辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷03

**基本信息** 辽宁省2026-2027高二开学数学模拟卷，覆盖人教B版必修三、四及选择性必修一内容，精选跨地域期末真题改编，通过立体几何、三角函数等模块考查空间观念与逻辑推理，适配开学知识衔接检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数虚部、三角函数图像变换、线面关系|多选9题辨析空间向量共线与共面，强化推理意识| |填空题|3题/15分|向量运算、组合体表面积、函数单调性|14题结合单调性求参数个数，考查数学思维严谨性| |解答题|5题/77分|向量夹角、正三棱柱线面平行证明、解三角形|16题综合线面平行证明与体积计算，体现空间观念；18题解三角形结合角平分线，培养数学语言表达能力|

辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·河南郑州·期末）复数（i为虚数单位）的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高一下·青海海东·期末）以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（    ） A．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3．（25-26高一下·吉林长春·期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．（25-26高一下·江苏南京·期末）若，，则 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）在△中，角，，的对应边分别为，，，若，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖北鄂州·期末）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ） A．13 B．34 C．20 D．25 7．（25-26高一下·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，，底面，且，为中点，，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏连云港·期中）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 10．（25-26高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ） A． B．该简谐运动的频率为，初相为 C．直线是的一个对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 11．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，点Q为线段上的动点，则下列选项正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．动点到平面的距离为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，且，则________． 13．（25-26高一下·山东泰安·期末）如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·天津西青·期末）已知向量，． (1)求及； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 16．（25-26高一下·广东广州·期末）如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)若，求三棱锥的体积． 17．（25-26高一下·四川巴中·期末）已知，，且． (1)求函数的解析式； (2)将图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18．（25-26高一下·湖南·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若的平分线交于点，，，求． 19．（25-26高一下·浙江台州·期末）如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若，求二面角平面角的正切值． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·河南郑州·期末）复数（i为虚数单位）的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以复数的虚部是． 2．（25-26高一下·青海海东·期末）以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（    ） A．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】C 【详解】对于选项A，得到函数的图象； 对于选项B，得到函数的图象； 对于选项C，得到函数的图象； 对于选项D，得到函数的图象． C选项正确. 3．（25-26高一下·吉林长春·期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】结合空间中线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理，逐项分析判断即可. 【详解】选项A：若，，则存在的情况，故不一定成立，A错误； 选项B：由线面垂直的性质，若且，则； 又，根据“垂直于同一直线的两个平面互相平行”的面面平行判定结论，可得，B正确； 选项C：若，，则存在的情况，故不一定成立，C错误； 选项D：若，，则或；结合，可得或， 故不一定成立，D错误. 4．（25-26高一下·江苏南京·期末）若，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将条件进行切化弦得到与的关系，再结合两角和的正弦公式求出二者的值，最后代入两角差的正弦公式计算结果. 【详解】由，根据同角三角函数的商数关系可得， 化简整理得①. 因为，由两角和的正弦公式得②. 将①代入②，得，解得， 再将代入①得. 所以. 因此. 5．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）在△中，角，，的对应边分别为，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开已知等式，利用余弦定理可求得，利用同角三角函数的平方关系求得，利用诱导公式与二倍角的正余弦公式可求得. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以. 6．（25-26高一下·湖北鄂州·期末）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ） A．13 B．34 C．20 D．25 【答案】B 【分析】根据为边的中点，得，从而，分别求和的值，代入即可. 【详解】因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，， 所以. 取边中点，连接，则，所以. 所以 . 同理可得， 50. 所以 . 7．（25-26高一下·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，，底面，且，为中点，，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，求出的长，再求到平面的距离，根据求三棱锥的体积. 【详解】设，因为底面，所以，又为中点， 所以.因为，所以. 由， 所以，即. 因为底面，所以平面底面， 又，所以平面，所以点到平面的距离为2， 因为为中点，所以点到平面的距离为1. 又， 所以. 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏连云港·期中）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【分析】根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确. 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 10．（25-26高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ） A． B．该简谐运动的频率为，初相为 C．直线是的一个对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又， 所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由，即，故直线是的一个对称轴，故选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 故选：ACD 11．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，点Q为线段上的动点，则下列选项正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．动点到平面的距离为定值 【答案】ABD 【分析】对于A，由进行求解；对于B项，直线与平面所成角为或其补角进行求解；对于C项，由平面截正方体所得的截面为等腰梯形进行求解；对于D项，由平面平面进行求解． 【详解】对于A项，连接，如图所示， ，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角， 因为为等边三角形，所以， 即直线与直线所成的角为，故A项正确； 对于B项，连接， 则平面，记垂足为点， 则，， 直线与平面所成角为或其补角，则， 故直线与平面所成角的正弦值为，故B项正确； 对于C项，连接，如图所示： 则，得平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ， 得等腰梯形的高为， 则等腰梯形的面积为：，故C项错误； 对于D项，依次取的中点，如图所示： 显然平面平面，则两平面间的距离为定值， 而点Q为线段上的动点，则平面， 则动点到平面的距离为定值，故D项正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，且，则________． 【答案】/ 【分析】先根据的正弦值和所在象限求出正切值，将拆成，用两角差的正切公式算出，结合的范围确定象限，再利用同角三角函数平方关系求出． 【详解】由，，得， 所以， 又， 所以， 由，得，代入， 得，解得， 因为，，所以， 所以． 13．（25-26高一下·山东泰安·期末）如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________． 【答案】/ 【分析】该组合体的表面积由正四棱台的上底面积、正四棱台的侧面积以及正四棱锥的侧面积三部分组成，分别计算各部分面积后求和即可. 【详解】设正四棱台侧面的高为，则， 即，则， ，， 故这个组合体的表面积为. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 【答案】9 【分析】根据单调区间可确定周期范围，结合可得，然后即可确定的取值. 【详解】因为函数在上单调， 所以， 又， 所以，得， 又，即， 当时，满足题意， 此时，可取，共9个. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·天津西青·期末）已知向量，． (1)求及； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）由数量积的坐标公式及模的坐标公式，结合平面向量线性运算的坐标表示进行求解即可； （2）由平面向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示列出关于的方程，求解可得； （3）根据平面向量夹角的坐标公式进行求解即可. 【详解】（1）由向量，，得； ， . （2）， ， 若，则， 解得. （3）由，， 得， ， 所以. 16．（25-26高一下·广东广州·期末）如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1) （1）连结交于，连结， 在中，，分别为和的中点，则， 平面，平面， 平面. (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证得，再利用可求得，最后用转换顶点法求三棱锥的体积. 【详解】（1）略； （2）    取中点为，连结，， ，则， 平面平面，平面平面，且平面， 平面，平面，则， 又，，面,面 面，， 则，可得. ，面，面，面，. 17．（25-26高一下·四川巴中·期末）已知，，且． (1)求函数的解析式； (2)将图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式和三角恒等变换的公式，即可求解； （2）利用三角函数的图象变换，得到，根据题意，转化为的图象与直线有两个交点，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以 ， 所以函数的解析式为：. （2）解：将图像上所有点向右平移个单位，得到， 再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，得到， 因为方程有两个不相等的实数根， 等价于的图象与直线有两个交点， 因为，可得， 令，可得，其中， 即为与直线的图象有两个交点， 画出函数和直线的图象，如图所示， 要使得与直线的图象有两个交点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（25-26高一下·湖南·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若的平分线交于点，，，求． 【答案】(1)由，得， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以， 在锐角中，，，所以， 所以，即； (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）在锐角中，，，令，则，根据在上单调递增，可求得的取值范围； （3）因为，所以由，得，代入数值可求得． 【详解】（1）略 （2）在锐角中，，，， 可得，所以， ， 令，则，， 因为，所以在上单调递增， 又因为，， 所以，即； （3）因为，为锐角，所以， 所以， 因为， 所以， 即， 解得． 19．（25-26高一下·浙江台州·期末）如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若，求二面角平面角的正切值． 【答案】(1)证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面， 所以； (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）过作于，得进行计算； （3）由是二面角的平面角，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）过作于，连接， 因为，平面，得平面， 平面 所以， 在中，可求得，， 在中，，可求得， 所以点到直线的距离为，    （3）因为平面，且平面，所以， 因为，平面， 得平面，而平面， 得， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，由（2）有，，可得， 在四边形中，，， 所以，，，四点共圆，且为直径， 所以， 在直角三角形中，，，解得， 所以， 所以二面角平面角的正切值为． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $