专题7.4 直线 、平面垂直的判定与性质（5重难点题型+高分技法+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与分层题型为载体，系统构建线线、线面、面面垂直的判定与性质方法体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题|8道|综合应用垂直判定与性质，结合二面角、体积计算|从具体几何体中抽象垂直关系，体现判定定理与性质定理的应用| |垂直关系判断|7题|位置关系判定、充要条件分析|线线、线面、面面垂直的概念辨析与简单推理| |线线垂直证明|6题|线面垂直性质、勾股定理、三垂线定理|通过线面垂直推导线线垂直，构建垂直关系转化链条| |线面垂直证明|6题|判定定理（线线垂直→线面垂直）、面面垂直性质（面面垂直→线面垂直）|核心方法双路径，强调线线垂直条件的寻找与论证| |面面垂直证明|6题|判定定理（线面垂直→面面垂直）|以线面垂直为桥梁，实现面面垂直的证明| |综合应用|6题|存在性问题探究、折叠与体积计算|垂直关系综合转化，培养空间想象与创新意识|

专题7-4 直线、平面垂直的判定与性质 1．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 2．（2026·上海·高考真题）已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， 则， ， ． (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）略 （2）四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为． 3．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 4．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (2)（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）. 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 5．（2024·上海·高考真题）如图，、、为圆锥三条母线，. (1)证明:； (2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到. （2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. （2）因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则为钝角， 所以二面角的大小为. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1) 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； (2) 【知识点】面面角的向量求法、求平面的法向量、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）略 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. (2) 【知识点】求点面距离、证明面面垂直 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【详解】（1）略 （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 重难点题型1 垂直关系的简单判断 1．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【知识点】异面直线的判定、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 2．（2026·河北沧州·三模）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【知识点】判断线面平行、证明面面垂直 【分析】利用反证法可判断A；当移动到点时，可得，进而可判断B；利用反证法可得，进而可判断C；利用线线垂直可证得底面，进而可证平面平面成立，可判断D. 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 3．（2026·天津东丽·二模）已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行、证明面面垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】结合直线与平面的位置关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，，，，此时与可能平行，可能相交，故A错误； 对B：若，，，则与可能平行，可能异面，故B错误； 对C：若，，，则，故C正确； 对D：若，，，则可能在内，也可能与相交或平行，故D错误. 4．（2026·四川广元·二模）已知直线和平面，，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断面面是否垂直 【分析】根据题意，由空间中线面的位置关系，即可判断． 【详解】当时，由，直线与平面可能垂直，也可能平行，故充分性不成立； 当时，由，可知，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 5．（多选题）在正三棱柱中，是棱的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直 【详解】选项：如图所示，在正三角形中，因为为的中点，所以， 在正三棱柱中，因为面，面，所以， 因为，面，所以面， 因为面，所以，故正确； 选项：在正三棱柱中，，又， 故与不平行，即与不平行， 故不正确； 选项：设正三棱柱的底面棱长为，高为. 因为，故以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点且平行于直线所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则、、，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，得， 令，得，所以. 平面的一个法向量为，所以，， 所以平面与平面不垂直，故不正确； 选项：设平面的一个法向量为，得， 所以，面面，故正确. 6．（多选题）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【知识点】判断面面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】结合空间中的位置关系，对每个选项进行分析、判断即可得到正确的结论． 【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误； 对于D，由，可得，又，所以，所以D正确． 7．（多选题）已知四点A，B，C，D不共面，构成空间四面体，则（   ） A．若四面体的六条棱长都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直 B．若四面体相对的棱长两两相等，则这个四面体相对的棱两两垂直 C．若四面体三组相对棱的中点间的距离相等，这个四面体相对的棱两两垂直 D．若四面体两组对棱垂直，则第三组对棱垂直 【答案】ACD 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】取一对棱的中点，利用等腰三角形中线垂直性质，证明该棱垂直于另一条棱，从而推得所有相对棱垂直即可判断A；构造反例（如正方体中的四面体），虽对棱相等但不垂直，说明命题不成立可判断B；连接各棱中点，利用中位线得到平行四边形，再由条件推出矩形，从而证明相对棱垂直即可判断C；通过作垂线，利用线面垂直的判定与性质，证明第三组对棱垂直即可判断D. 【详解】如图1，在四面体中，取中点，因为四面体的六条棱长都相等， 所以平面，平面, 所以平面， ∵平面，则，同理可知，，，故A正确； 如图2，中，四面体满足对棱两两相等，但不一定垂直于，故B不正确； 如图3，分别为的中点，且， ，； 同理可得：，； ，，四边形为平行四边形，四边形为矩形，，又，，； 同理可得：，， 这个四面体相对的棱两两互相垂直，故C正确； 如图4，已知四面体中，，，过A作，垂足为N， 过A作，垂足为M，连接、交于，连接交于， 由，，，、平面， 所以平面， 又平面，可得，同理可得， 则为垂心，可知，同理， 又，、平面，所以平面， 又∵平面，则，故D正确. 重难点题型2 证明线线垂直 1．（2026·陕西·三模）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为为中点，且，所以，即， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以. (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，通过证明平面得到与平面所成角为，可得，，进而利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 又，，所以，所以，则， 由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 由，，，平面，得平面， 所以与平面所成角为， 所以， 解得，，所以，则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由，得，可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，可取 设二面角为． ， 则， 所以二面角的正弦值为. 2．（2026·上海浦东新·三模）如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 【答案】(1)侧面积（母线长）． 圆台高． 建系：，． 上底面圆方程为（平面）． 下底面圆方程为（平面）． 是圆的弦，，圆半径， 由． 即弦对应的圆心角为． 不妨取，． （此时，，验证正确）． 是圆台母线：母线上、下端点在两底面的对应方位角相同． 即若在圆上方位角为，则在圆上同方位角处， ，． 时，在的垂直平分面上． 中点，垂直平分面为． 在圆上且满足． 取，对应． ，． ，故．证毕． (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明异面直线垂直、求二面角 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，利用向量的数量积证垂直； （2）先求出两平面的法向量，再根据面面角向量法计算可解. 【详解】（1）略 （2）是圆的直径，故与关于对称， ，． 在圆上与同方位：． 平面：三点，，均在平面上（上底面所在平面）， 故平面的法向量（竖直向上）． 平面：设其法向量为． ，． 两式相减：．代入第二式：． 取，得． 二面角的余弦：． ． 3．（2026·北京丰台·三模）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. (2) 【知识点】面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 4．（2026·山东·模拟预测）如图， 是 的直径， 与 所在平面垂直， 是 上的点， 点 为线段 的中点，点 在 上的射影为 . (1)求证: ； (2)点 在 上运动. （i）证明: 点的轨迹是圆: （ii）当三棱锥体积最大时，求二面角 的大小. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 因为，且，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，所以平面， 因为平面，所以. (2)（i）取的中点为，取的中点为， 连接，，，如下图所示， 因为，所以， 所以，故点在以为直径的球面上, 由上问知，即， 所以，故在以为直径的球面上， 因为，且， 故的轨迹是分别以，为直径的球的交线，该交线为圆， 故点的轨迹是圆. （ii） 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、轨迹问题——圆、求二面角 【分析】（1）通过证明线面垂直从而证得线线垂直； （2）（i） 通过证明动点同时在两个球的交线上，从而证得动点的轨迹为圆； （ii）通过证明当三棱锥体积最大时，即三棱锥的高最大，结合基本不等式得到高的最大值，从而证得二面角为直角三角形的一个内角，进而求出二面角的大小. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）设，则， 设，则， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，如下图所示， 由于的面积确定，所以当三棱锥体积最大时， 即点到平面的距离最大， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 所以为点到平面的距离， 故 ， 得到， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 故点到平面的距离最大为， 因为，为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为到直线的距离， 在直角中，，， 所以， 设二面角的平面角为，则，解得， 所以二面角的大小为. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)由，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以． (2) 【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，则， 而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又，，，， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 6．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 【答案】(1)因，点O是AB的中点，则， 因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 故平面ABCD，又平面ABCD，故． (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由且点O是AB的中点得到，由面面垂直的性质得到平面ABCD，利用线面垂直的定义得到． （2）利用空间向量求解，求出平面POD的一个法向量，设直线CP与平面POD所成角为，利用向量的数量积公式得到，通过计算得到直线CP与平面POD所成角的大小． 【详解】（1）略 （2）如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD， 因为为的中点，为的中点，，可得， 因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 又，，，， 则，，， 于是，，，， 设平面POD的一个法向量为， 则，故可取， 设直线CP与平面POD所成角为，则， 即直线CP与平面POD所成角的大小为． 重难点题型3 证明线面垂直 垂直关系中线面垂直是重点． 线垂面哪里找 线垂面有何用 证明线面垂直常用两种方法． 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 1．（2026·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即.    2．（2026·甘肃张掖·二模）如图，在三棱锥中，平面，F为的中点，，，E在上，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，再由平面夹角余弦值的向量求法求解即可. 【详解】（1）平面，平面， ， 又，平面， 平面， 平面，， ，为的中点，， 又平面， 平面； （2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，， ，， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，， 平面的一个法向量为， 由（1）知，平面， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为． 3．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，等腰梯形与直角梯形所在的平面互相垂直，，，，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求平面的法向量、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）方法一：结合等腰梯形的性质，利用余弦定理求，结合勾股定理的逆定理判断，利用面面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面. 方法二：作辅助线，利用平面几何图形的性质得垂直与平行关系，利用面面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，并求相关点和向量的坐标，利用面面垂直的性质证明，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求解， 【详解】（1）方法一 ： 由四边形为等腰梯形，及，， 可知， 由余弦定理可知，， 所以， 又，所以， 因为平面平面，平面平面，且， 所以平面， 因为平面，所以，因为， ，平面，所以平面. 方法二 ： 作辅助线，利用平面几何图形的性质得垂直与平行关系 取的中点，连接，， 因为，， 所以四边形与四边形均为菱形， 所以，，利用面面垂直的性质证明 因为平面平面，平面平面，且， 所以平面，因为平面，所以，根据线面垂直的判定定理证明平面， 因为，，平面， 所以平面，所以平面. （2）过的中点，作于点，连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 所以，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则即 令，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，点为棱的中点，四面体的外接球与直线的另一交点为. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，点是的中点，所以. 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 由题知，四面体内接于球，则必有，，，四点共圆， 又，所以，则，即， 又，平面，所以平面. (2) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由题先证明平面，可得，进而证明平面，得；又由，，，四点共圆，，得到，根据线面垂直的判定定理得证； （2）由求得，由（1）知，都是以为斜边的直角三角形，故外接球球心为的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）设，由（1）得平面，， 因为平面，所以，则， 所以， 化简得，解得，则. 又，，则，则， 又，，则. 又由（1）知，都是以为斜边的直角三角形， 故外接球球心为的中点. 如图，以为原点，与平行的方向，射线，射线分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 因为，，则，，，，， 由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量， 又直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 5．（2026·新疆·二模）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)设点A关于平面的对称点为M，求直线MB与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】(1) 在直三棱柱中，， 而，平面， 则平面，又平面，于是， 由，得矩形为正方形，因此， 又平面， 所以平面. (2). 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助点到平面的距离公式求出点坐标，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 点到平面的距离，由点A关于平面的对称点为M， 得，令，则，解得， ，而平面的法向量， 所以直线MB与平面ABC所成角的正弦值为. 6．（2026·甘肃金昌·三模）如图，在四棱柱中，，底面是边长为1的正方形，，点是上异于的一点，． (1)求证：平面； (2)若点E是上的点，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明如下： 因为，又正方形中，， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四棱柱中，，所以， 因为，，平面，所以平面． (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先得平面， 从而，进而可得平面； （2）以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，利用空间向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知四棱柱是正四棱柱，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 设，，，， 因为，所以，， ，设平面的法向量为， 因为，，所以，， 取得． 因为，，所以， 又，，平面，所以平面， 是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则． 重难点题型4 证明面面垂直 主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决． 1．（2026·湖北黄冈·二模）在三棱锥中，和均为等边三角形． (1)若为线段的中点，求证：平面平面； (2)当直线与直线所成角的余弦值为时，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）由等边三角形可得、，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）取的中点，连接，，可证二面角的平面角为，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合线线角可求，从而可求二面角的大小． 【详解】（1）连接，． 和均为等边三角形，，． 为的中点，，． 又，平面，平面，平面， 平面，平面平面． （2）取的中点，连接，． ，为的中点， ，， 二面角的平面角为，设． ，，平面，平面． 以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，设,则 ，，，， ，， 由题意得，， 解得（舍去），，． 故二面角的大小为． 2．（2026·河南·模拟预测）如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）根据勾股定理和线面垂直的性质，进而证明面面垂直； （2）建立直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用两个法向量夹角的余弦公式计算平面夹角的余弦值 【详解】（1）如图，取的中点，连接． 因为，，，， 所以，，所以四边形是正方形， 所以，．在中，， 则在中，，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，，平面，所以，． 又因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若是等边三角形，，平面分割三棱柱所得两部分的体积之比为，求直线与平面所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】本题第一问考察平面与平面垂直的判定定理，关键证明平面；第二问通过三棱锥和三棱柱的体积公式，根据体积之比得到三棱锥的高（才好求的长度或坐标），然后由于是正三棱柱，方便建立空间直角坐标系，通过计算直线向量与平面法向量的夹角余弦可以方便得到直线与平面所成角的余弦. 【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为是正三角形，，所以. 又，由，， 得，故, 设与平面所成的角为; 方法一：以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则取，可得， 则，所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 方法二：过作，垂足为，记到平面的距离为， 由（1）得平面，又平面，所以. 因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面，，所以平面. 根据，得，又因为是正三角形， 所以，，的高等于, 代入得，解得， 所以，所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 4．（2026·山西大同·三模）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再得出平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）建系，先求出平面的法向量，再应用面面角余弦公式求解，最后应用同角三角函数关系计算求解. 【详解】（1）取BC的中点O，连接DO，，如图所示． 因为四边形ABCD是菱形，，故是等边三角形，所以，， 又，，，平面，故平面， 又平面， 故，，故，故， 又，DO，平面ABCD，所以平面ABCD， 又平面，所以平面平面． （2）以O为坐标原点，OD，OB，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，，， 故，，， 设平面EDB的法向量为， 所以，即得， 令，解得，，所以． 设平面的法向量为， 所以，即得， 令，解得，，所以． 所以， 所以， 即二面角的正弦值为． 5．（2026·湖北·三模）如图，已知平行六面体的底面是边长为a的菱形，，． (1)证明：平面平面； (2)对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的； (3)在（2）的条件下，当直线与平面所成的角最大时，求a与b的关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）运用基底法证明线线垂直，然后证明线面垂直，进一步证明面面垂直 （2）将表面积表示成有关的函数，运用三角函数的性质求解最大值. （3）在（2）条件下，建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量公式求解即可，注意运用基本不等式的取等条件. 【详解】（1）以为空间向量的一组基底向量，则， 因为，所以 又因为 所以 又因为，且平面，所以平面 又平面，所以平面平面 （2）平行六面体对面是全等的， 所以在菱形中，面积 在平行四边形，面积 在平行四边形，面积 所以表面积 因为，所以当时，表面积最大 （3）由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以 设平面的法向量为 则，即 令，则，所以 设直线与平面的所成角为 则 当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，直线与平面所成角最大 6．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）首先利用条件证明进而证明，然后再利用面面垂直的性质定理证明进而证明，最后根据垂直的判定定理即可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算出平面和平面的法向量，然后根据平面与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】（1）， ，． 为的中点，，． 又， ，． ，，． 是等边三角形，为的中点，． 平面平面，平面平面平面 平面． 平面． 平面平面， 平面． 平面平面平面． （2），平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面， 两两垂直． 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设平面的法向量为，则， ， 令，则． 设平面的法向量为，则， ， 令，则． 设平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值是． 重难点题型5 综合应用 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 1．（2026·天津河西·模拟预测）现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，，，，四点在一条直线上），，，，，则图二所示的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求组合体的体积、柱体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】根据题意可知，分别求出两个棱柱体积即可. 【详解】由正方形可知， ， ， ，平面， 平面，则三棱柱为直三棱柱 ， ，同理可知 为边长为2的等边三角形， ， .    2．（2026·江苏·模拟预测）已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】通过平面，得到，确定点的运动轨迹为两个球的交线，即可求解. 【详解】 因为点在平面上的投影为， 所以平面， 又平面，所以， 则在以为直径的球上运动，且在以为直径的球上运动， 故在球球的圆弧上运动， 即点的轨迹为圆弧. 3．（2026·福建宁德·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、正弦定理解三角形、求线面角 【分析】根据题目已知条件表示出离心率，通过勾股定理求出，根据向量运算求出，结合正弦定理得到最终结果. 【详解】由题意得，，， 因此，， 所以， 而在中，，，，且， 则，， 而，则， 由正弦定理得，，则. 4．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球球心到直线的距离； (3)若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 【答案】(1)在矩形中，有，， 由为的中点，则， 所以， 则，所以， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且平面，所以平面． (2) (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、点到直线距离的向量求法、证明线面垂直、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理，面面垂直的性质，及线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），求出，再根据三棱锥各棱的关系，将其扩成长方体，从而找到其外接球球心，再借助面面垂直的性质，建立以为原点的空间直角坐标系，进而利用空间中点到直线的距离公式求解即可； （3）结合（2）的空间直角坐标系，及条件求出平面的法向量，再结合（1）得到平面的一条法向量，进而利用空间向量夹角的余弦值求解即可． 【详解】（1）略 （2）结合（1）有平面，，， 又平面，则， 所以， 又，，则， 所以是直角三角形，且， 所以把三棱锥扩展成底面边长为的正方形，高为的长方体，如下图所示， 由的中点为长方体的外接球球心，所以为三棱锥的外接球球心． 由，取的中点，连接，则， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以以为原点，直线，，的平行线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以点到直线的距离为． （3）结合（2）的空间直角坐标系，有，，，， 由，则，所以得， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 结合（1）有平面，且， 所以平面的一条法向量为， 又二面角的平面角为，且， 则，即，解得，或（舍去）， 所以当二面角的平面角为时，． 6．（2026·湖南·模拟预测）在中，，，，分别为AC，AB的中点．将沿线段DE折起，使点到达点的位置，连接PB，PC，得到四棱锥，取BC的中点，连接PF．    (1)证明：． (2)如图1，当平面平面BCDE时，求二面角的大小． (3)如图2，设二面角的大小为，在折叠过程中，即在上变化时，求的重心在空间中的运动轨迹的长度． 【答案】(1)证明：如图，取DE的中点，连接PO，OF． 在中，因为，F为BC的中点，所以 AF ⊥ BC， 因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以 DE ∥ BC， 所以AF ⊥ DE， 在折叠后的四棱锥 P−BCDE 中 ，． 因为 ， 平面POF， 所以平面POF． 因为平面，所以； (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直； （2）找到二面角的平面角，从而求出角度大小； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）解：，∴，， ∴二面角的平面角为． ，平面平面BCDE，平面平面， 平面BCDE，又平面BCDE， ．由题意得，∴，即二面角为； （3）如图，取DE的中点，连接PO，OF． 由（1）可知，，则． 以为原点，建立空间直角坐标系，    则，，．设． 由重心性质可得， ， ． 为定值，∴重心在固定平面内运动． 由 ， ，得， ∴点在圆心为，半径的圆上． 又，∴点在空间中的运动轨迹的长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题7-4直线、平面垂直的判定与性质 可给构通 重难点题型1.垂直性质的简单判定 重难点题型2.证明线线垂直 直线、平面垂直的 重难点题型3.证明线面垂直 判断与性质 重难点题型4.证明面面垂直 重难点题型5.综合应用 高考真题 1.(2026天津高考真题)在长方体ABCD-ABCD中，AB=2,A4=3,AD=4,4E=3ED, 2CF=FC D B D (1)求证： BD⊥面CEF: (2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值： (3)求三棱锥A-CEF的体积. 2.(2026·上海高考真题)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，PH⊥底面ABCD,垂足H在AD 边上，且AH=1,HD=4,AB=2. A H D (I)求证：HC⊥PB: ,10W5 ②)若四棱锥p-ABCD的体积为3，求二面角c-PB-H的大小. 3.(2026全国二卷高考真题)如图，三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE, CD⊥AD E D C (I)证明：CD⊥AB: (2)若DE=2,BE=1,AE=V2,CD=2W3,求直线AD与平面ABC所成角的正弦值. 4.(2025·全国一卷高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BCIIAD (I)证明：平面PAB⊥平面PAD: (②)设PA=AB=V2,BC=2,AD=1+V3，,且点P,B,C,D均在球O的球面上. (i)证明：点O在平面ABCD内： (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. 5,(2024上海高考真题)如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC A (1)证明：PA⊥BC: (2)若圆锥侧面积为V3π，BC为底面直径，BC=2,求二面角B-PA-C的大小 6.(2024新课标Ⅱ卷高考真题)如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5V5, ∠ADC=9时：BD=30,点R,F满足正-号D,亦-号a:将。1Br沿F新伞PB:使钓 PC=43 p E: D B (1)证明：EF⊥PD: (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 7.(2023北京高考真题)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=V3. (1)求证：BC⊥平面PAB; (2)求二面角A-PC-B的大小. 8.(2023·全国甲卷高考真题)如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC1平面ABC,∠ACB=90° C B A B (I)证明：平面ACCA⊥平面BB,CC: (2)设AB=AB,AA=2,求四棱锥A-BB,CC的高. 重难点题型突破 重难点题型1垂直关系的简单判断 1,(2026上海浦东新三模)如图，在正方体ABCD-ABGD中，点M是线段AD上的动点（含端点）， 则下列说法中正确的是() D A M C B A.直线MB与直线AC始终异面 B.直线MB与直线AD始终垂直 C.存在点M使得直线MB与平面ACD垂直 D.直线MB与平面BD,C始终平行 2.(2026河北沧州：三模)《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳 马”.现有“阳马”P-ABCD如图所示，侧棱PA⊥底面ABCD,且AB=AD,点E在棱PC上运动.则 下列说法正确的是() E A、 B A.存在点E,使得AE/BP B.不存在点E,使得BEII平面PAD C.对于任意点E,BE⊥CD成立 D.对于任意点E,平面PAC⊥平面BDE成立 3.(2026天津东丽二模)已知m,n是两条直线，α，P是两个平面，下列命题正确的是() A.若ml1a,nl1a,mcB,ncB,则alIB B.若mca,ncB,aI/B,则m/1n C.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a上B D.若a⊥B,m上B,n⊥m,则n⊥a 7 4.(2026四川广元二模)己知直线m和平面a,P,若mca,则“a1B”是“m上B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 5.(多选题)在正三棱柱ABC-ABG中，D是棱AC的中点，则() A.BD⊥CD B.BDI/BC C.平面BDCL平面ABC D.平面BDC⊥平面ACCA 6.(多选题)己知m,n是两条不同的直线，a,P是两个不同的平面，则() A.若mCa,ncB,a1B,则m⊥n B.若m⊥a,a∥B,ncB,则m⊥n C.若mla,a∥B,则m‖B D.若mMn,m⊥a,ncB,则aLB 7.(多选题)已知四点A,B,C,D不共面，构成空间四面体，则() A.若四面体的六条棱长都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直 B.若四面体相对的棱长两两相等，则这个四面体相对的棱两两垂直 C.若四面体三组相对棱的中点间的距离相等，这个四面体相对的棱两两垂直 D.若四面体两组对棱垂直，则第三组对棱垂直 重难点题型2证明线线垂直 分 三线合一（有等腰三角形就必用） 证明1⊥1，先看两直线位置关系 共面→ 勾股定理（题目中线段数据多） 其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法） 异面→考虑用线面垂直推导异面垂直→找重垂线→在重垂线对应平面内找垂 1. (2026陕西三模)如图，四棱柱ABCD-A8CD的底面ABCD为直角梯形，DAB=ZDC=90°， AB=AD=1,CD=2,BD⊥CD.点M为CD的中点，且CD=2BM 白 、M D B (I)证明：BD⊥BD 2√7 (②)若DM与平面BCD所成角的正弦值为7，求二面角B-DM-C的正弦值. 2.(2026:上海浦东新·三模)如图，在圆台002中，上底面圆0的半径为1，下底面圆02的半径为2，圆 台的侧面积为6π，4AB是圆O的一条弦，AB=V3.MC是圆台的一条母线. (I)若CA=CB,证明：MC⊥AB； (2)若CA是圆O的直径，求二面角M-AB-C的正切值. ◆ 3.(2026北京丰台·三模)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD, PC=PD,O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角. P --B D A (I)求证：PB⊥PD: (2)求平面POB与平面PAB所成角的余弦值： 4.(2026山东模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，PA与⊙0所在平面垂直， PA=AB=2,C是⊙0上的点，点M为线段PB的中点，点A在PC上的射影为N, M B (I)求证：AN⊥MN: (2)点C在⊙0上运动： ()证明：点N的轨迹是圆： (ii)当三棱锥P-AMN体积最大时，求二面角A-PB-C的大小. 10 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF, 其中AB∥CD∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°， B (I)求证：BC⊥AF: (2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值. 6.(2026-上海·三模)如图，在四棱锥p-ABCD中，平面PAB1平面ABCD, AD11BC,∠ABC= PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,点O是AB的中点. A D B C (1)求证：PO⊥CD, (2)求直线CP与平面POD所成角的大小. 11 重难点题型3证明线面垂直 高 分击 垂直关系中线面垂直是重点 「①垂直两条相交线： ②垂直里面作垂线； 线垂面哪里找 ③直（正)棱柱的侧棱是垂线： ④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线. ①垂直面里所有线（证线线垂直）； 线垂面有何用 ②过垂线作垂面（证面面垂直）. 证明线面垂直常用两种方法， 方法一：线面垂直的判定。 线线垂直→线面垂直，符号表示为：a⊥b,aLc,bCa,cCa,b∩c=P,那么a⊥a 方法二：面面垂直的性质。 面面垂直→线面垂直，符号表示为： a⊥B,a∩B=b,aca,alb,那么alB (2026广西河池模拟预测)如图，在RaBC中，ZC90,BC3,AC6,D,E分别在40 AD上. B M (I)求证：AC1平面BCDE: (②)己知CM与平面ABE所成角的大小为4，求CM 12 2.(2026甘肃张掖二模)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,F为PC的中点，∠BAC=120° PA=AB=AC=2,E在BC上，且AE⊥AC. A BL (1)证明：PC⊥平面AEF: (2)求平面AEF与平面PAB的夹角的余弦值. 3.(2026·贵州安顺模拟预测)如图，等腰梯形ABCD与直角梯形ABFE所在的平面互相垂直， AB∥CD∥EF,AE⊥AB,AB=2CD=2EF=2AD=2BC=4,AE=2N2 B (I)求证：BC⊥平面ACE: (2)求DF与平面ACF所成角的正弦值. 13 4.(2026湖南长沙模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC,且PA=AC, AC⊥BC,点E为棱PC的中点，四面体E-ABC的外接球O与直线PB的另一交点为F. E C B (I)证明：PB⊥平面AEF; √2 (2)若pA-2,三棱锥p-ABF的体积是6，求直线C0与平面ABF所成角的正弦值 5.(2026新疆二模)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1AC,AB=AC=A4=1。 A B C (①)求证：AC⊥平面ABC: (2)设点A关于平面ABC的对称点为M,求直线MB与平面ABC所成角的正弦值. 14 6.(2026甘肃金昌三模)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，A4=3,底面ABCD是边长为1的正方 形，AA⊥BC,点P是CC上异于C的一点，AB⊥BP. B E (I)求证：A41平面ABCD: ②若点：是A从上的点，AE-名，EP1A0,求平面PHB与平面BD的夹角的会装植， 15 重难点题型4证明面面垂直 分 主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直→面面垂直），证明时，先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决. 1. (2026湖北黄冈·二模)在三棱锥P-ABC中，△ABC和△APC均为等边三角形. (I)若F为线段PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ACF: 5 (②)当直线PC与直线4B所成角的余弦值为8时，求二面角P-4C-B的大小， 2.(2026河南模拟预测)如图，在多面体ABCDEF中，底面四边形ABCD为直角梯形，AD/IBC, AB⊥AD,BC=AE=2,AB=AD=CF=1,AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD. E B- D C (I)求证：平面BDF⊥平面CDF, (2)求平面BDE和平面BDF夹角的余弦值. 16 3.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-ABG中，已知点D,E分别是棱BC,CC上 的点，AD⊥BC C B B (I)证明：平面ADE⊥平面BCCB: (2)若△ABC是等边三角形，BC=CC=2,平面ADE分割三棱柱ABC-ABG所得两部分的体积之比为 11:1,求直线AE与平面ADE所成的角的余弦值： 4.(2026山西大同三模)如图，在四棱柱ABCD-ABCD,中，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， DC=CC=2,DC=V6,BC⊥DC,点E是棱CC的中点. D B A B (I)求证：平面ABCD⊥平面BCCB: (②)求二面角E-DB-A的正弦值. 17 5.(2026湖北三模)如图，已知平行六面体ABCD-AB,CD的底面ABCD是边长为a的菱形，A4=b, ∠AAB=∠AAD=∠DAB=O(0<0<π) D A B D: (1)证明：平面AACC⊥平面D,DBB: (2)对确定的a与b,求使得平行六面体表面积取最大值的8： (3)在(2)的条件下，当直线AC与平面AB,C所成的角最大时，求a与b的关系. 6.(2026山东聊城模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB是边长为2的等边三角形， BC⊥AB,DAIIBC,BC=2AD=2,平面ABCD⊥平面PAB,M为AB的中点、 D B (I)证明：平面PBD⊥平面PMC; (2)求平面PCD与平面PMC夹角的余弦值. 18 重难点题型5综合应用 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化： (2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定 理、性质进行推理论证， 1.(2026天津河西模拟预测)现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示），某课外手工小组的同学将 其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“V型”几何体（正方形AB,CD与正方形EFG在同一 平面内，A,B,E,F四点在一条直线上)，AB=2,A4=10,∠AAB=120°，∠AAD=90°，则图 二所示的几何体的体积为() D (图一) (图二) A.38V5 B.36√3 C.183 D.145 2.(2026江苏模拟预测)己知三棱柱ABC-AB,G,D是棱C℃上的一个动点（不含端点），点A在平 面ABD上的投影为M,则点M的轨迹为() A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 3.(2026福建宁德·模拟预测)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如 图1，设圆锥轴截面的项角为2α，用一个平面「去截该圆锥面，随着圆锥的轴和『所成角P的变化，截得 的曲线的形状也不同据研究，曲线的离心率为©=c0B, cosa,比如，当a=B时，e=1,此时截得的曲线是抛 物线如图2，在底面半径为1，高为2√2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，卫是母线 SC上一点，SE=2EC,平面ABB截该圆锥面所得的曲线的离心率为一 19 B D A 图1 图2 4.(2025·北京·高考真题)某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体， 其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC,平面CDTL平面ABC, AB L BC.AB/IEF//RS//CD BCIIDE//ST//AF AB=BC=8.AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=5 则该多面体的体积为， R B D 5.(2026陕西西安模拟预测)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,M为CD的中点，将 △AMD沿折AM起，使得平面ADM⊥平面ABCM M B (I)求证：AD⊥平面BDM; (2)求三棱锥D-ABM的外接球球心到直线CD的距离： (3)若DE=EB，（>0)，当二面角E-AM-D的平面角为3时，求： 20 6.(2026湖南模拟预测)在△ABC中，AB=AC=2V5,BC=4,D,E分别为AC,AB的中点.将 △ADE沿线段DB折起，使点A到达点P的位置，连接PB,PC,得到四棱锥P-BCDE,取BC的中点F, 连接PF D D B F 图1 图2 (I)证明：DE⊥PF」 (2)如图1，当平面PDE⊥平面BCDE时，求二面角P-BC-D的大小. (3)如图2，设二面角P-DE-B的大小为0，在折叠过程中，即0在(O,π)上变化时，求△PCD的重心G在 空间中的运动轨迹的长度. 21