第4章 习题课 二项式定理的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦二项式定理的综合应用，系统梳理两个二项式乘积的特定项、三项展开式转化、整除余数问题及系数最值问题，构建从基础定理到综合应用的学习支架，助力学生掌握相关解题方法。 以“8^2025天后是星期几”等实际问题导入，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过例题解析的分类讨论和方程思想培养数学思维，跟踪训练与课时对点练助力学生用数学语言表达解题过程，课中提升教学效率，课后帮助学生查漏补缺。

习题课　二项式定理的综合应用 学习目标　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 导语 假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 025天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？ 一、两个二项式积的问题 例1　(1)(1+x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 答案　C 解析　因为二项式(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr，所以(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项为1×x4+x2×x2=15x4，所以x4的系数为15. (2)已知(2x-a)的展开式中x2的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为　　　　.  答案　-640 解析　的展开式的通项为 Tr+1=x6-r=2rx6-2r(r=0，1，2，3，4，5，6)， 令6-2r=1， 得r=(舍去)； 令6-2r=2，得r=2. 故(2x-a)的展开式中x2的系数为 -a22=-240， 解得a=4. 令6-2r=-1，得r=(舍去)； 令6-2r=0，得r=3. 故(2x-4)的展开式中的常数项为 -4·23=-640. 反思感悟　两个二项式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得. 跟踪训练1　若的展开式中各项系数的和为2，则a=　　　　，该展开式中的常数项为　　　　.  答案　1　40 解析　令x=1，得(1+a)(2-1)5=2， 则a=1， 故的展开式中的常数项即为的展开式中与x的系数之和. 的展开式的通项为 Tr+1=(-1)r25-rx5-2r， 令5-2r=1，得r=2， ∴展开式中x的系数为×25-2×(-1)2=80. 令5-2r=-1，得r=3， ∴展开式中的系数为×25-3×(-1)3=-40， ∴的展开式中的常数项为80-40=40. 二、三项展开式问题 例2 　的展开式中的常数项是　　　　.  答案　 解析　方法一　原式=， ∴展开式的通项为=(r1=0，1，2，…，5). 当r1=5时，T6=()5=4， 当0≤r1<5时，的展开式的通项为 = =(r2=0，1，2，…，5-r1). 令5-r1-2r2=0，得r1+2r2=5. ∵0≤r1<5且r1∈Z， ∴或 ∴常数项为4+××+××()3=4++20=. 方法二　原式= =·[(x+)2]5=·(x+)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x+)10的展开式中x5的系数，即)5. ∴所求的常数项为=. 反思感悟　三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 跟踪训练2　在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为　　　　.  答案　30 解析　方法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5， 含y2的项为T3=(x2+x)3y2， 其中(x2+x)3中含x5的项为x4x=x5， 所以x5y2的系数为=30. 方法二　(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为=30. 三、整除和余数问题 例3　(1)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，比如：26≡16(mod 10).已知n=+×8+×82+…+×810，满足n≡p(mod 7)，则p可以是(　　) A.23 B.31 C.32 D.19 答案　A 解析　因为n=+×8+×82+…+×810=(1+8)10=(7+2)10， 也即n=×710+×79×2+…+×7×29+×210， 故n除以7的余数为×210=1 024除以7的余数2， 又23除以7的余数也为2，满足题意，其他选项都不满足题意，所以p可以是23. (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 027+a能被13整除，则a=　　　　.  答案　1 解析　因为512 027+a=(52-1)2 027+a=522 027-522 026+522 025-…+×521-1+a能被13整除， 故-1+a能被13整除， 又0≤a<13，故a=1. 反思感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项即可. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式. 跟踪训练3　(1)求415除以15的余数； (2)证明：32n+3+72n-27(n∈N+)能被96整除. (1)解　∵415=4×414=4×=4×167=4×(15+1)7 =4×(×157+×156+…+×151+×150) =4×15(×156+×155+…+)+4， ∴415除以15的余数为4. (2)证明　∵32n+3+72n-27 =3×(8+1)n+1+72n-27 =3×(×8n+1+…+×8+)+72n-27 =3×(×8n+1+…+×82)+24(n+1)+3+72n-27 =3×82×(×8n-1+…+)+96n =2×96×(×8n-1+…+)+96n， ∴原式能被96整除. 四、二项展开式中的系数最值问题 例4　已知二项式(x+3x2)n，若它的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 解　(1)∵2n=128，∴n=7，通项为Tr+1=x7-r=3rx7+r. 二项式系数最大的项为第4，5项， T4=33x10=945x10，T5=34x11=2 835x11. (2)设展开式中系数最大的项为第(r+1)项，则 r∈{1，2，3，4，5，6}， 即 解得5≤r≤6， 因为r∈{1，2，3，4，5，6}，所以r=5或r=6，所以展开式中系数最大的项为第6，7项， T6=35x12=5 103x12，T7=36x13=5 103x13. 反思感悟　求解二项展开式中系数最值的策略 (1)求二项式系数的最大值，则依据(a+b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解. (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第r项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果. 跟踪训练4　已知的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项. 解　由已知得++=79， 即n2+n-156=0. 解得n=-13(舍去)或n=12. 则=(1+4x)12， 设第r+1项的系数最大， 由 解得9.4≤r≤10.4. 又∵0≤r≤12，r∈N， ∴r=10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11=××410×x10=16 896x10. 1.知识清单： (1)两个二项式积的问题. (2)三项展开式问题. (3)整除和余数问题. (4)二项展开式中的系数最值问题. 2.方法归纳：分类讨论、方程思想等. 3.常见误区：分类不当、重复或遗漏. 1.在x(1+x)6的展开式中，x3的系数为(　　) A.30 B.20 C.15 D.10 答案　C 解析　因为(1+x)6的展开式的通项为Tr+1=xr，所以x(1+x)6的展开式中含x3的项为x3=15x3，所以x3的系数为15. 2.9192被100除所得的余数为(　　) A.1 B.81 C.-81 D.992 答案　B 解析　9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90+1=8 281，显然8 281除以100所得的余数为81. 故9192被100除所得的余数为81. 3.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　) A.25 B.35 C.45 D.(x+3)5 答案　C 解析　由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5，则展开式的通项为Tr+1=(x+3)5-ryr， 当r=0时，不含y的项， T1=(x+3)5=(x+3)5， 令x=1，可得不含y的各项系数之和为45. 4.在的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数中最大值为　　　　.  答案　10 解析　的展开式的通项为 Tr+1=x5-r=(-a)rx5-2r， 令5-2r=3， 得r=1， 所以-a×5=-5， 即a=1， 展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为=10. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.二项式(1-x)4n+1(n∈N+)的展开式中，系数最大的项是(　　) A.第2n+1项 B.第2n+1项和第2n+2项 C.第2n项 D.第2n+2项 答案　A 解析　由二项展开式的通项Tr+1=(-x)r=(-1)rxr，可知系数为(-1)r，二项式系数最大的项为第2n+1项和第2n+2项，又由第2n+1项系数为(-1)2n=，第2n+2项系数为(-1)2n+1=-<0，故系数最大项为第2n+1项. 2.(x2+2)的展开式的常数项是(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　D 解析　的展开式的通项为 Tr+1=(-1)r=(-1)rx2r-10. 令2r-10=-2或2r-10=0， 解得r=4或r=5. 故(x2+2)的展开式的常数项是 (-1)4×+2×(-1)5×=3. 3.设n∈N+，则×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+×11×8n-1+×10×8n除以9的余数为(　　) A.0 B.8 C.7 D.2 答案　A 解析　因为×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+×11×8n-1+×10×8n=(1+8)n=9n，所以该式除以9的余数为0. 4.的展开式中x6的系数为(　　) A.-1 B.1 C.-20 D.20 答案　C 解析　(x3-2x2+x)3=x3(x-1)6，因此所求x6的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数， 由二项式定理知系数为(-1)3=-20. 5.某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m'，则下列各数中与最接近的是(　　) A.70% B.65% C.60% D.55% 答案　C 解析　由题意可知m'=m0(1-5%)10，则=(1-5%)10=1-×0.05+×0.052-×0.053+…+×0.0510≈1-0.5+45×0.052=61.25%≈60%. 6.若(x2-a)的展开式中含x6的项的系数为30，则a等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　D 解析　的展开式的通项是 Tr+1=x10-r=x10-2r， 的展开式中含x4(当r=3时)，x6(当r=2时)的项的系数分别为，. 因为(x2-a)的展开式中含x6的项由x2与的展开式中含x4的项的乘积以及-a与的展开式中含x6的项的乘积两部分构成， 因此由题意得-a=120-45a=30， 解得a=2. 7.(5分)在的展开式中，常数项是　　　　　　.  答案　-20 解析　==，上述式子展开式中的常数项只有一项，为=-20， 所以的展开式的常数项为-20. 8.(5分)已知(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为-20，则m的值为　　　　　　.  答案　3 解析　(2x+my)(x-y)5=2x(x-y)5+my(x-y)5， 因为(x-y)5的展开式中xy4的系数为，x2y3的系数为-， 所以(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为2-m=-20， 解得m=3. 9.(10分)用二项式定理证明1110-1能被100整除. 证明　1110-1=(10+1)10-1 =1010+109+108+…+10+-1 =1010+109+108+…+10 =100(108+107+106+…+1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110-1能被100整除. 10.(10分)已知的展开式的二项式系数之和为256. (1)求n；(2分) (2)若展开式中常数项为，求m的值；(3分) (3)若(x+m)n展开式中系数最大的项只有第6项和第7项，求m的值.(5分) 解　(1)二项式系数之和为2n=256， 可得n=8. (2)设常数项为第r+1项，则 Tr+1=x8-r=mrx8-2r， 令8-2r=0，即r=4， 则m4=，解得m=±. (3)易知m>0，设第r+1项系数最大. 则 化简可得≤r≤. 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以 即 所以m=2. 11.若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　) A.(2，3) B. C.[2，3] D. 答案　C 解析　由于二项式(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n=512，解得n=9，即(2+ax)n=(2+ax)9(a≠0)， 其展开式的通项为 Tr+1=·29-r·(ax)r=ar·29-r··xr， 依题意可知 解得2≤a≤3. 12.(多选)已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是(　　) A.二项展开式中各项系数之和为36 B.二项展开式中二项式系数最大的项为160 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为90x3 答案　AB 解析　因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n=64，得n=6， 二项式的展开式的通项为 Tr+1=(2x)6-r=26-r， 对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确； 对于B，第4项的二项式系数最大，此时r=3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160，所以选项B正确； 对于C，令6-r=0，得r=4，所以二项展开式中的常数项为26-4=60，所以选项C错误； 对于D，令第r+1项的系数最大，则 解得≤r≤， 因为r∈N+，所以当r=2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 T3=24x3=240x3，所以选项D错误. 13.(多选)若f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1，则(　　) A.f(x)可以被(x-1)3整除 B.f(x+y+1)可以被(x+y)4整除 C.f(30)被27除的余数为6 D.f(29)的个位数为6 答案　AB 解析　∵f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1=(x-1)5， ∴f(x)可以被(x-1)3整除，故A正确； ∵f(x+y+1)=(x+y)5， ∴f(x+y+1)可以被(x+y)4整除，故B正确； ∵f(30)=(30-1)5=(27+2)5=×275+×274×2+…+×27×24+×25 =×275+×274×2+…+×27×24+27+5， ∴f(30)被27除的余数为5，故C错误； ∵f(29)=(29-1)5=(30-2)5=×305+×304×(-2)+…+×30×(-2)4+(-2)5 =×305+×304×(-2)+…+×30×(-2)4-32， ∴个位数为10-2=8，故D错误. 14.(5分)若的展开式中x3的系数为-，则a=　　　　　　；二项展开式中系数最大的项为　　　　.  答案　　x-6 解析　二项式展开式的通项为Tr+1=(ax2)6-r=·a6-r·(-1)r·x12-3r， 因为的展开式中x3的系数为-，则令12-3r=3，得r=3， 故a3(-1)3=-，得a=， 所以Tr+1==(-1)r·x12-3r，r=0，1，2，…，6， 系数最大的项一定是r为偶数，当r=0时，系数为，当r=2时，系数为15×，当r=4时，系数为15×，当r=6时，系数为1， 所以当r=6时，系数最大，所以二项展开式中系数最大的项为T7=x-6. 15.(多选)对于二项式(n∈N+)，以下判断正确的有(　　) A.存在n∈N+，展开式中有常数项 B.对任意n∈N+，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+，展开式中有x的一次项 答案　AD 解析　二项式的展开式的通项为Tr+1=·3r·，r=0，1，2，…，n， 而的展开式的通项为Tk+1=·x4k-n，k=0，1，2，…，n. 对于二项式(n∈N+)，展开式的通项为·3r···x4k-n， x的次数为+4k-n=--+4k， 当--+4k=0，即3r+n=8k时，r=1，k=1，n=5是其中一组解，由于·3r···x4k-n的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误； 当--+4k=1，即3r+n+2=8k时，r=0，k=1，n=6是其中一组解，由于·3r···x4k-n的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 16.(12分)已知二项式=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥3且n∈N+).若|an-2|，|an-1|，|an|成等差数列. (1)求的展开式的中间项；(6分) (2)求|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值.(6分) 解　(1)二项式的通项为 Tk+1=(-x)k=(-1)kxk，k=0，1，2，…，n， 则an=(-1)n=(-1)n， an-1=(-1)n-1=(-1)n-1， an-2=(-1)n-2=(-1)n-2， 由题意知2|an-1|=|an-2|+|an|， 即2×=+1，即n2-9n+8=0， 解得n=1(舍去)或n=8. 则的展开式的中间项是 T5=(-1)4x4=x4. (2)设|ar|最大，则有 即解得5≤r≤6， 又r∈N+，则r=5或6. 所以|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值为 |a5|=|a6|==7. 学科网（北京）股份有限公司 $