第3章 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率等核心知识点，通过类比直线与圆的方程研究方法导入，引导学生观察椭圆形状提出问题，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合几何直观（如用Rt△BF₂O解释离心率几何意义）培养数学眼光，通过焦点三角形离心率推导等例题发展数学思维，知识梳理表格与规范解题步骤强化数学语言表达。分层练习助力学生巩固，教师可直接用于教学，提升效率。

第1课时 椭圆的简单几何性质 第3章　3.1.2　椭圆的简单几何性质 <<< 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 学习目标 导 语 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 一、椭圆的几何性质 二、由椭圆的几何性质求标准方程 课时对点练 三、求椭圆的离心率 随堂演练 内容索引 椭圆的几何性质 一 提示　范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b). 观察椭圆+=1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题1 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 _______________ _______________ +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 ___________________ ___________________ 顶点 ______________________________________ ______________________________________ 轴长 短轴长=___，长轴长=___ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|=2 对称性 对称轴：_________，对称中心：_____ -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0) 2b 2a x轴、y轴 原点 知识梳理 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c. 注 意 点 <<< 9 提示　利用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度. 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=，记e=，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁平；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆. 扁平程度是椭圆的重要形状特征.观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 问题2 椭圆的离心率： e=____∈(0，1). 知识梳理 (1)e=. (2)离心率的范围为(0，1). (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越圆(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆). 注 意 点 <<< 12 (课本例3)　求椭圆+=1的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率. 例 1 由椭圆的标准方程+=1及a>b>0可知a=5，b=3. 所以c2=a2-b2=25-9=16，即c=4. 于是，椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8；顶点坐标为A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-3)，B2(0，3)；焦点坐标为F1(-4，0)，F2(4，0)；离心率e==. 解 13 求椭圆x2+9y2=81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 例 1 把已知方程化成标准方程为+=1， 于是a=9，b=3，c==6， 所以椭圆的长轴长2a=18，短轴长2b=6， 离心率e==. 两个焦点的坐标分别为F1(-6，0)，F2(6，0)， 四个顶点的坐标分别为A1(-9，0)，A2(9，0)，B1(0，-3)，B2(0，3). 解 14 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 反 思 感 悟 15 已知椭圆C1：+=1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 跟踪训练1 由椭圆C1：+=1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(-6，0)，离心率e=. 解 16 (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 椭圆C2：+=1.几何性质如下： ①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，-10)，短轴端点(-8，0)，(8，0)，④轴长：长轴长为20，短轴长为16；⑤焦点：(0，6)，(0，-6)，焦距为12；⑥离心率：e=. 解 17 二 由椭圆的几何性质求标准方程 (课本例4)　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为18，离心率为； 例 2 因为2a=18，e==，所以a=9，c=3.于是b2=a2-c2=81-9=72.椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，因此，所求的椭圆标准方程为+=1或+=1. 解 19 (2)经过点P(2，2)，Q(-3，-1)，焦点在x轴上. 设椭圆方程具有标准形式+=1.将P，Q两点的坐标代入得+=1， ① +=1. ② 将，看作未知数，则上述两个式子组成二元一次方程组. ②×4-①得=3，即a2=. 于是，=-=-=，即b2=. 因此，所求的椭圆标准方程为+=1. 解 20 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； 例 2 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意知，2c=8，c=4， ∴e===， ∴a=8，从而b2=a2-c2=48， ∴椭圆的标准方程是+=1. 解 21 (2)已知椭圆的离心率为e=，短轴长为8. 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)， 由e==得c=a， 又2b=8，a2=b2+c2， 所以a2=144，b2=80， 所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. 解 22 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程. 反 思 感 悟 23 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； 跟踪训练 2 设椭圆的方程为 +=1(a>b>0)或+=1(a>b>0). 由已知得2a=10，a=5，e==，∴c=4. ∴b2=a2-c2=25-16=9. ∴椭圆的标准方程为+=1或+=1. 解 24 (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 依题意可设椭圆的方程为+=1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|=c，|A1A2|=2b，2c=6， ∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18， 故所求椭圆的标准方程为+=1. 解 25 三 求椭圆的离心率 设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的 点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为　 　.  例 3 27 方法一　由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m，故离心率e=====. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可解得y=±，所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c= ·(a2-c2)=2ac，等式两边同除以a2，得(1-e2)=2e，解得e=或e=-(舍去). 解析 28 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1= 75°，∠PF1F2=45°”，求C的离心率. 延伸探究 1 29 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°， ∴∠F1PF2=60°， 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，m+n=2a， 则在△PF1F2中，有==， ∴=， ∴e====. 解 30 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围. 延伸探究 2 由题意，知c>b，∴c2>b2. 又b2=a2-c2，∴c2>a2-c2， 即2c2>a2.∴e2=>，∴e>， 又0<e<1，∴C的离心率的取值范围为. 解 31 求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e=求解.若已知a，b或b，c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=求解. (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 反 思 感 悟 32 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0)，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 椭圆的方程可化为+=1， e====. 解析 33 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳：分类讨论、方程法（不等式法）. 3.常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围0<e<1及长轴长与a的关系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 √ √ 1 2 3 4 由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1，所以a=，b=，c=， 所以长轴长为2a=1，焦距为2c=，离心率为e==. 解析 1 2 3 4 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 √ 由题意知c=3，=， 则a=6，∴b2=a2-c2=27， ∴椭圆的方程为+=1. 解析 1 2 3 4 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中，|OF2|=c，|BF2|=a，∠OF2B=60°， ∴cos 60°==，即椭圆的离心率e=. 解析 1 2 3 4 4.比较椭圆①x2+9y2=36与②+=1的形状，则　　更扁平.(填序号)  把x2+9y2=36化为标准形式为+=1，离心率e1==+=1的离心率e2==，则e2<e1，故①更扁平. 解析 ① 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C B D AC +=1 题号 8 11 12 13 14 15 答案 (2，4] C AD B 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)x2+9y2=9整理为+y2=1，焦点在x轴上，且a=3，b=1，c==2，所以长轴长为2a=6，短轴长为2b=2，离心率为=，焦点坐标分别为(-2，0)与，顶点坐标分别为(3，0)，(-3，0)，(0，1)，(0，-1). (2)4x2+2y2=16，整理为+=1，焦点在y轴上，且a=2，b=2，c2=a2-b2= 8-4=4，所以c=2，长轴长为2a=4，短轴长为2b=4，离心率为==，焦点坐标分别为(0，2)，(0，-2)，顶点坐标分别为(0，2)，(0，-2)，(2，0)，(-2，0). 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若∠F1AB=90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|=|OF2|， 即b=c. 所以a=c，e==. 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由=2， 解得x=，y=-. 代入+=1， 得+=1， 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即+=1， 解得a2=3， 又c2=1， 所以b2=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4， 得|AF1|=3，|F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16， |AF1|+|AF2|=2a=8，故|AF2|=8-3=5. 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设|F1B|=k，k>0，则|AF1|=3k，|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)， 化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0， 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k. 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， 可得AF1⊥AF2， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a， 所以椭圆E的离心率e==. 答案 基础巩固 1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为 A.2， B.，2 C.4，2 D.2，4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 把3x2+4y2=12化成标准形式为+=1，得a2=4，b2=3，则长轴长为4，短轴长为2. 解析 2.曲线+=1与+=1(0<k<9)的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 曲线+=1的焦距为2c=8，而曲线+=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 解析 答案 3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 A. B.2 C. D.4 椭圆x2+my2=1的标准形式为x2+=1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以=2，所以m=. 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|=|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 依题意可知a=b，即=， 所以该椭圆的离心率e===. 解析 5.关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线y=x对称 D.关于原点中心对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于A，用-y替换方程中的y，得x2-xy+2y2=4，方程发生变化，即曲线关于x轴不对称，A错误； 对于B，用-x替换方程中的x，得x2-xy+2y2=4，方程发生变化，即曲线关于y轴不对称，B错误； 对于C，用x替换方程中的y，y替换方程中的x，得2x2+xy+y2=4，方程发生变化，即曲线关于直线y=x不对称，C错误； 对于D，用-x替换方程中的x，-y替换方程中的y，得x2+xy+2y2=4，与原方程相同，因此曲线关于原点中心对称，D正确. 解析 6.(多选)已知椭圆C的两个焦点坐标分别为(-2，0)，(2，0)，离心率为e，则 A.e越接近于0，则C就越接近于圆 B.e越接近于1，则C就越接近于圆 C.若C经过点，则C的长轴长为2 D.若e=，则C的长半轴长为8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由椭圆的性质可知，e越接近于0，椭圆就越接近于圆；e越接近于1，椭圆就越扁平，故A正确，B错误； 若C经过点，则由椭圆的定义可知C的长轴长为2a= +=2，故C正确； 由已知得=，c=2，则a=4，长半轴长为4，故D错误. 解析 7.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆 C的方程为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设椭圆方程为+=1(a>b>0)，由e===. ∵△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16， ∴a=4， ∴b2=8， ∴椭圆C的方程为+=1. 解析 8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，4] ∵e=，b=1，0<e≤， ∴≤，则1<a≤2， ∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 解析 答案 9.求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标： (1)x2+9y2=9； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 x2+9y2=9整理为+y2=1，焦点在x轴上，且a=3，b=1，c==2，所以长轴长为2a=6，短轴长为2b=2，离心率为=，焦点坐标分别为(-2，0)与，顶点坐标分别为(3，0)，(-3，0)，(0，1)，(0，-1). 解 (2)4x2+2y2=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4x2+2y2=16，整理为+=1，焦点在y轴上，且a=2，b=2，c2=a2-b2= 8-4=4，所以c=2，长轴长为2a=4，短轴长为2b=4，离心率为==，焦点坐标分别为(0，2)，(0，-2)，顶点坐标分别为(0，2)，(0，-2)，(2，0)，(-2，0). 解 答案 10.如图，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若∠F1AB=90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|=|OF2|， 即b=c. 所以a=c，e==. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的标准方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由=2， 解得x=，y=-. 代入+=1， 得+=1， 即+=1， 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解得a2=3， 又c2=1， 所以b2=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 解 11.椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|= 5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意可知|PF1|+|PF2|=2a， |PF1|=5|PF2|，则|PF1|=，|PF2|=， ∵|PF1|-|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 解析 12.(多选)设椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是 A.|PF1|+|PF2|=2 B.离心率e= C.△PF1F2面积的最大值为 D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由+y2=1，得a2=2，b2=1，∴c2=1， ∴|PF1|+|PF2|=2a=2，因此A正确； e===≠，因此B错误； 当点P在椭圆的上顶点或下顶点时， △PF1F2的面积最大，且()max=×2c×b=×2×1≠，因此C错误； 以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1， 且圆心到直线的距离为d==1，因此D正确. 解析 答案 13.已知离心率为的椭圆E：+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在E上，+的最小值为8，则椭圆E的方程是 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2≥=2a2， 当且仅当|PF1|=|PF2|=a时取等号，此时=2a2=8， 所以a=2，又离心率e==，所以c=1，b=，椭圆E的方程为+=1. 解析 答案 14.中国灯笼又称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品.每年的农历正月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 十五元宵节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼，来营造一种喜庆的氛围.如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼的高为20 cm，在距离最大横截面6 cm处的横截面的面积为 144π cm2，则该灯笼的轴截面的离心率为　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知，椭圆的短轴长为20 cm，可设椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为+=1(a>10)， 设在距离最大横截面6 cm处的横截面的半径为r cm，则πr2=144π，解得r=12， 所以点(12，6)在椭圆上，即+=1，解得a=15， 所以该灯笼的轴截面的离心率为e===. 解析 15.椭球面镜具有改变光路的方向、使光束汇聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件.椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动180°形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处.从椭球面镜的焦点F1射出的两条光线，经椭球面镜上的A，B两点反射后汇聚于焦点F2，若 3=2，且|AF1|=2|AF2|，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，短轴长为2b，|AF2|=2t， 则|AF1|=2|AF2|=4t，|BF2|=3t， 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=6t，|BF1|+|BF2|=2a=6t， 所以|BF1|=3t，因为|AF1|=4t，|BF1|=3t，|AB|=|AF2|+|BF2|=5t，所以AF1⊥BF1， 又|BF1|=|BF2|=3t，所以B为椭圆的短轴端点. 设O为椭圆的中心，因为cos∠F1BF2===1-2sin2∠OBF2， 所以sin∠OBF2=，又在Rt△OBF2中，OB⊥OF2，|OB|=b，|OF2|=c， 所以|BF2|==a，所以sin∠OBF2===. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4， 得|AF1|=3，|F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16， |AF1|+|AF2|=2a=8，故|AF2|=8-3=5. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设|F1B|=k，k>0，则|AF1|=3k，|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)， 化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0， 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， 可得AF1⊥AF2， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a， 所以椭圆E的离心率e==. 解 答案 第3章　3.1.2　椭圆的简单几何性质 <<< $