三角函数的任意角、弧度制、象限角、轴线角、扇形讲义-2027届北京高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数中任意角、弧度制、象限角、扇形等北京高考核心考点，按基础概念、终边关系、对称应用、单位圆旋转、扇形计算的逻辑层次构建知识模块，通过考纲解读、核心知识点梳理、题型分类指导、真题训练及易错点警示，形成完整复习链条，帮助学生系统突破难点。 资料创新采用“概念辨析举反例+对称关系充要判断模板+扇形综合应用建模”教学策略，如用“终边相同角反例”培养数学思维，结合传统文化题强化数学眼光，通过单位圆旋转坐标计算提升数学语言表达。分层训练配合阅卷标准指导，确保高效复习，为教师把控节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

北京高考数学一轮复习之三角函数 任意角、弧度制、象限角、轴线角、扇形复习讲义（解析版） 一、北京高考考纲对应考察要求 1. 基础概念：理解正角、负角、零角、象限角、轴线角定义；区分锐角、第一象限角、钝角、第二象限角，能辨析真假命题。 2. 终边相关：掌握终边相同角、终边共线角集合写法；会求解区间内指定角、所在象限。 3. 弧度制：熟练角度、弧度互化，禁止同一式子混用角度 / 弧度单位；牢记弧长、扇形面积两大核心公式。 4. 两角对称核心：角终边关于轴、y=x、y=-x、原点对称的等量关系；结合诱导公式求三角函数值，判断充分 / 必要条件（北京高三一模高频）。 5. 单位圆旋转：单位圆上点旋转，利用两角和差余弦求坐标，结合三角函数定义求值。 6. 扇形综合应用：基础扇形计算、扇环、圆锥侧面展开、传统文化 / 几何应用题（北京选择第 6-10 题常结合实际模型）。 7. 能力要求：数形结合、举反例、方程思想；区分充分 / 必要逻辑，规范开放型填空题作答。 二、核心基础知识点 模块 1 任意角基础概念 1. 角的分类 (1) 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转；零角：无旋转。 (2) 象限角：终边落在四个象限；轴线角：终边在坐标轴，不属于任何象限。 (3) 严格定义区分： 锐角：（仅第一象限）； 钝角：（仅第二象限）； 第一象限角：（包含大于的角，不一定是锐角）。 2. 终边相同的角 与终边相同：； 终边在同一条直线（共线）：。 3. 等分角判断 已知象限，求：写出不等式，分k奇数、偶数分类讨论； 已知象限，求：直接放大不等式，注意终边落在坐标轴的情况。 4. 象限三角函数符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 模块 2 角度与弧度互化 + 扇形公式 1. 换算基准： ； 注意：一个表达式内不能同时写 ° 和 π。 2. 弧长公式：（为弧度） 3. 扇形面积两组公式： 4. 扇环面积：大扇形面积小扇形面积； 5. 圆锥侧面展开：底面周长 = 展开扇形弧长，母线 = 扇形半径。 模块 3 两角终边对称核心结论（必考） 设始边均为x轴正半轴 1. 关于x轴对称：， 2. 关于y轴对称：， 3. 关于直线对称：， 4. 关于直线对称：， 5. 终边共线（一条直线）：， 模块 4 单位圆与旋转坐标 1. 单位圆上点； 2. 顺时针旋转：新角，横坐标； 3. 逆时针旋转：新角，用两角和公式展开。 模块 5 逻辑判断：等价条件 （充要条件）。 三、四大题型完整分类（配套作答思路 + 解题技巧） 题型一：任意角概念辨析（真假命题、开放举反例） 题型特征 北京高考特色题型：选择题判断假命题个数；填空题写出一组反例证明命题错误。 典型考法 1：辨析锐角、象限角大小关系 命题常见陷阱： ① 小于是锐角（错，负角不满足）； ② 第二象限角一定大于第一象限角（错，举）； ③ 第一象限角，则（举反例）。 作答步骤 1. 严格对照锐角、钝角定义区分； 2. 举反例优先用 “同三角函数、终边相差一周” 的角； 3. 开放填空：写最简分数弧度，无需复杂数值。 解题技巧 举反例秒杀：取大周期第一象限角（）和小锐角，函数值相等，直接推翻单调性命题。 典型易错 混淆 “终边重合” 和 “角相等”；轴线角忽略不属于任何象限。 题型二：终边相同角、区间角、等分角求解 题型特征 化简大弧度 / 角度，求指定区间内所有角；已知判断象限。 考法 1 化简大角，找区间内终边相同角 步骤： 1. 减去，化为 [0,) 内基准角； 2. 解不等式，取整数k ，写出区间内全部角。 考 2 已知象限，判断 模板： 1. 写出范围不等式； 2. 两边同除 2，分k奇数、偶数； 3. 分两类写出对应象限。 考 3 终边在直线上，写角集合 直线，先求最小正基准角，再加（终边共线）。 避坑 终边共线用，终边相同只用，不可混用。 题型三：两角对称 + 充分必要条件判断（北京一模高频） 题型特征 1. 给出对称关系，求值； 2. 判断 “对称” 与等命题充分 / 必要； 作答通用模板 1. 先写出等量关系式； 2. 正向推导（充分）、反向举反例（必要）； 3. 双向均可推出 = 充要；单向成立 = 充分不必要。 核心速记 1. 终边关于x轴对称 ，反之不成立（也满足）； 2. 对称 ； 3. 对称 。 解题技巧 判断充要优先找反例：满足三角函数等式，但终边不对称的角。 题型四：单位圆旋转、三角函数定义求值 题型特征 线段绕原点顺 / 逆时针旋转，求终点横坐标；已知终边上点求。 标准步骤 1. 由点坐标得； 2. 顺时针旋转减角，逆时针加角； 3. 两角差 / 和余弦公式展开计算横坐标。 技巧 单位圆上点直接记，无需额外计算距离。 题型五：弧度制换算、扇形计算综合（基础计算题） 细分考法 1 角度弧度互化 技巧：直接乘以或，约分最简；禁止单位混用。 细分考 2 已知r、α求弧长、面积 直接套公式。 细分考 3 扇形周长求半径、圆心角 周长，联立方程组消元求解。 细分考 4 圆锥侧面展开 核心等量：底面圆周长 = 展开扇形弧长； 母线 = 扇形半径；利用相似三角形求圆台母线长。 细分考 5 扇环、弓形、传统文化几何应用题 解题步骤： 1. 提取半径、圆心角、弧长； 2. 拆分图形：扇形 ± 三角形； 3. 代入面积公式计算； 细分考 6 扇形内接矩形最值 设圆心角，用表示长宽，化简为辅助角三角函数求最值。 四、全模块高频易错扣分点（北京阅卷标准） 1. 角度、弧度混合书写（如），直接扣分； 2. 终边相同用、共线用混淆； 3. 举反例题型，角不在同一象限，无法推翻命题； 4. 等分角只写一种k情况，漏奇偶分类； 5. 扇形面积公式混淆lr与，忘记； 6. 圆锥展开时，底面周长与扇形弧长等量关系写错； 7. 两角对称充要条件单向推导就判定充要，缺少反例验证； 8. 顺时针旋转错误加弧度，两角余弦公式符号出错； 9. 钝角、第二象限角概念混淆，认为第二象限都是钝角； 10. 开放填空题答案不符合区间要求。 五、北京高考应试通用答题技巧 1. 选择概念辨析：优先举反例，不用复杂推导，30 秒锁定答案； 2. 终边化简题：统一化为弧度制计算，减少换算失误； 3. 对称充要判断：先写两角关系式，再双向验证； 4. 扇形大题分步写：先写l、S公式，再代入数据，分步给分； 5. 旋转坐标题固定套两角差余弦，不用几何画图硬算； 6. 开放填空（举反例）：优先用等最简分数，书写简洁； 7. 圆锥 / 圆台模型：先找弧长等量关系，再列方程求圆心角； 8. 最值类扇形内接矩形：统一化为辅助角形式求范围。 六、题型训练 模块一 任意角基础概念类题型 题型 1：任意角命题真假判断（辨析锐角、象限角、终边概念） 1．（23-24高一上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合任意角的概念分析即可. 【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 2．（23-24高一下·新疆塔城·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【分析】利用角的定义一一判定即可. 【详解】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误. 故选：A 3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 4．（23-24高三上·北京顺义·期中）已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只要找到一组满足题意的角即可. 【详解】因为为第一象限角，且， 取，则且在第一象限， 此时， 故命题为假命题，满足题意， 所以的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 5．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 【答案】D 【分析】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D. 【详解】A错，是第二象限角，但不是钝角； B错，是第二象限角，是第一象限角，但； C错，，则，但二者终边重合； D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍， 故. 故选：D. 题型 2：终边相同角、区间内角求解 1．（2025高一·江苏·专题练习）地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 【答案】B 【分析】结合题意与图象计算即可得. 【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经度． 故选：B. 2．（23-24高三·北京·阶段检测）在到范围内,与角终边相同的角是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在到范围内，与角终边相同的角是 故选 3．（23-24高一上·河北邢台·阶段检测）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】根据终边相同角的概念可求解. 【详解】， 与终边相同，所以是第一象限角． 故选：A. 4．（23-24高一·全国·课后作业）终边在直线上，且在内的角的集合为__________. 【答案】 【分析】由角终边在直线上，得到，由，能求出的集合，得出结果. 【详解】如图，在坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是， 在内，终边在直线上的角有两个：，； 在内满足条件的角有两个：，， 故满足条件的角构成的集合为. 【点睛】该题考查的是有关已知角的终边，确定落在某个区间内的角的集合的问题，在解题的过程中，需要利用直线的斜率，求得对应角的正切值，之后确定角的大小，属于简单题目. 5．（2025高一上·重庆开州·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为______． 【答案】 【分析】根据终边相同角的表示方法，求得，结合，列出不等式，求得的值，即可求解. 【详解】因为角的终边与角的终边相同，可得， 则，令， 即，则， 又因为，所以， 所以终边与角的终边相同的钝角为． 故答案为：. 6．（24-25高一·全国·课后作业）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的集合的表达式可判断结果. 【详解】易知角度制与弧度制在同一个式子当中不能混用，即AB错误； 又与终边位置相同，可表示为， 也可表示为，还可以表示为，即C正确，D错误. 故选：C 7．（23-24高一下·上海青浦·阶段检测）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据表示终边的角逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误； 对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误； 对于C，当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边在所在直线上的角，故C错误； 对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角，表示终边在轴负半轴上的角，故D正确. 故选：D. 题型 3：角度与弧度互相转化 1．（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解 【详解】因为，所以. 故选：A 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 3．（23-24高一下·安徽淮北·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AB 【分析】掌握的弧度制与角度制的数量关系计算即得. 【详解】对于A项，因，故A项正确； 对于B项，因，故B项正确； 对于C项，因，故C项错误； 对于D项，因，故D项错误. 故选：AB. 题型 4：判断角所在象限、三角函数符号判定 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解. 【详解】由，可得，， 故为第三象限角， 故选：C 2．（23-24高三上·北京·开学考试）已知点落在角的终边上，且，则是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】首先求点的坐标，再判断的象限. 【详解】，， 所以，点是第三象限，所以是第三象限角. 故选：C 3．（23-24高一下·上海·课后作业）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四 【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案. 【详解】因为是第三象限角，所以，， 所以，， 当为偶数时，为第二象限角， 当为奇数时，为第四象限角. 故答案为：二或四. 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【分析】由与关于x轴对称，判断A选项； 由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项； 由是第一象限角判断C选项； 由不等式的性质可得，，由此可判断D选项． 【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确； 因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误； 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误． 故选：AB. 5．（24-25高三上·北京通州·阶段检测）若，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】确定所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】因，则是第二象限象限角， 所以. 故选：B 6．（24-25高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边上的点知，，进而可得，即可求. 【详解】由角的终边过点，知：，， ∴，故. 故选：A. 7．（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知，则角可以为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，结合不同象限三角函数值的正负，即可求解. 【详解】根据题意，由，，易知角为第三象限角， 因为，，，，所以角可以为4. 故选：A. 模块二 角对称关系 + 充分必要条件题型 题型 1：两角关于坐标轴、直线对称，求三角等式 1．（23-24高三上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，后由诱导公式可得答案. 【详解】因角和角的终边关于x轴对称，则，则. 故选：A 2．（2023·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角与的终边构成一条直线得，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以， 所以 ， 又， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三下·北京朝阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】作出符合题意得图形，从而得到的取值范围，再由三角函数的性质得到最小值. 【详解】由题意，画出图形，得，    函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴当且仅当时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 4．（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______. 【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） （答案不唯一，符合题意即可） 【分析】由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 则，，则， 因为，所以， 所有或，， 解得：或，， 取，的一个值可以为，的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）. 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 6．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 题型 2：对称关系与充要条件判断 1．（2026·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】验证必要性：若，代入，利用三角函数诱导公式化简，结合的奇偶性判断. 验证充分性：若，利用三角函数的诱导公式，推导与的关系. 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 2．（24-25高一上·河南漯河·期末）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 3．（2024·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足 的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称,则, ,则， “角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件. 故选:A 4．（24-25高三上·北京门头沟·期末）“角的终边关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据命题的充分必要性分别判断即可. 【详解】由角的终边关于轴对称，可知，即成立， 当时，角的终边关于轴对称或， 所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断命题“角与角的终边关于轴对称”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案. 【详解】由题意知，角与角的终边关于轴对称时，则 ， 故，则，即； 当时，此时，角与角的终边不关于轴对称， 即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立， 故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 模块三 单位圆旋转、两角差余弦计算题型 1．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 【答案】 【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的角满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为. 【详解】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示： 根据三角函数定义可知，； 绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为， 所以点B的横坐标为. 故答案为： 2．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______. 【答案】 【解析】根据三角函数的定义，求得的值，进而确定角的最小正值. 【详解】由于是角的终边上一点，所以 .由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为. 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题. 3．（23-24高三上·北京·阶段检测）已知角的终边为射线，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知角的集合为，再结合诱导公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为角的终边为射线， 所以，角时，， 所以，角的集合为，故A选项错误； 所以， ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误. 故选：C 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 又因为， 所以， ，得. A：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； B：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； C：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； D：令，显然该方程有整数解，本选项符合题意； 5．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的_______________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据终边相同的角以及余弦函数的定义，计算即可. 【详解】由题意，，则或 故答案为：（答案不唯一）. 模块四 扇形、弧长、面积综合题型 题型 1：基础弧长、面积求值（已知 r、α 求量） 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据弧长公式和扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，中心角的弧度数为， 根据弧长公式可得，根据扇形面积公式可得， 将代入可得，，所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·北京延庆·期末）一个半径为3的扇形中，圆心角为，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式求得正确答案. 【详解】圆心角，对应， 所以扇形面积为. 故答案为： 3．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助扇形周长公式、弧长公式与面积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故 . 故选：B. 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，中心角为，面积为， 根据扇形的面积公式可得：，解得， 再根据弧长公式可得：，解得. 故选：C. 5．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 6．（25-26高三上·北京房山·阶段检测）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为______． 【答案】 【分析】由弧长公式求解即可. 【详解】由弧长公式可得， 故答案为： 7．（23-24高三·北京·开学考试）若扇形的周长是8，面积4，则扇形的圆心角为______． 【答案】2 【分析】设扇形的圆心角为，半径为R，则由已知可得，解方程组可得答案 【详解】解：设扇形的圆心角为，半径为R，则． 故答案为：2． 8．（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算求解. 【详解】设圆心角为，所以，所以3 故选：C. 9．（24-25高三上·北京丰台·阶段检测）已知扇形AOB的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为______，弧长为______. 【答案】 2 / 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，进而求出弧长. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 由扇形AOB的面积为，圆心角为，得，解得， 所以扇形的弧长. 故答案为：2； 10．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，矩形ABCD的面积S的最大值为_________. 【答案】 【分析】先设，把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，再利用角的范围，结合正弦，余弦的二倍角公式，辅助角公式化简，再由正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可． 【详解】连接，设，， 由题意知：在中，，. 在中，， 所以. 设矩形的面积为S，则 . 由，得， 所以当，即时，. 因此，当时，矩形有最大面积，为. 故答案为： 11．（2025·陕西·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 题型 2：圆锥侧面展开扇形计算 1．（2025·四川德阳·一模）若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解. 【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为， 圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为， 所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是. 故选：A 2．（25-26高三上·北京·开学考试）若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，依题意得到，利用扇形的弧长公式，即可得解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开所得扇形的圆心角为， 若圆锥的顶角是钝角，则，即， 所以侧面展开所得扇形的圆心角. 故选：D.    题型 3：几何模型、传统文化应用题 1．（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出两个图形的面积，结合选项判断即可. 【详解】设运动路程为，，设， 由弧长公式：， ，， 扇形的面积为，所以，即，C正确，D不正确； 因为最大可取，，所以，A不正确； 当取时，,此时，故存在，B不正确. 2．（2025·云南昭通·模拟预测）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 3．（2025高三·北京·专题练习）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】欲求封闭图形的面积，需要作辅助线对图形进行分割，分割成三角形、扇形等易求面积的图形，再求解． 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该封闭图形的面积为． 故选：C.    4．（2025高三下·北京·专题练习）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由根羽毛固定在球托上.测得每根羽毛在球托之外的长为cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面.测得顶端所围成圆的直径是cm，底部所围成圆的直径是cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为______. 【答案】/ 【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可. 【详解】    将圆台补成圆锥如图所示，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差， 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，， ，可得：，解得， 小圆锥底面半径为，小圆锥展开的扇形的弧长为， 设曲面的展开图的圆心角为，则，即. 故答案为： 5．（24-25高三下·北京·阶段检测）如图，是边长为1的正三角形．曲线，，是分别以，，为圆心，，，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，…，如此下去，可以得到一个优美的螺旋线.那么曲线的长度为________，画到第八圈，得到的螺旋线的总长度为________． 【答案】 【分析】根据题意结合扇形弧长公式求曲线的长度，分析可知第n个的圆弧的半径为，圆弧长为，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以曲线的长度为， 又因为圆弧的半径依次为，圆心角均为， 即第n个的圆弧的半径为，圆弧长为， 所以第八圈得到的螺旋线的总长度为. 故答案为：；. 6．（24-25高一上·北京朝阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中给出求弧田（弓形田）面积的“弧田术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是线段的中点，在上，.设弧田的面积为，“弧田术”给出的近似值的计算公式为.若，，则______；______. 【答案】 【分析】利用扇形与三角形的面积公式可求得，再利用“弧田术”公式可求得，从而得解. 【详解】根据题意，得，， 所以是正三角形，边上的高为， 所以， 而扇形的面积为， 所以弧田的面积为； 连接，如图， 因为是线段的中点，在上，， 则，共线，其中，， 所以，又， 所以. 故答案为：；. 7．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角. 【详解】底面圆的面积为，得底面圆的半径为， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 屋顶的体积为，由得圆锥的高，    所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径， 得侧面展开图扇形的圆心角约为. 故选：C. 8．（23-24高三上·北京房山·开学考试）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度数为，则角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面度数的定义，结合扇形的面积公式可求得角的弧度数，继而可求得答案. 【详解】设角所在的扇形的半径为，面积为， 则由题意可得，解得， 所以， 故选：D 9．（2024·北京东城·二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米 【答案】B 【分析】直接利用扇形面积计算得到答案. 【详解】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为Slr45270（平方米）. 故选：B. 【点睛】本题考查了扇形面积，属于简单题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京高考数学一轮复习之三角函数 任意角、弧度制、象限角、轴线角、扇形复习讲义（原卷版） 一、北京高考考纲对应考察要求 1. 基础概念：理解正角、负角、零角、象限角、轴线角定义；区分锐角、第一象限角、钝角、第二象限角，能辨析真假命题。 2. 终边相关：掌握终边相同角、终边共线角集合写法；会求解区间内指定角、所在象限。 3. 弧度制：熟练角度、弧度互化，禁止同一式子混用角度 / 弧度单位；牢记弧长、扇形面积两大核心公式。 4. 两角对称核心：角终边关于轴、y=x、y=-x、原点对称的等量关系；结合诱导公式求三角函数值，判断充分 / 必要条件（北京高三一模高频）。 5. 单位圆旋转：单位圆上点旋转，利用两角和差余弦求坐标，结合三角函数定义求值。 6. 扇形综合应用：基础扇形计算、扇环、圆锥侧面展开、传统文化 / 几何应用题（北京选择第 6-10 题常结合实际模型）。 7. 能力要求：数形结合、举反例、方程思想；区分充分 / 必要逻辑，规范开放型填空题作答。 二、核心基础知识点 模块 1 任意角基础概念 1. 角的分类 (1) 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转；零角：无旋转。 (2) 象限角：终边落在四个象限；轴线角：终边在坐标轴，不属于任何象限。 (3) 严格定义区分： 锐角：（仅第一象限）； 钝角：（仅第二象限）； 第一象限角：（包含大于的角，不一定是锐角）。 2. 终边相同的角 与终边相同：； 终边在同一条直线（共线）：。 3. 等分角判断 已知象限，求：写出不等式，分k奇数、偶数分类讨论； 已知象限，求：直接放大不等式，注意终边落在坐标轴的情况。 4. 象限三角函数符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 模块 2 角度与弧度互化 + 扇形公式 1. 换算基准： ； 注意：一个表达式内不能同时写 ° 和 π。 2. 弧长公式：（为弧度） 3. 扇形面积两组公式： 4. 扇环面积：大扇形面积小扇形面积； 5. 圆锥侧面展开：底面周长 = 展开扇形弧长，母线 = 扇形半径。 模块 3 两角终边对称核心结论（必考） 设始边均为x轴正半轴 1. 关于x轴对称：， 2. 关于y轴对称：， 3. 关于直线对称：， 4. 关于直线对称：， 5. 终边共线（一条直线）：， 模块 4 单位圆与旋转坐标 1. 单位圆上点； 2. 顺时针旋转：新角，横坐标； 3. 逆时针旋转：新角，用两角和公式展开。 模块 5 逻辑判断：等价条件 （充要条件）。 三、四大题型完整分类（配套作答思路 + 解题技巧） 题型一：任意角概念辨析（真假命题、开放举反例） 题型特征 北京高考特色题型：选择题判断假命题个数；填空题写出一组反例证明命题错误。 典型考法 1：辨析锐角、象限角大小关系 命题常见陷阱： ① 小于是锐角（错，负角不满足）； ② 第二象限角一定大于第一象限角（错，举）； ③ 第一象限角，则（举反例）。 作答步骤 1. 严格对照锐角、钝角定义区分； 2. 举反例优先用 “同三角函数、终边相差一周” 的角； 3. 开放填空：写最简分数弧度，无需复杂数值。 解题技巧 举反例秒杀：取大周期第一象限角（）和小锐角，函数值相等，直接推翻单调性命题。 典型易错 混淆 “终边重合” 和 “角相等”；轴线角忽略不属于任何象限。 题型二：终边相同角、区间角、等分角求解 题型特征 化简大弧度 / 角度，求指定区间内所有角；已知判断象限。 考法 1 化简大角，找区间内终边相同角 步骤： 1. 减去，化为 [0,) 内基准角； 2. 解不等式，取整数k ，写出区间内全部角。 考 2 已知象限，判断 模板： 1. 写出范围不等式； 2. 两边同除 2，分k奇数、偶数； 3. 分两类写出对应象限。 考 3 终边在直线上，写角集合 直线，先求最小正基准角，再加（终边共线）。 避坑 终边共线用，终边相同只用，不可混用。 题型三：两角对称 + 充分必要条件判断（北京一模高频） 题型特征 1. 给出对称关系，求值； 2. 判断 “对称” 与等命题充分 / 必要； 作答通用模板 1. 先写出等量关系式； 2. 正向推导（充分）、反向举反例（必要）； 3. 双向均可推出 = 充要；单向成立 = 充分不必要。 核心速记 1. 终边关于x轴对称 ，反之不成立（也满足）； 2. 对称 ； 3. 对称 。 解题技巧 判断充要优先找反例：满足三角函数等式，但终边不对称的角。 题型四：单位圆旋转、三角函数定义求值 题型特征 线段绕原点顺 / 逆时针旋转，求终点横坐标；已知终边上点求。 标准步骤 1. 由点坐标得； 2. 顺时针旋转减角，逆时针加角； 3. 两角差 / 和余弦公式展开计算横坐标。 技巧 单位圆上点直接记，无需额外计算距离。 题型五：弧度制换算、扇形计算综合（基础计算题） 细分考法 1 角度弧度互化 技巧：直接乘以或，约分最简；禁止单位混用。 细分考 2 已知r、α求弧长、面积 直接套公式。 细分考 3 扇形周长求半径、圆心角 周长，联立方程组消元求解。 细分考 4 圆锥侧面展开 核心等量：底面圆周长 = 展开扇形弧长； 母线 = 扇形半径；利用相似三角形求圆台母线长。 细分考 5 扇环、弓形、传统文化几何应用题 解题步骤： 1. 提取半径、圆心角、弧长； 2. 拆分图形：扇形 ± 三角形； 3. 代入面积公式计算； 细分考 6 扇形内接矩形最值 设圆心角，用表示长宽，化简为辅助角三角函数求最值。 四、全模块高频易错扣分点（北京阅卷标准） 1. 角度、弧度混合书写（如），直接扣分； 2. 终边相同用、共线用混淆； 3. 举反例题型，角不在同一象限，无法推翻命题； 4. 等分角只写一种k情况，漏奇偶分类； 5. 扇形面积公式混淆lr与，忘记； 6. 圆锥展开时，底面周长与扇形弧长等量关系写错； 7. 两角对称充要条件单向推导就判定充要，缺少反例验证； 8. 顺时针旋转错误加弧度，两角余弦公式符号出错； 9. 钝角、第二象限角概念混淆，认为第二象限都是钝角； 10. 开放填空题答案不符合区间要求。 五、北京高考应试通用答题技巧 1. 选择概念辨析：优先举反例，不用复杂推导，30 秒锁定答案； 2. 终边化简题：统一化为弧度制计算，减少换算失误； 3. 对称充要判断：先写两角关系式，再双向验证； 4. 扇形大题分步写：先写l、S公式，再代入数据，分步给分； 5. 旋转坐标题固定套两角差余弦，不用几何画图硬算； 6. 开放填空（举反例）：优先用等最简分数，书写简洁； 7. 圆锥 / 圆台模型：先找弧长等量关系，再列方程求圆心角； 8. 最值类扇形内接矩形：统一化为辅助角形式求范围。 六、题型训练 模块一 任意角基础概念类题型 题型 1：任意角命题真假判断（辨析锐角、象限角、终边概念） 1．（23-24高一上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·新疆塔城·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 4．（23-24高三上·北京顺义·期中）已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________. 5．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 题型 2：终边相同角、区间内角求解 1．（2025高一·江苏·专题练习）地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 2．（23-24高三·北京·阶段检测）在到范围内,与角终边相同的角是 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北邢台·阶段检测）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（23-24高一·全国·课后作业）终边在直线上，且在内的角的集合为__________. 5．（2025高一上·重庆开州·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为______． 6．（24-25高一·全国·课后作业）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·上海青浦·阶段检测）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 题型 3：角度与弧度互相转化 1．（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽淮北·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 题型 4：判断角所在象限、三角函数符号判定 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（23-24高三上·北京·开学考试）已知点落在角的终边上，且，则是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 3．（23-24高一下·上海·课后作业）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限. 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 5．（24-25高三上·北京通州·阶段检测）若，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（24-25高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则 （    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知，则角可以为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 模块二 角对称关系 + 充分必要条件题型 题型 1：两角关于坐标轴、直线对称，求三角等式 1．（23-24高三上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若 则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高三下·北京朝阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________. 4．（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______. 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________. 6．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 题型 2：对称关系与充要条件判断 1．（2026·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·河南漯河·期末）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三上·北京门头沟·期末）“角的终边关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 模块三 单位圆旋转、两角差余弦计算题型 1．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 2．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______. 3．（23-24高三上·北京·阶段检测）已知角的终边为射线，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的_______________. 模块四 扇形、弧长、面积综合题型 题型 1：基础弧长、面积求值（已知 r、α 求量） 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高一上·北京延庆·期末）一个半径为3的扇形中，圆心角为，则扇形的面积为______． 3．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 6．（25-26高三上·北京房山·阶段检测）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为______． 7．（23-24高三·北京·开学考试）若扇形的周长是8，面积4，则扇形的圆心角为______． 8．（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 9．（24-25高三上·北京丰台·阶段检测）已知扇形AOB的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为______，弧长为______. 10．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，矩形ABCD的面积S的最大值为_________. 11．（2025·陕西·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 题型 2：圆锥侧面展开扇形计算 1．（2025·四川德阳·一模）若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（   ） A． B． C．2 D．3 2．（25-26高三上·北京·开学考试）若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（    ） A． B． C． D． 题型 3：几何模型、传统文化应用题 1．（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昭通·模拟预测）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·北京·专题练习）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025高三下·北京·专题练习）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由根羽毛固定在球托上.测得每根羽毛在球托之外的长为cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面.测得顶端所围成圆的直径是cm，底部所围成圆的直径是cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为______. 5．（24-25高三下·北京·阶段检测）如图，是边长为1的正三角形．曲线，，是分别以，，为圆心，，，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，…，如此下去，可以得到一个优美的螺旋线.那么曲线的长度为________，画到第八圈，得到的螺旋线的总长度为________． 6．（24-25高一上·北京朝阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中给出求弧田（弓形田）面积的“弧田术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是线段的中点，在上，.设弧田的面积为，“弧田术”给出的近似值的计算公式为.若，，则______；______. 7．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·北京房山·开学考试）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度数为，则角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京东城·二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $