专题6.2 平面向量的数量积及应用（7重难点题型+高分技法+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为主，构建“定义-公式-应用”三阶方法体系，系统覆盖数量积运算、夹角、模长等核心考点，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积运算|8题|定义法、几何意义、坐标表示、投影公式|从数量积定义出发，结合几何与代数特征，关联投影问题| |夹角|7题|夹角公式：cosθ=a·b/(|a||b|)|由数量积推导夹角公式，衔接模长计算| |模长|6题|模长平方：|a|²=a·a|通过平方转化为数量积运算，简化模长求解| |投影|8题|投影向量公式：(a·b/|b|²)b|基于数量积定义，延伸投影的几何意义| |垂直问题|6题|垂直判定：a·b=0|数量积为0的直接应用，结合模长与夹角| |建系解决问题|4题|针对规则图形建系（正六边形、圆等）|几何直观与坐标运算结合，体现数学眼光| |实际应用|3题|向量合成（地速=空速+风速等）|模型意识，用数学语言表达现实问题|

专题6-2 平面向量的数量积及应用 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 6．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 7．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、基本不等式求积的最大值 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 重难点题型1 平面向量的数量积运算 （1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛． （3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算） 同：；；公式都可通用 异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角） ，使用范围广泛，通常是求模或者夹角． ，通常是求最值的时候用． 1．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解. 【详解】因为， ， 所以. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】向量的模、已知模求数量积 【详解】由，得 又，所以. 由，得. 所以. 两式相加，得，因此. 3．（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为单位向量，向量，若则 （    ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律 【分析】应用数量积运算律计算求解. 【详解】由，则． 5．（2026·广西·模拟预测）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则______． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用向量在方向上的投影向量的表达式，结合题设条件列方程求解. 【详解】 向量在方向上的投影向量公式为， 已知，，则，且， 又投影向量为，所以，即， 整理得，即，解得. 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、坐标计算向量的模 【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及模的坐标表示列式，再利用换元，结合辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】设，由，得， 由，得， 设， 因此 ， 所以的取值范围是. 7．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【详解】由，，可得，， 则在方向上的投影数量为. 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆的内接，满足，则____． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】由题可知，， 则，即， 所以， 所以. 重难点题型2 平面向量的夹角 求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角． 1．（2026·河南·一模）已知向量，．若在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【详解】已知，则， 设与的夹角为，则， 解得， ， ． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算 【详解】由，则， 即，则. 3．（2026·云南昆明·二模）若平面内的两个向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】应用数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以 所以，所以. 4．（2026·甘肃金昌·三模）已知向量，，若，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出参数，再通过向量数量积与模长公式计算两向量夹角的余弦值. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得，所以，， 所以，又，设与的夹角为， 则． 5．（2026·山东聊城·二模）已知向量，则_________. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】向量夹角的计算、向量模的坐标表示 【详解】， ． 6．（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 7．已知单位向量与满足，则与的夹角为_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据向量的运算律求，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题得，则， 所以，且，所以. 重难点题型3 平面向量的模长 求模长，用平方，． 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 2．（2026·北京大兴·三模）在中，，，点满足，且，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积的运算性质先求出参数λ的值，再计算模长即可. 【详解】因为,，， 所以，即， 因为，，代入化简： ， 因为, 所以, 因为, 所以. 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】因为，，，的夹角为， 所以，根据，为非零向量解得. 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，，______； 【答案】 【难度】0.72 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用平方法，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，， 所以 . 5．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】借助模长与数量积关系计算即可得. 【详解】 . 6．（2026·湖南郴州·三模）已知向量满足，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据数量积运算律计算得，再由向量的模的公式计算即得. 【详解】因为，，， 则，解得， 又由，可得. 重难点题型4 平面向量的投影、投影向量 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 1．（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】求投影向量 【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 2．（2026·安徽·模拟预测）若，且向量在方向上的投影向量为，则（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【详解】∵向量在方向上的投影向量为， ∴，∴. 3．（2026·山东日照·模拟预测）已知平面向量，，，，若在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、求投影向量 【详解】， 因为，所以，解得，所以， 在上的投影向量为，所以. 4．（2026·安徽·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求投影向量 【详解】向量在向量上的投影向量为 ． 5．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 /0.5 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求投影向量 【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案. 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 6．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【难度】0.71 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 7．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 8．（2025·江苏南京·模拟预测）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则________. 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式得到方程，求出. 【详解】， 向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，故，解得. 故答案为： 重难点题型5 平面向量的垂直问题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】根据向量垂直得出数量积为0，结合向量运算律计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，解得：. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，且与垂直，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【详解】由题设，且，， 所以，可得. 3．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.66 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 4．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【详解】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 5．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 6．（2026·北京昌平·二模）已知向量满足，，且，则与夹角的大小为 _________；__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【详解】∵ ，∴ ·. 展开得 . ∵ ，∴ ，代入得 ，解得 . 设与的夹角为，， 则 ，代入，得 . ∵ ，∴ . ∵ . 又 ，. ∴ . 重难点题型6 建立直角坐标系解决向量问题 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识． 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 1．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】解法一  连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果． 解法二  以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果． 解法三  借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果． 【详解】解法一 ：如图所示：    连接，设，连接，依题意得，，，， 则， ． 因为，所以，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法二  如图，    以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则依题意可得，，， 因为圆的半径为1，所以可设， 所以，，所以， 又，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法三 如图所示：    设，则． 可看成是在上的投影， 当点与重合时最小，最小值为， 当点与重合时最大，最大值为0， 故． 故选：C． 2．（2023·四川南充·二模）如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、平面向量数量积的几何意义 【分析】设，的夹角为，设，根据向量的投影的定义结合数量积的运算可表示出向量在向量上的投影，结合圆的方程可得，利用三角恒等变换化简即可求得答案. 【详解】设，的夹角为，则向量在向量上的投影为， 若要投影取得最大值，则应为锐角， 设，不妨设，由题意可知， 则根据向量数量积的运算可得， 由于点P是圆上的一个动点，所以设，（为参数）， 故 ， 团为的最大值为1，所以的最大值为， 故选∶D． 3．（2024·河南·模拟预测）尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则__________． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意分析可得，结合直线的截距式方程可得，再结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：，则， 设，可知直线， 代入可得，解得， 则，可得, 所以. 故答案为：16. 4．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果； （ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果. 【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 重难点题型7 平面向量的实际应用 用向量方法解决实际问题的步骤 1．（2026·山西忻州·模拟预测）某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（    ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风    A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】速度、位移的合成 【分析】利用速度的合成求出风速向量对应坐标，再求其模，结合表格确定对应风速名称. 【详解】由题设，， 此时风速向量为， 所以风速大小为， 故此时风速对应的名称为轻风. 2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.73 【知识点】余弦定理解三角形、速度、位移的合成 【分析】根据题意小船实际航行的方向应与保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得. 【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与保持一致， 设小船的船头方向为，水流方向为，为河宽， 在中，，， 则，，则， 设小船在静水中航行的速度大小为， 在中，由余弦定理，， 解得，即小船在静水中航行的速度大小为. 3．（2023·河南开封·模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值. 【详解】如下图，， 若为中点，且，则， 则， 要使其最小，只需共线，    此时，由图知此时. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6-2 平面向量的数量积及应用 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 7．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则______． 重难点题型1 平面向量的数量积运算 （1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛． （3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算） 同：；；公式都可通用 异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角） ，使用范围广泛，通常是求模或者夹角． ，通常是求最值的时候用． 1．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为单位向量，向量，若则 （    ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 5．（2026·广西·模拟预测）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则______． 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 7．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆的内接，满足，则____． 重难点题型2 平面向量的夹角 求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角． 1．（2026·河南·一模）已知向量，．若在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·二模）若平面内的两个向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2026·甘肃金昌·三模）已知向量，，若，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东聊城·二模）已知向量，则_________. 6．（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 7．已知单位向量与满足，则与的夹角为_______． 重难点题型3 平面向量的模长 求模长，用平方，． 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京大兴·三模）在中，，，点满足，且，则（     ） A． B． C． D．1 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，，______； 5．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______． 6．（2026·湖南郴州·三模）已知向量满足，则__________. 重难点题型4 平面向量的投影、投影向量 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 1．（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·模拟预测）若，且向量在方向上的投影向量为，则（     ） A．3 B．2 C． D． 3．（2026·山东日照·模拟预测）已知平面向量，，，，若在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 4．（2026·安徽·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 6．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 7．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 8．（2025·江苏南京·模拟预测）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则________. 重难点题型5 平面向量的垂直问题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，且与垂直，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D．1 3．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 5．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 6．（2026·北京昌平·二模）已知向量满足，，且，则与夹角的大小为 _________；__________. 重难点题型6 建立直角坐标系解决向量问题 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识． 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 1．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·四川南充·二模）如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则__________． 4．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 重难点题型7 平面向量的实际应用 用向量方法解决实际问题的步骤 1．（2026·山西忻州·模拟预测）某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（    ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风    A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河南开封·模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．    1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $