5.2二次函数的图象 同步讲解 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象及性质核心知识点，从y=ax²的描点画法与平移规律入手，逐步延伸至顶点坐标、对称轴、增减性等性质，再到图象与系数关系、点的坐标特征、最值及解析式求法，构建从图象认知到性质应用的完整学习支架。 资料以“知识点+例题”形式设计，通过描点画图培养几何直观（数学眼光），结合系数推理图象特征发展推理意识（数学思维），用坐标与解析式表达关系强化模型观念（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后例题解析帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

北师大版（2024）九年级上册5.2二次函数的图象 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024秋•蚌山区月考）已知实数a,b,c满足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，则（　　） A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0 2.（2011•宜宾）如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ______． 3.（2013秋•东海县校级期末）小张同学想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，请你指出这个算错的y值所对应的x=______． x … -2 -1 0 1 2 … y … 11 2 -1 2 5 … 【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025•西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 2.（2025•天宁区校级模拟）关于x的二次函数y=-（x-1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（-1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 3.（2025秋•西城区校级期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；顶点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是______． 【知识点3】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2025•望花区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4 2.（2025•碑林区校级一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（-1，0）和（1，4），且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（　　） A．-3 B．1 C．2 D． 3.（2025秋•惠阳区校级月考）如果抛物线y=（4+k）x2+2x+1的开口向下，那么k的取值范围是______． 【知识点4】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）． ①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025•青龙县一模）已知直线l过点A（-2，-1），B（3，4），二次函数y=ax2+2ax+a（a≠0）的图象和直线l交于点C，D（C在D的左侧），若AC=BD，则满足条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2025秋•西城区校级期中）点A（-3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2-2x上，则y1______y2．（填“＞”“＜”或“=”） 3.（2024秋•合肥校级期末）已知二次函数y=ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m,过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D． （1）若a=1，m=2，则OB：OC的值为______； （2）在（1）的条件下BD：CD的值为______． 【知识点5】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2023秋•廉江市校级月考）二次函数y=-3（x-1）2-1的最大值是（　　） A．3 B．0 C．1 D．-1 2.（2024秋•肇庆期中）二次函数y=（x-2）2+6的最小值是 ______． 3.（2025春•秦淮区校级期末）若y=-4t2+12t+6，则y的取值范围是 ______． 【知识点6】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 1.（2023秋•唐山月考）形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　　） A．y=x2+4x+3 B．y=-x2-4x+3 C．y=-x2+4x+3 D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 2.（2019秋•襄汾县期末）已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　） A．4 B．8 C．-4 D．16 【知识点7】二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；    ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；   ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2017秋•海勃湾区期末）用配方法将y=x2+x-1写成y=a（x-h）2+k的形式是（　　） A．y=（x+1）2-1 B．y=（x-1）2-1 C．y=（x+1）2-3 D．y=（x+1）2- 2.（2019秋•嘉兴期末）将二次函数y=x2-6x+8化成y=a（x+m）2+k的形式是______． 北师大版（2024）九年级上册5.2二次函数的图象 (参考答案) 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024秋•蚌山区月考）已知实数a,b,c满足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，则（　　） A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0 【答案】A 【分析】由题意得，可求，则a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0，可求a＞0，设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），则图象开口向上，由a+b+c＜0，可知当x=1时，y=a+b+c＜0，则图象与x轴有两个交点，进而可得b2-4ac＞0． 【解答】解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 由题意得， 解得，， ∴a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0， ∴a＞0， ∴则图象开口向上， ∵a+b+c＜0， ∴当x=1时，y=a+b+c＜0， ∴图象与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， 故选：A． 2.（2011•宜宾）如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ______． 【答案】2 【分析】根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半，从而得出答案． 【解答】解：根据图示及抛物线、正方形的性质， S阴影=S正方形=×2×2=2． 故答案为：2． 3.（2013秋•东海县校级期末）小张同学想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，请你指出这个算错的y值所对应的x=______． x … -2 -1 0 1 2 … y … 11 2 -1 2 5 … 【答案】2 【分析】由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=0，则x=2与x=-2时应取值相同． 【解答】解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x=0， 设解析式为：y=ax2-1，将（-1，2）代入得出：a=3， 故函数解析式为y=3x2-1， x=2时，y=11， 则x=2与x=-2时应取值相同． 故这个算错的y值所对应的x=2． 故答案为：2． 【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025•西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 【答案】D 【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=-2，再根据当x＜-3时，y随x的增大而减小，得a＞0，再根据抛物线的增减性得当x=-1时，y=-1，代入抛物线解析式求值即可． 【解答】解：y=ax2+4ax-a2+3=a（x+2）2-4a-a2+3， ∴二次函数y=ax2+4ax-a2+3的对称轴为直线x=-2， ∵当x＜-3时，y随x的增大而减小， ∴a＞0， ∵当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，在对称轴的右边，此时y随x的增大而增大， ∴当x=-1时，y=-1， ∴a-4a-a2+3=-1， 解得a=1或a=-4（舍去）， 即a的值为1． 故选：D． 2.（2025•天宁区校级模拟）关于x的二次函数y=-（x-1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（-1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a,h,k是常数），它的对称轴是直线x=h,顶点坐标是（h,k）． 【解答】解：A：∵a=-1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x=1，故此选项错误， B：当x=0，y=1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误， C：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误， ∴D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确， 故选：D． 3.（2025秋•西城区校级期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；顶点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是______． 【答案】y=-x2+3（答案不唯一）． 【分析】利用二次函数的顶点式，根据顶点坐标和开口方向确定参数． 【解答】解：设y=a（x-h）2+k, ∵二次函数，其图象满足条件：顶点坐标为（0，3）， ∴h=0，k=3，即y=ax2+3， ∵开口向下， ∴a＜0，取a=-1，得y=-x2+3． 故答案为：y=-x2+3（答案不唯一）． 【知识点3】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2025•望花区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】根据抛物线开口向上，可得a＞0，据此判断A；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在x轴的下方，据此判断B；根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，故A不正确； 由图象可知c＜0，故B不正确； ∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：2×2=4，故D正确． 故选：D． 2.（2025•碑林区校级一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（-1，0）和（1，4），且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（　　） A．-3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】把点（-1，0）和（1，4）代入解析式，求出b=2，根与系数的关系得到，进而求出a的范围，即可． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（-1，0）和（1，4）， ∴， ∴b=2， ∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，另一个交点的横坐标为-1， ∴2＜m-1＜3， ∴， ∴， ∴； 故a的取值可能是； 故选：D． 3.（2025秋•惠阳区校级月考）如果抛物线y=（4+k）x2+2x+1的开口向下，那么k的取值范围是______． 【答案】k＜-4． 【分析】由抛物线y=（4+k）x2+2x+1的开口向下，可得：4+k＜0，解不等式可得答案． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴4+k＜0， 解得k＜-4． 故答案为：k＜-4． 【知识点4】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）． ①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025•青龙县一模）已知直线l过点A（-2，-1），B（3，4），二次函数y=ax2+2ax+a（a≠0）的图象和直线l交于点C，D（C在D的左侧），若AC=BD，则满足条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线l的解析式为y=x+1，与二次函数的解析式联立可得ax2+（2a-1）x+a-1=0，解方程可得x=-1或，再设点C的坐标为C（m,m+1），点D的坐标为（n,n+1），且m＜n,则m,n是关于x的一元二次方程ax2+（2a-1）x+a-1=0的两个不相等的实数根，然后分两种情况：①a＞0和②a＜0，分别求出m,n的值，根据AC=BD建立方程，解方程即可得． 【解答】解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， 由条件可得：，解得， ∴直线l的解析式为y=x+1， 联立得：ax2+（2a-1）x+a-1=0， ∴（ax+a-1）（x+1）=0， 解得x=-1或， 由题意，设点C的坐标为C（m,m+1），点D的坐标为（n,n+1），且m＜n, ∴m,n是关于x的一元二次方程ax2+（2a-1）x+a-1=0的两个不相等的实数根， 由①当a＞0时，， 则， ∵AC=BD， ∴AC2=BD2， ∴（m+2）2=（n-3）2， ∴， 解得或，经检验，都是方程的解，且符合题设； ②当a＜0时，， 则， 同理可得：（m+2）2=（n-3）2， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， 经检验，是方程的解，且符合题设； 综上，满足条件的a的值有或或，共3个， 故选：C． 2.（2025秋•西城区校级期中）点A（-3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2-2x上，则y1______y2．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】＞ 【分析】分别计算x=-3和x=2对应的函数值可判断y1 与y2的大小． 【解答】解：当x=-3时，y1=x2-2x=（-3）2-2×（-3）=9+6=15； 当x=2时，y2=x2-2x=22-2×2=0， 所以y1＞y2． 故选＞． 3.（2024秋•合肥校级期末）已知二次函数y=ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m,过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D． （1）若a=1，m=2，则OB：OC的值为______； （2）在（1）的条件下BD：CD的值为______． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）由a=1，m=2可得二次函数y=ax2的解析式为y=x2，点A的横坐标是2，进而可得A（2，4），由AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C可得B（0，4），C（2，0），进而可得OB=AC=4，OC=AB=2，由此即可求出OB：OC的值； （2）由a=1，m=2可得二次函数y=ax2的解析式为y=x2，点A的横坐标是2，进而可得A（2，4），由AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C可得B（0，4），C（2，0），设直线BC的解析式为y=kx+b,将B（0，4），C（2，0）代入，得，解得，于是可得直线BC的解析式为y=-2x+4，设D（n,-2n+4）（n＞0），则有-2n+4=n2，解方程即可求得，过点D作DE⊥y轴于点E，则，由垂直于同一直线的两直线平行可得DE∥x轴，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）可得OB=4，且，于是得解． 【解答】解：（1）二次函数y=ax2的解析式为y=x2，点A的横坐标是2， 当x=2时，y=22=4， ∴A（2，4）， ∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C， ∴B（0，4），C（2，0）， ∴OB=AC=4-0=4，OC=AB=2-0=2， ∴OB：OC=4：2=2， 故答案为：2； （2）由条件可知二次函数y=ax2的解析式为y=x2，点A的横坐标是2， 当x=2时，y=22=4， ∴A（2，4）， ∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C， ∴B（0，4），C（2，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将B（0，4），C（2，0）代入，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y=-2x+4， ∵BC与抛物线交于点D， ∴设D（n,-2n+4）（n＞0），则有： -2n+4=n2， 解得：或（不合题意，故舍去）， ∴， 如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴， 由条件可知DE∥x轴， ， 由（1）可得：OB=4， ∵， ∴BD：CD的值为： = = = = =， 故答案为：． 【知识点5】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2023秋•廉江市校级月考）二次函数y=-3（x-1）2-1的最大值是（　　） A．3 B．0 C．1 D．-1 【答案】D 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的性质，a＜0时，有最大值k. 【解答】解：∵a=-3＜0， ∴当x=1时，最大值为-1； 故选：D． 2.（2024秋•肇庆期中）二次函数y=（x-2）2+6的最小值是 ______． 【答案】6． 【分析】根据顶点式的性质，直接作答即可． 【解答】解：∵y=（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最小值为6； 故答案为：6． 3.（2025春•秦淮区校级期末）若y=-4t2+12t+6，则y的取值范围是 ______． 【答案】y≤15． 【分析】依据题意，由y=-4t2+12t+6=-4（t2-3t+）+15=-4（t-）2+15，可得当t=时，y取最大值为15，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵y=-4t2+12t+6=-4（t2-3t+）+15=-4（t-）2+15， ∴当t=时，y取最大值为15． ∴y≤15． 故答案为：y≤15． 【知识点6】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 1.（2023秋•唐山月考）形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　　） A．y=x2+4x+3 B．y=-x2-4x+3 C．y=-x2+4x+3 D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 【答案】D 【分析】由题中给出的条件，对称轴和与y轴的交点坐标，可以确定c的值及a与b的关系，再从所给选项中判断出选项即可． 【解答】解：设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,由抛物线过点（0，3），可得：c=3， 由抛物线形状与y=-x2-2相同， 分为两种情况：①开口向下，则a＜0， 又∵对称轴x=-2，则x=-=-2．则b＜0， 由此可得出B选项符合题意． ②开口向下，则a＞0， 又∵对称轴x=-2，则x=-=-2．则b＞0， 由此可得出A选项符合题意， 综合上述，符合条件的是选项D， 故选：D． 2.（2019秋•襄汾县期末）已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　） A．4 B．8 C．-4 D．16 【答案】D 【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答． 【解答】解：根据题意，得=0， 解得c=16． 故选：D． 【知识点7】二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；    ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；   ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2017秋•海勃湾区期末）用配方法将y=x2+x-1写成y=a（x-h）2+k的形式是（　　） A．y=（x+1）2-1 B．y=（x-1）2-1 C．y=（x+1）2-3 D．y=（x+1）2- 【答案】D 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y=x2+x-1=（x2+2x+1）--1=（x+1）2- 故选：D． 2.（2019秋•嘉兴期末）将二次函数y=x2-6x+8化成y=a（x+m）2+k的形式是______． 【答案】y=（x-3）2-1 【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案． 【解答】解：y=x2-6x+8 =x2-6x+9-1 =（x-3）2-1． 故答案为：y=（x-3）2-1． 学科网（北京）股份有限公司 $