13.1勾股定理及其逆定理暑假预习练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 这份同步练习以勾股定理及其逆定理为核心，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，覆盖从概念理解到综合创新的完整路径，适配暑假复习与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定理直接计算、逆定理判断、勾股数识别|单选题1-4、填空题16，聚焦核心概念，夯实运算能力| |中档|实际情境应用、图形面积关系、简单证明|填空题13-15、解答题19，结合台风测量等场景，培养应用意识| |提升|综合几何证明、新定义问题、复杂图形计算|解答题20（拼图证明）、23（完美勾股数），发展推理能力与创新意识|

13.1勾股定理及其逆定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 2．下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（    ） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 3．下面的四组数中不是勾股数的一组是（    ） A．5，8，10 B．5，12，13 C．6，8，10 D．3，4，5 4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 5．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，a，b，c分别是，，的对边，下列不能确定为直角三角形的是（        ） A． B． C． D． 8．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，，已测得则池塘的宽度是（    ）    A． B． C． D． 9．在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 10．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 11．如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 12．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（    ） A．6，8，10 B．6，8，12 C．5，6，11 D．5，12，14 二、填空题 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____． 14．如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是________．    15．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 16．在中，． （1）若，，则_________． （2）若，．则_________． 17．如图，小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶．已知，则开始游戏3s后，两赛车相距_______m． 三、解答题 18．如图，已知每个小方格的边长均为1，求的长，并计算与的周长比． 19．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 20．如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形． (1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形； (2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理． 21．画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为． (1)请在图中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (2)请在图中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数． 22．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 23．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 24．如图，点在梯形的边上，,,,,． (1)求的度数． (2)求梯形的面积． 《13.1勾股定理及其逆定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A C D B C B C 题号 11 12 答案 C A 1．B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：B 2．A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意； B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意； C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意； D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．A 【分析】根据勾股数的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，不是勾股数，故符合题意； B、，是勾股数，故不符合题意； C、，是勾股数，故不符合题意； D、，是勾股数，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键． 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于． 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4． ∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； …… ∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为． 故选C． 6．D 【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D． 【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为的梯形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以的和为边正方形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为的小正方形面积和=以c为边正方形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、∵四个小图形面积和=大正方形面积， ∴， ∴， 根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 7．B 【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义计算判断即可． 【详解】因为， 所以能判断为直角三角形， 故A不符合题意； 因为， 设， 则 所以不能判断为直角三角形， 故B符合题意； 因为， 所以 所以能判断为直角三角形， 故C不符合题意； 因为， 所以 所以能判断为直角三角形， 故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的定义即有一个角是直角的三角形是解题的关键． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据已知条件在直角三角形中，利用勾股定理求得的长，用减去求得即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∴池塘的宽度为50米． 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，逐一分析各选项是否满足直角三角形的条件． 【详解】解：A． 由，结合三角形内角和为，得，故，为直角三角形，排除A． B． ，总份数为，对应角度分别为，，，最大角为，非直角，故不能判定为直角三角形． C． 展开得，即，满足勾股定理的逆定理，为直角三角形，排除C． D． 设，，，验证即，满足勾股定理的逆定理，为直角三角形，排除D． 故选B． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为， ∴， ∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积， ∴正方形B的面积是， ∴正方形B的边长是2， 故选：C ． 11．C 【分析】此题考查了三角形．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． 延长至点E，使，连接，结合是的中线证明，得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵， ∴ ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 故选：C ． 12．A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【详解】解：A. 62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意； B.62+82≠122，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C.52+62≠112，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D.52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 13． 【分析】先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12， ∴，∠ECD=90°， ∴CE=AE－AC=8， 设DE=x，则DC=BC－BD=12－x， 在Rt△ECD中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理． 14．4 【分析】本题考查“赵爽弦图”，发现中间小正方形的边长与两直角边长之间的关系是解题的关键． 将长的直角边减去短直角边即为中间小正方形的边长． 【详解】解：中间小正方形的边长是：， 则中间小正方形的面积是， 故答案为：4． 15．12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 16． 【分析】（1）根据题意可知为斜边，为直角边，然后根据勾股定理计算即可； （2）根据题意是两条直角边，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意准确判断直角边和斜边，运用勾股定理定理解题是关键． 17．35 【分析】如图，连接，构造直角，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意知，出发秒钟时，，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是勾股定理的实际应用，读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 18．，，；与的周长比为2∶1． 【分析】先根据勾股定理求出，，，，，的长，再求出与的周长，进而可得出结论． 【详解】解：由图可知，，，，，，， 的周长， 的周长， ． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 19．(1) (2)风眼离海港最近的距离是 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积公式和勾股定理解决距离及时间问题． （1）通过计算与是否相等，利用勾股定理逆定理判断的度数； （2）过点C作，利用直角三角形面积公式，结合、、的长度求出的长，即风眼离海港C最近的距离； （3）在上找到到C距离为的两点E、，利用勾股定理求出和的长，进而得到的长，再结合台风速度求出影响持续时间． 【详解】（1）因为，所以， 所以是直角三角形，． （2）如图，过点作于点． 因为是直角三角形， 所以， 所以， 所以． 故风眼离海港最近的距离是． （3）如图，为上两点，且． 在中，由勾股定理，得，所以． 同理可得， 所以， 故台风影响该海港持续的时间为． 20．(1) 如图所示正方形即为所求； (2) 证明：，， ， ． 【分析】题目主要考查勾股定理与图形面积计算，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）根据题意作出相应图形即可； （2）根据（1）中图形，分别表示出面积即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)画图见解析（答案不唯一）； (2)画图见解析（答案不唯一）． 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，勾股定理逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格与勾股定理即可画图； （）根据网格与勾股定理即可画图． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴满足条件； （2）解：如图，即为所求； 理由：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴即为所求． 22．(1) 解：是直角三角形，理由如下： ∵km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 23．(1)是 (2) 证明： 是“完美勾股数” 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）略 24．(1) (2) 【分析】（1）先求出，得出是等腰直角三角形，进而可得，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）由（1）可得，从而证明是等腰直角三角形，进而求出、，再根据梯形的面积公式计算，得到答案． 本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理求出是解题的关键． 【详解】（1）解：∵,，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ． （2）由（1）得， ． ， ， ． 在中，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $