为（  ）． A．8 B． C． D． 3．若圆锥的底面半径为3，母线为5，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 4．设表示两个平面，l表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则α与β重合. 则上述命题中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．正方体中，直线与所夹的角是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知平面，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（   ） A．互为余角 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角 9．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 10．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（    ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 11．已知圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的母线长为______. 12．如图，在正方体中，面对角线与所在直线的位置关系为_____.（填“平行”、“相交”或“异面”） 13．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 三、解答题:本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．如图所示，圆锥的底面半径为2，母线长为4.    (1)求该圆锥的体积； (2)若圆锥中有一个高为的内接圆柱，求这个圆柱的侧面积. 15．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，E是的中点，F是的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 16．如图所示，平面，四边形是菱形，且.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》 第87卷 立体几何（2） 专题训练卷 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若长方体的三条棱长分别为3，4，5，则长方体的体对角线的长是（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】根据长方体体对角线长公式即可得解. 【详解】长方体的三条棱长分别为3，4，5， 则长方体的体对角线的长是， 故选：. 2．用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为（  ）． A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】分将高为4和高为2两种情况讨论求解. 【详解】当围成的圆柱底面周长为4，高为2时， 设圆柱底面圆的半径为r，则， ∴， ∴轴截面是长为，宽为2的矩形， ∴轴截面的面积为． 同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积为． 故选：B. 3．若圆锥的底面半径为3，母线为5，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为3，母线为5， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 4．设表示两个平面，l表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则α与β重合. 则上述命题中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，即可判断求解. 【详解】若一条直线上有2个点在同一平面内，则这条直线在此平面内， 所以若，则，故①正确； 若两个不重合的平面有1个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线， 因为不重合，且， 所以直线是平面的交线，即，故②正确； 若，则或，当时，,故③错误； 因为点不共线，所以点确定一个平面， 又，所以α与β重合，故④正确； 所以①②④正确，③错误，正确的个数是3个. 故选：C. 5．正方体中，直线与所夹的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到两条相交直线所成的角，再由边的关系求解即可. 【详解】连接， 直线与所成的角为， 因为，，是正方体的面对角线， 则有，则为等边三角形， 所以. 故选：C. 6．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据中位线定理判断①，根据线面平行的判定定理判断②③，根据直线与平面的位置关系判断④⑤. 【详解】∵分别为的中点，∴，故①正确； ∵，平面，平面，∴平面，故②正确； ∵，平面，平面，∴平面，故③正确； ∵在直线上，平面，∴平面，又平面， ∴与平面相交，不平行，故④错误； ∵在直线上，平面，∴平面，又平面， ∴与平面相交，不平行，故⑤错误, 综上，①②③正确. 故选：C. 7．如图，已知平面，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以，D正确； 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以，A正确； 同理，又平面，，B正确. 根据已知条件，无法得到，故C不成立. 故选：C. 8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（   ） A．互为余角 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角 【答案】D 【分析】根据题意作出图像，根据线面垂直的判定与性质证明出四点共面，结合二面角平面角的定义与四边形的内角和即可得解. 【详解】 如图所示，为二面角内任意一点，交于点，交于点， 作交于点，连接， 因为，所以，又因为，所以， 平面，，所以平面， 又因为，，所以平面， 因为过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线垂直， 则过直线外一点有且只有一个平面与直线垂直，所以平面与平面重合， 即四点共面， 则平面，平面，则， 因为，，，，， 所以为二面角的平面角， 因为四边形内角和为，， 则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角， 故选：. 9．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义找到所求线面角，再根据直角三角形边的关系求解即可. 【详解】连接，    因为长方体中，平面， 所以即体对角线与平面所成角， 因为，所以， 且长方体中，， 则中，，故为等腰直角三角形， 所以. 故选：B. 10．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（    ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据线面，面面，线线的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】①若，则与可能平行或相交，垂直是一种特殊情况，故①错误； ②若，则与的位置关系为平行，相交或异面，故②错误； ③若，则与的位置关系为平行或相交，故③错误； ④若，则，故④正确， 所以正确的个数为， 故选：. 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 11．已知圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的母线长为______. 【答案】5 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面积公式列式即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为， 因为圆锥的侧面积为，底面半径为3， 即，解得. 所以圆锥的母线长为5. 故答案为：5. 12．如图，在正方体中，面对角线与所在直线的位置关系为_____.（填“平行”、“相交”或“异面”） 【答案】异面 【分析】根据正方体的性质，以及异面直线的概念求解. 【详解】在正方体中，平面， 平面平面，所以面对角线与所在直线的位置关系为异面. 故答案为：异面. 13．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，利用线面垂直的性质、判定定理判断异面直线与的位置关系. 【详解】连接，由正方体结构特征，有， 又面，面，则， 由且都在平面内，则面， 面，故， 即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 三、解答题:本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．如图所示，圆锥的底面半径为2，母线长为4.    (1)求该圆锥的体积； (2)若圆锥中有一个高为的内接圆柱，求这个圆柱的侧面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到圆锥的高度，然后按照圆锥的体积公式计算即可； （2）根据比例关系可得圆柱的底面半径，然后按照圆柱的侧面积公式计算即可. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径为2，母线长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. （2）设圆柱的底面半径为，圆柱高为， 由相似三角形的性质可得，即， 所以圆柱的侧面积为 15．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，E是的中点，F是的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用题中信息和三角形中位线证明线线平行，再由线线平行证明线面平行即可证得. （2）根据已知线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直即可解得. 【详解】（1）连接如下图所示：    由题可知为菱形，为中点，为中点， 则在上且为的中点，故在中，， 平面，平面， 平面. （2）平面，平面，， 又为菱形的对角线，， ，且平面，，， 平面. 16．如图所示，平面，四边形是菱形，且.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据平面，可得，再由菱形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可证明平面，由此可证； （2）根据平面，可知为直线在平面内的射影，根据边的关系求解角度的正弦值即可. 【详解】（1）证明：∵平面，平面， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）记与的交点为点O，连接，如图，    由（1）知，平面， 即平面， ∴为直线在平面内的射影， ∴是直线与平面所成的角， ∵平面，平面， ∴， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $