第2章 再练1课(范围：§2.1～§2.8)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学解析几何核心内容，系统涵盖直线方程、圆的方程与位置关系、椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质。从基础几何量（倾斜角、离心率）到综合应用（两圆公切线、圆锥曲线与直线交点），构建连贯的知识学习支架。 资料特色在于结合实际情境（如火星探测器轨道问题）培养数学眼光，通过逻辑推理（如对称点求法、两圆位置关系判断）发展数学思维，以方程与几何性质应用（椭圆面积最大时向量运算）强化数学语言。分层题型助教师针对性教学，详细解析促学生课后查漏补缺。

再练一课(范围：§2.1~§2.8) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.过点P(3，－2)且倾斜角为的直线方程是(　　) A.x＝－2 B.x＝3 C.y＝－2 D.y＝3 答案　B 解析　由倾斜角为，知直线垂直于x轴，又直线过点P(3，－2)，所以直线方程为x＝3. 2.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.2x±y＝0 B.x±2y＝0 C.3x±y＝0 D.x±3y＝0 答案　B 解析　∵双曲线＝1的离心率为， ∴，∴＝5，∴＝2， ∵渐近线方程为y＝±x，∴y＝±x，即x±2y＝0. 3.过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是(　　) A.点P(a，b)一定在单位圆内 B.点P(a，b)一定在单位圆上 C.点P(a，b)一定在单位圆外 D.当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上 答案　B 解析　∵＝(a＋b)2，且⊥， ∴a2＋b2＋2ab·＝a2＋b2＝1， 因此点P(a，b)一定在单位圆上. 4.已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，则两圆公切线的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1， 圆心C1(3，－2)，半径r1＝1， 圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝16， 圆心C2(7，1)，半径r2＝4， 圆心距d＝＝5，d＝r1＋r2， 所以两圆相外切，公切线的条数为3. 5.设F1，F2为椭圆＝1的左、右焦点，动点P在椭圆上，当△PF1F2的面积最大时，·的值等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　C 解析　根据对称性不妨设点P(x，y)，y>0， 因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1， 则△PF1F2的面积 S＝|F1F2|·y＝cy≤cb＝， 当y＝b＝时，△PF1F2的面积取得最大值， 此时P(0，)，又F1(－1，0)，F2(1，0)， 则＝(－1，－)，＝(1，－)， 所以·＝－1＋3＝2. 6.某探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 395公里，则调整后探测器的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为(　　) A.0.61 B.0.67 C.0.71 D.0.77 答案　A 解析　设椭圆的方程为＝1(a>b>0)， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c， 根据题意可得近火点满足a－c＝3 395＋265＝3 660，a＋c＝3 395＋11 945＝15 340， 解得a＝9 500，c＝5 840， 所以椭圆的离心率e＝≈0.61. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.过点(3，2)且与椭圆＝1有相同焦点的圆锥曲线的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　BC 解析　椭圆＝1的焦点坐标为(±，0)， 可得c＝， 设椭圆的方程为＝1(a>b>0)， 可得解得 所求椭圆的方程为＝1； 设双曲线的方程为＝1(m>0，n>0)， 可得解得 所求双曲线的方程为＝1. 8.设椭圆C：＝1的焦点为F1，F2，M在椭圆上，则下列说法正确的是(　　) A.|MF1|＋|MF2|＝8 B.|MF1|的最大值为7，最小值为1 C.|MF1||MF2|的最大值为16 D.△MF1F2面积的最大值为10 答案　ABC 解析　由椭圆C：＝1，得a＝4，b＝，c＝3， |MF1|＋|MF2|＝2a＝8，A正确； |MF1|max＝a＋c＝7， |MF1|min＝a－c＝1，B正确； |MF1||MF2|≤＝16， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝4时等号成立，C正确； △MF1F2面积的最大值为|F1F2|×b＝×6×＝3，D不正确. 9.下列判断正确的是(　　) A.抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0仅有一个公共点 B.双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点 C.若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则<t<4 D.若方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 答案　BD 解析　对于A，抛物线方程y2＝x与直线方程x＋y－＝0联立，消去x，可得y2＋y－＝0，Δ＝1＋4>0，所以抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0有两个公共点，故A错误； 对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，直线x＋y－＝0与渐近线y＝－x平行，故双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点，故B正确； 对于C，若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，解得1<t<，故C错误； 对于D，若方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则解得t>4，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.过点P(－2，4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m之间的距离为　　　　.  答案　4 解析　根据题意，知点P在圆C上， ∴切线l的斜率k＝－， ∴切线l的方程为y－4＝(x＋2)， 即4x－3y＋20＝0. 又直线m与切线l平行， ∴直线m的方程为4x－3y＝0. 故切线l与直线m之间的距离d＝＝4. 11.已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为　　　　.  答案　2 解析　如图，A(a，0). 由BF⊥x轴且AB的斜率为3， 知点B在第一象限，且B， 则kAB＝＝3， 即b2＝3ac－3a2. 又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2， ∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0. 解得e＝2或e＝1(舍去).故e＝2. 12.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为　　　　.  答案　y＝±x 解析　由已知|OA|＝a， |AF|＝c， 得|OF|＝＝b， 把y＝－＝－b代入双曲线方程＝1，得x2＝2a2， 所以直线y＝－被双曲线截得的线段长为2a， 从而2a＝2c，c＝a，所以a2＋b2＝2a2， 所以a＝b，所以所求渐近线方程为y＝±x. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(1，m)在抛物线C上，且|AF|＝. (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)已知过点Q(2，1)的直线l与抛物线交于M，N两点，且点Q是线段MN的中点，求直线l的方程.(8分) 解　(1)根据抛物线的定义得 |AF|＝xA＋＝1＋，解得p＝1， ∴抛物线C的方程为y2＝2x. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∵Q(2，1)是线段MN的中点，∴y1＋y2＝2， ∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线C上，∴ 于是得(y2－y1)(y2＋y1)＝2(x2－x1)， 即＝1， 得直线l的斜率为1， 则直线l的方程为x－y－1＝0. 14.(12分)在△ABC中，已知A(1，1)，B(3，－2). (1)若直线l过点M(2，0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；(6分) (2)若直线m：2x－y－6＝0为∠C的平分线，求直线BC的方程.(6分) 解　(1)∵点A，B到l的距离相等， ∴直线l过线段AB的中点或l∥AB， ①当直线l过线段AB的中点N时， 直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2； ②当l∥AB时，则斜率kl＝kAB＝＝－， 则直线l的方程为y－0＝－(x－2)， 即3x＋2y－6＝0， 综上，直线l的方程为x＝2或3x＋2y－6＝0. (2)∵直线m为∠C的平分线， ∴点A关于直线m的对称点A'(a，b)在直线BC上， 则有解得 即A'(5，－1)， ∴直线BC的斜率kBC＝， ∴直线BC的方程为y＋1＝(x－5)， 即x－2y－7＝0. 15.(13分)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：x－y－1＝0，点P在直线l上，O为坐标原点. (1)求|PO|2＋|PM|2的取值范围；(4分) (2)过点P引圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B. ①求四边形MAPB面积的最小值；(4分) ②设AB的中点为N，是否存在定点Q使得|NQ|为定值？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.(5分) 解　(1)因为点P在直线l上，直线l的方程为x－y－1＝0，故可设点P的坐标为(x0，x0－1)，圆M：x2＋(y－2)2＝1的圆心M的坐标为(0，2)，半径为1， 所以|PO|2＋|PM|2＝＝4－8x0＋10＝4＋6≥6， 所以|PO|2＋|PM|2的取值范围为[6，＋∞). (2)①因为PA，PB为圆M的两条切线，所以PA⊥MA，PB⊥MB， 又|MA|＝|MB|＝1， 所以S四边形MAPB＝2S△MAP＝2××|MA||PA|＝， 圆心M到直线l的距离为d＝， 所以当|PM|＝时，四边形MAPB的面积取最小值，最小值为. ②由①得M，A，P，B四点共圆，且以MP为直径， 因为M(0，2)，P(x0，x0－1)， 所以该圆方程为(x－x0)(x－0)＋(y－x0＋1)(y－2)＝0， A，B在圆(x－x0)(x－0)＋(y－x0＋1)(y－2)＝0上， A，B又在圆x2＋(y－2)2＝1上， 两式作差可得直线AB为x0x＋(x0－3)y＋5－2x0＝0， 即x0(x＋y－2)＋5－3y＝0， 所以直线AB过定点D， 因为MN⊥ND，所以点N在以MD为直径的圆上， 取MD的中点为Q，则|NQ|为定值， |NQ|＝|MD|＝. 学科网（北京）股份有限公司 $