第86卷 立体几何（1）-专题训练卷 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式立体几何专项训练，聚焦基础计算、空间关系判定与空间角求解，构建从几何体量算到逻辑推理的知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|4题|表面积体积（正三棱锥/圆柱/圆锥/球）|从几何体棱长、半径等基本量到表面积体积公式应用| |空间关系判定|3题|线面平行垂直、面面垂直判定|从线线关系到线面关系再到面面关系的推理链| |空间角求解|3题|线线角、线面角、二面角|从角的定义到三角函数值计算的转化| |综合应用|3题|组合体（陀螺）、正方体、四棱锥证明|结合几何直观与推理能力，体现应用意识|

编写说明：2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》 第86卷 立体几何（1） 专题训练卷 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 2．圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线长为3，侧面积为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．空间两条直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定直线平面的是（    ） A．包含直线的平面与平面内的两条相交直线都平行 B．直线在平面外且与平面无公共点 C．直线与平面内的一条直线平行，且不在内 D．直线与平面内的一条直线平行 6．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成的角为45° D．异面直线与所成的角为 7．平面的一条斜线段等于它在上射影的倍，那么斜线与平面所成的角（    ） A． B． C． D． 8．设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 10．如图所示，沿等腰底边上的高AD，把折成二面角，则（ ）    A．平面ABD和平面BDC可能不垂直 B．平面ADC和平面BDC可能不垂直 C．平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC垂直 D．平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 11．若球的体积为，则该球的外切正方体的体积为______. 12．若平面的一条斜线段的长为4，它与这个平面所成角的大小是，则这条斜线在这个平面内的射影长是______． 13．如图，长方体中，，，则二面角的大小为____． 三、解答题:本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3．      (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 15．如图所示，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为AB，PD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 16．如图，在正方体中，求下列各对直线所成的角的大小.    (1)与； (2)与. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省高职单招《数学考纲百套卷》 第86卷 立体几何（1） 专题训练卷 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先算出一个正三角形的面积，再根据三棱锥的表面积求解即可. 【详解】设正三棱锥为， 则的面积， 所以每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是． 故选：C. 2．圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱侧面积公式求解即可. 【详解】圆柱侧面积公式为 ， 代入，可得：. 故选：B. 3．已知圆锥的母线长为3，侧面积为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合圆锥的侧面积公式先求得圆锥底面圆的半径，继而求得圆锥的高，结合圆锥的体积公式，即可代入求解. 【详解】由题意，设圆锥的母线长和底面半径分别为，则， 解得， 所以圆锥的高， 所以该圆锥的体积. 故选：D． 4．空间两条直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中直线所成角的范围直接解答即可. 【详解】空间两条直线所成角的范围是， 故选：A. 5．下列条件中，不能判定直线平面的是（    ） A．包含直线的平面与平面内的两条相交直线都平行 B．直线在平面外且与平面无公共点 C．直线与平面内的一条直线平行，且不在内 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】D 【分析】根据直线与平面平行的判定定理求解即可. 【详解】选项 A，包含直线的平面与平面内的两条相交直线都平行，则可以判定直线平行平面； 选项B，直线在平面外且与平面无公共点，则直线与平面平行； 选项C，直线与平面平行的判定定理要求 “平面外一条直线与平面内一条直线平行”，故可以判定；. 选项D，“直线与平面α内一条直线平行”，若在平面内，仍满足条件但不与平面平行，故不能判定. 故选：D. 6．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成的角为45° D．异面直线与所成的角为 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质以及线面角、异面直线所成角的定义求解. 【详解】如图，连接，，因为，分别为，的中点， 所以，分别为，的中点，则. 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 因为 平面，平面，所以. 又，所以，故B正确； 因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 而直线与平面所成的角为， 所以直线与平面所成的角为，故C正确； 因为，所以与所成的角即为与所成的角，为，故D错误. 故选：D. 7．平面的一条斜线段等于它在上射影的倍，那么斜线与平面所成的角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面所成角的定义，可得写线段与平面所成角的余弦值为，进而求角. 【详解】由线面角的定义，斜线段与平面所成角的余弦值为， 线面角的范围为， 则斜线与平面所成角为 故选：B. 8．设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行和面面平行的性质定理即可解得. 【详解】对于A，如图①，满足，但不平行，故A错误； 对于B，如图②，满足，但不平行，故B错误； 对于C，如图③，满足，但不平行，故C错误； 对于D，由，线面平行的判断定理可得，故D正确． 故选：D. 9．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 连接，设，连接，则， 因为在正方体中，, 所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在中，，， 所以． 故选：A. 10．如图所示，沿等腰底边上的高AD，把折成二面角，则（ ）    A．平面ABD和平面BDC可能不垂直 B．平面ADC和平面BDC可能不垂直 C．平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC垂直 D．平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直 【答案】D 【分析】根据两个平面垂直的判定与性质判断即可. 【详解】由题意，，平面，所以平面， 对于A选项，因为平面，平面，所以平面和平面垂直，故A选项错误； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面和平面垂直，故B选项错误； 对于C选项，同理，平面和平面都与平面垂直，故C选项错误； 同理，故D选项正确. 故选：D. 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 11．若球的体积为，则该球的外切正方体的体积为______. 【答案】 【分析】由球的体积可求解半径，再由直径可求解外切正方体的棱长，即可求解正方体的体积. 【详解】因为球的体积为， 所以，解得半径，即直径， 所以外切正方体棱长为， 所以. 故答案为:. 12．若平面的一条斜线段的长为4，它与这个平面所成角的大小是，则这条斜线在这个平面内的射影长是______． 【答案】 【分析】根据射影的定义，结合直线与平面所成角的概念即可求解. 【详解】如图所示，由题意得，， 则斜线段在这个平面内的射影长为. 故答案为：. 13．如图，长方体中，，，则二面角的大小为____． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，找出二面角的平面角，由其正切值即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，． 由，得，且． 又，所以，则是二面角的平面角． 在中，，，则，所以． 故答案为：. 三、解答题:本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3．      (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合圆锥的侧面积公式，圆柱的侧面积及底面积公式即可得解. （）根据圆锥及圆柱的体积公式即可得解. 【详解】（1）陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体， 其中圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3， 圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为， 所以该几何体的表面积. （2）圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3， 圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以该几何体的体积为. 15．如图所示，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为AB，PD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，可证四边形是平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理可证明结论； （2）设，连接PO，可证明平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. 【详解】（1）    取PC的中点G，连接FG，BG， 因为F是PD的中点，所以，且， 因为底面是菱形，E是AB中点， 则，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）设，则O是BD中点，连接PO， 因为底面是菱形，则． 因为，O是BD中点，所以， 因为，，都在平面内 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 16．如图，在正方体中，求下列各对直线所成的角的大小.    (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由异面直线所成的角,知直线与所成的角为，在直角三角形内求解即可; （2）直线与所成的角为，在直角三角形内求解即可. 【详解】（1）由正方体的性质可得,, ∴即为直线与所成的角. ∵, ∴. （2）由正方体的性质可得，, ∴即为直线与所成的角. ∵,且, ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $