第4章 4.2 第1课时 排列（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦排列的概念、排列数公式及简单应用，以“田忌赛马”故事导入引发兴趣，通过“选同学参加活动”等具体问题构建概念，再结合分步乘法计数原理推导公式，形成从情境到概念再到应用的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动教学，结合数字排列、实习分配等实例培养数学眼光，通过公式推导和逻辑推理发展数学思维，用符号表达和规范步骤强化数学语言。丰富的例题、延伸探究及分层练习，助力学生深化理解，也为教师提供实用教学资源。

第1课时 排　列 第4章　§4.2　排　列 <<< 1.理解并掌握排列的概念. 2.能用计数原理推导排列数公式. 3.能应用排列数公式解决简单的实际问题. 学习目标 导 语 在孙膑的指点下，齐国的大将田忌同齐威王进行跑马比赛.第一局，田忌派出下等马对阵齐威王的上等马，输掉了第一局；第二局，田忌派出上等马对阵齐威王的中等马，赢了第二局；第三局，田忌派出中等马对阵齐威王的下等马，又赢了第三局.田忌赛马的故事告诉人们要有全局观念，如果想在整体上取得重大胜利，就要舍得局部的一点牺牲和损失.那么，你知道在三局比赛中田忌的赛马一共有几种出场顺序吗？ 一、排列的概念 二、排列数公式 课时对点练 三、排列数公式的简单应用 随堂演练 内容索引 排列的概念 一 提示　 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题1 由图可知，有6种不同的选法. 1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照___ _________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其___ _______完全相同. 一 定的顺序 排 列顺序 知识梳理 (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. 注 意 点 <<< 8 (1)下列问题是排列问题的是 A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B.会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 例 1 √ 9 对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误. 解析 10 (2)A，B，C，D四个人坐成一排照相，有多少种不同的坐法？将它们列举出来. 先安排A有4种坐法，再安排B有3种坐法，接着安排C有2种坐法，最后安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×1=24(种)不同的坐法. 画出树状图，如图所示. 解 11 把本例(2)中“A，B，C，D四个人”改为“0，1，2，3四个数字”，从这四个数字中，每次取出三个不同的数字，能组成多少个不同的三位数？请写出这些三位数. 延伸探究 1 12 方法一　(树状图法)如图： 解 由树状图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321，共18个不同的三位数. 13 方法二　(计数原理法)组成三位数分三个步骤： 第一步，选百位上的数字，0不能排在首位，有3种不同的排法； 第二步，选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步，选个位上的数字，有2种不同的排法. 由分步乘法计数原理可知，有3×3×2=18(个)不同的三位数，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 解 14 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 反 思 感 悟 15 二 排列数公式 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N+，m≤n)个元素的排列数？ 问题2 提示　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法； 第3步，从剩下的(n-2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n-2)种方法； …， 第m步，从剩下的[n-(m-1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n-(m-1)]种方法，如表所示. 盒子 1 2 3 … m 方法数 n n-1 n-2 … n-(m-1) 因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种方法. 1.排列数的定义 从n个 中取出m(m≤n)个不同的元素，所有 的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 2.排列数公式及全排列 (1)= ，其中n，m∈N+，并且m≤n. (2)= . (3)从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时= (叫作n的阶乘).约定：0！= . 不同元素 不同排列 n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) n！ 1 知识梳理 (1)计算：； 例 2 = ===. 解 21 (2)解方程：=140； 因为所以x≥3，x∈N+. 由=140得 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2)， 化简得4x2-35x+69=0， 解得x1=3，x2=(舍去). 所以原方程的解为x=3. 解 22 (3)求证：+4=. +4=+===. 证明 23 若本例(2)的方程改为3=4，求该方程的解. 延伸探究 2 由题意得0<x≤8且0<x-1≤9，x∈N+， 解得1<x≤8，x∈N+，因为3=4， 所以=， 整理得x2-19x+78=0， 解得x=6或x=13(舍去). 所以原方程的解为x=6. 解 24 将本例(2)改为不等式<6，求该不等式的解集. 延伸探究 3 由<6<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12， ① 又 解得2<x≤8， ② 由①②及x∈N+，得x=8. 所以原不等式的解集为{x|x=8}. 解 25 本例(3)推广到更一般的形式为+m=，试给出证明. 延伸探究 4 +m=+===. 证明 26 (1)排列数的计算方法 排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. (2)解含排列数的方程或不等式的注意点 要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量.中隐含了如下条件：m，n∈N+，m≤n，的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围. 反 思 感 悟 27 三 排列数公式的简单应用 用具体数字表示下列问题. (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； 例 3 从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母， 其商共有=100×99=9 900(个). 解 29 (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有=3×2×1=6(个). 解 30 (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有=5×4×3×2=120(个)分配方案. 解 31 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么. 反 思 感 悟 32 12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有　　　种不同的获奖情况.  跟踪训练 1 320 共有=12×11×10=1 320(种)不同的获奖情况. 解析 33 1.知识清单： (1)排列的概念. (2)排列数、排列数公式. (3)排列数公式的简单应用. 2.方法归纳：直接法、优先法、间接法. 3.常见误区：忽视中“n，m∈N+”这个条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.等于 A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3 √ 1 2 3 4 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B.甲乙丙、乙丙甲 C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D.甲乙、甲丙、乙丙 √ 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙. 解析 1 2 3 4 3.(多选)下列问题中是排列问题的是 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 √ 由排列的定义知A，D是排列问题. 解析 √ 1 2 3 4 4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有　　种. (用数字作答)  文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法. 解析 36 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 BD C B B B AB 12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 题号 8 11 12 13 14 15 答案 B C ACD 60 (1)12　(2)7 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 首先应考虑“0”这个特殊元素，当0排在个位时，有=9×8=72(个)， 当0不排在个位时，有··=4×8×8=256(个)， 于是由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72+256=328(个). 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)解　由题意可知，x∈N+且x≥3， 原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1)，整理得(3x-2)(x-5)≤0， 所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}. (2)证明　左边==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！， 右边==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n！， 所以=. 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，原有车票的种数是， 现有车票的种数是， 所以-=62， 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62， 所以m(2n+m-1)=62=2×31， 因为m<2n+m-1， 且n≥2，m，n∈N+， 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 解得m=2，n=15， 故原有15个车站，现有17个车站. 答案 基础巩固 1.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有 A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 加法和乘法满足交换律，结果与两数字位置无关，不是排列问题；而减法、除法与两数字的位置有关，是排列问题. 解析 √ 2.-的值是 A.480 B.520 C.600 D.1 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ =12×11×10=1 320， =10×9×8=720， 故-=1 320-720=600. 解析 答案 3.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“5”，则由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为 A.6 B.9 C.12 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 组成的四位数列举如下： 2 025，2 052，2 205，2 250，2 502，2 520，5 022，5 202，5 220，共9个. 解析 √ 答案 4.将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有 A.2种 B.4种 C.6种 D.9种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有=4(种). 解析 √ 5.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为 A.3 B.24 C.34 D.43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为=4×3×2=24. 解析 答案 6.(多选)满足不等式-n<7(n∈N+，n≥3)的n的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 因为-n<7，所以(n-1)(n-2)-n<7，即n2-4n-5<0，解得-1<n<5，又n∈N+，n≥3，所以n的值为3，4. 解析 7.从a，b，c，d，e 5个元素中取出3个元素，可组成　　个以b为首的不同的排列，它们分别是___________________________________________ 　　　　　　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc， bde，bea，bec，bed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 画出树状图如图. 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 解析 8.若a∈N+，且a<20，则(27-a)(28-a)…(34-a)用排列数表示为　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (27-a)(28-a)·…·(34-a)==. 解析 答案 9.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 首先应考虑“0”这个特殊元素，当0排在个位时，有=9×8=72(个)， 当0不排在个位时，有··=4×8×8=256(个)， 于是由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72+256=328(个). 解 10.(1)解不等式：3≤2+6； 由题意可知，x∈N+且x≥3， 原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1)，整理得(3x-2)(x-5)≤0， 所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)求证：=. 左边==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！， 右边==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n！， 所以=. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有 A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若第一棒选A，则有种选派方法；若第一棒选B，则有2种选派方法.由分类加法计数原理知，共有+2=3=36(种)选派方法. 解析 √ 12.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120个 B.80个 C.40个 D.20个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，有个； 第二类，十位数字取6，有个； 第三类，十位数字取5，有个； 第四类，十位数字取4，有个. 所以“伞数”的个数为+++=40. 解析 答案 13.(多选)下列等式正确的是 A.(n+1)= B.= C.=(n-2)！ D.= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，(n+1)=(n+1)·==，A正确； 对于B，==，B错误； 对于C，==(n-2)！，C正确； 对于D，=·==，D正确. 解析 答案 14.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有　　种不同的招聘方案.(用数字作答)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 60 将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以共有=5× 4×3=60(种)不同的招聘方案. 解析 15.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数. (1)若x=9，则其中能被3整除的共有　　个；  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12 因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， 所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成， 所以共有2×=12(个). 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=　 .  7 显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现·次， 所以这样的数字之和是(1+2+4+x)··， 即(1+2+4+x)··=252， 所以7+x=14，解得x=7. 解析 16.一条铁路有n个车站，为满足客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意可知，原有车票的种数是， 现有车票的种数是， 所以-=62，即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62， 所以m(2n+m-1)=62=2×31， 因为m<2n+m-1， 且n≥2，m，n∈N+， 所以 解得m=2，n=15， 故原有15个车站，现有17个车站. 解 第4章　§4.2　排　列 <<< $