2.6 《二次函数与一元二次方程》学案 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学学案聚焦二次函数与一元二次方程的对应关系，涵盖交点个数判断、方程根求解、不等式解集及综合题型。通过竖直上抛小球运动实例，以代数法与图象法双路径导入，衔接函数与方程知识，搭建递进式学习支架。 学案以情境问题驱动探究，通过表格对比函数图象与方程根的关系，培养几何直观与推理意识。分层习题从基础辨析到参数综合，渗透模型观念，助力学生用数学语言解决实际问题，提升知识迁移与综合应用能力。

《2.6.1二次函数与一元二次方程》学案答案 一、二次函数与一元二次方程关系的初步感知 我们已经知道，竖直上抛物体运动的高度h(单位:m)与运动的时间(单位:s)的关系可以近似地用公式表示，其中(单位:m)是物体被抛出时的高度，(单位:m/s)是物体被抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度坚直向上抛出，小球运动的高度h与运动的时间t之间的关系如图，那么 （1）h与t的表达式是什么? （2）小球经过多少秒落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. （1） 【方法1：由一般式求】 由题意知：=40， ∵从地面抛出，问题解决后的感知： 通过刚才问题解决的两种方法可以感受到：二次函数图象与x轴的交点交点横坐标就等于当h=0时得到的一元二次方程的根。 思考：可是不是所有的二次函数图象都与x轴有交点。即使有交点，交点个数可能是一个也可能是两个； 并且，一元二次方程也不是一定有根，即使有根，根情况可能是两个相等根，也可能是两个不相等实数根。 那么，二次函数图象与x轴交点情况与当y=0时得到的一元二次方程的根的情况具体有哪些对应关系呢？, ∴=0 ∴ 【方法2：看图由交点式求】 由图象知，抛物线过（0，0），（8，0） ∴抛物线 （2） 【方法1：代数法】 令h=0，∴=0 解得：t1=0（舍），t2=8 答：小球经过8秒落地. 【方法2：看图象】 由图象知，抛物线与x轴的交点有（0,0），（8,0） ∴抛物线上，纵坐标h值为0时，对应的t值有0或8 ∴小球经过8秒落地. 2、 二次函数与一元二次方程关系的探索 1.新知探索——抛物线与x轴交点 当y=0时 二次函数 一元二次方程 当y=0时 二次函数 一元二次方程 当y=0时 二次函数 一元二次方程 ①图象与x轴 有2个交点； ②交点坐标为：(-1,0) (0,0) . ①方程有2个 不相等的实数根； ②方程的根为：x1=－1，x2=0. ①图象与x轴有1个交点； ②交点坐标为：. (1,0) ①方程有1_个 相等的实数根； ②方程的根为： x1=x2=1. ①图象与x轴 没有交点； ①方程没有实数根； 2.新知总结1 当y=0时 判别方法 ， ① ② ③ 方程=0根的情况 ①有两个不相等的实数根 ②有两个相等的实数根 ③没有 实数根 二次函数的图象与x轴/直线y=0 ①有两个交点(x1,0)，(x2,0) ②有一个交点（m,0） ③没有交点 三、新知延伸——抛物线与直线的交点 1. 根据图a回答下列问题。： （1）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与函数_____y=5_______图象交点横坐标，所以方程的根为_x1=－1，x2=3_。 （2）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与函数____y=1________图象交点横坐标，所以方程的根为__x1=x2=1_。 （3）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与函数_y=－1__图象交点横坐标，所以方程__没有_实数根。 图a 图b 2. 根据图b直接写出下列问题答案： （1）一元二次方程0的根为______x1=－1，x2=3__________； （2）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与直线_________交点横坐标，所以方程的根为_x1=－2，x2=2_。 3. 根据图a和图b直接写出下列不等式的解集： （1）不等式的解集为__x＜－1或x＞3___； （2）不等式≤5的解集为____－1≤x≤3______； （3）不等式0的解集为___x≤－1或x≥3____； （4）不等式0的解集为____－1＜x＜3____； （5）不等式0＜＜3的解集为_－1＜x＜0或2＜x＜3___； （6）不等式的解集为___－2＜x＜2__； 新知总结2： 1.关于方程的根 （1） 一元二次方程0若有根，则说明抛物线和x轴/直线y=0有交点，且交点的_横坐标__就是方程的根； （2） 一元二次方程m(m为常数）若有根，则说明抛物线和直线___y=m___有交点，且交点的横坐标就是方程的根； （3） 一元二次方程 ①若有两个不相等的实数根，则说明抛物线和直线_y有两个交点，且交点的横坐标就是方程的根； ②若有两个相等的实数根，则说明抛物线和直线_y_有1_个交点，且交点的_横坐标__就是方程的根； ③若没有的实数根，则说明抛物线和直线_y没有交点。 2. 关于一元二次不等式的解集 （1） 一元二次不等式（或＞0）的解集，可以通过抛物线 与x轴_交点的横坐标看出结果。 （2） 一元二次不等式（或＞m，m为常数）的解集，可以通过抛物线与直线__y=m__交点的_横坐标_看出结果。 （3） 一元二次不等式（或＞m，k、b为常数）的解集，可以通过抛物线与直线___y=kx+b___交点的横坐标看出结果。 3、 巩固练习 【基础类】 1. （易错题）在平面直角坐标系中，二次函数与坐标轴的交点有（B） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2. 已知二次函数 y=x2－3x+m(m 为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两实数根是（ B ） A.x1=1，x2=－1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3 3. 若二次函数图象经过（-2,0）,则关于x的方程的实数根是（A ） A. x1=0，x2=4 B. x1=－2，x2=6 C. x1=，x2= D. x1=－4，x2=0 4. 若抛物线y=x2－bx+16的顶点在x轴上，则b=___±8_____。 5. 由抛物线与坐标轴交点情况求参数取值 （1） 抛物线（a是常数）与x轴有两个交点，则a的范围__a＞－2__； （2） （易错）二次函数的图象与x轴有交点，则k范围是__且k≠0___； （3） （易错）二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则m值为__－1__； （4） （选做）二次函数的图象与x轴无交点，则m范围是_－7＜m＜1_； 注意：由抛物线与坐标轴交点情况求参数取值时，除了利用以外，要考虑二次函数成立条件是a≠0，还要看清题干要：坐标轴除了x轴以外还有y轴。 计算方法：求一元二次不等式的取值范围时，可以利用二次函数图象与x轴交点坐标来判断。 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程=0的解为__x1=－1，x2=3__。 第6题图 第7题图 第8题图 7. 二次函数图象如图所示，则不等式＜0的解集是_－1＜m＜2__。 8. 二次函数与一次函数y=x的图象如图所示，则不等式的解集为____1＜m＜3______。 【提升类】 9. 已知抛物线如图所示，则关于x 的方程－8=0的根的情况是（C） A. 有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D. 没有实数根 第9题图 第10题图 10. 二次函数的图象如图②所示，若一元二次方程+m=0有实数根，则 m 的最大值为____3_。 11. (日照中考)已知二次函数(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点 (－1,0)，对称轴为直线x=2.对于下列结论:①abc<0；②a+c=b；③多项式可因式分解为(x+1)(x-5)；④当m>－9a 时，关于x的方程=m无实数根.其中正确的有（ C） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12. “如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程=0有两个不相等的实数根”，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m<n)是关于x的方程 1－(x－a)(x－6)=0的两根，且a<b,则a,b,m,n的大小关系是（A ） A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 13. 已知二次函数m. （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A(3,0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点Q是第一象限内抛物线上的一个动点,当S△ABQ=3时，求点Q的坐标。 答案：（1）m＞－1；（2）（1，2）； （3）（1，4）或（2，3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2.6.1二次函数与一元二次方程》学案 【学习目标】 1.掌握二次函数与一元二次方程的对应关系，能利用函数图象求方程的根。 2. 会用判别式 Δ 判断抛物线与 x 轴交点个数、方程实数根情况。 3. 理解抛物线与水平线、直线交点和对应方程根的联系。 4. 借助二次函数图象求解一元二次不等式解集。 5. 能结合图象解决含参数交点、面积类综合题型。 一、二次函数与一元二次方程关系的初步感知 我们已经知道，竖直上抛物体运动的高度h(单位:m)与运动的时间(单位:s)的关系可以近似地用公式表示，其中(单位:m)是物体被抛出时的高度，(单位:m/s)是物体被抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度坚直向上抛出，小球运动的高度h与运动的时间t之间的关系如图，那么 （1）h与t的表达式是什么? （2）小球经过多少秒落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. （1） 【方法1：由一般式求】问题解决后的感知： 通过刚才问题解决的两种方法可以感受到：二次函数图象与x轴的交点交点横坐标就等于当h=0时得到的一元二次方程的根。 思考：可是不是所有的二次函数图象都与x轴有交点。即使有交点，交点个数可能是一个也可能是两个； 并且，一元二次方程也不是一定有根，即使有根，根情况可能是两个相等根，也可能是两个不相等实数根。 那么，二次函数图象与x轴交点情况与当y=0时得到的一元二次方程的根的情况具体有哪些对应关系呢？, 【方法2：看图由交点式求】 （2） 【方法1：代数法】 【方法2：看图象】 2、 二次函数与一元二次方程关系的探索 1.新知探索——抛物线与x轴交点 _______ 二次函数 一元二次方程 _________ 二次函数 一元二次方程 _______ 二次函数 一元二次方程 ①图象与x轴有___个交点； ②交点坐标为：_____________. ①方程有___个______的实数根； ②方程的根为：_____________. ①图象与x轴有___个交点； ②交点坐标为：_____________. ①方程有___个______的实数根； ②方程的根为：_____________. ①图象与x轴________交点； ①方程______实数根； 2.新知总结1当y=0时 判别方法 ， ① ② ③ 方程=0根的情况 ①有两个不相等的实数根 ②有两个相等的实数根 ③没有 实数根 二次函数的图象与x轴/直线y=0 ①有两个交点(x1,0)，(x2,0) ②有一个交点（m,0） ③没有交点 三、新知延伸——抛物线与直线的交点 1. 根据图a回答下列问题。： （1）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与函数_________________图象交点横坐标，所以方程的根为_____________。 （2）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与函数_________________图象交点横坐标，所以方程的根为_____________。 （3）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与函数_________________图象交点横坐标，所以方程_____________实数根。 图a 图b 2. 根据图b直接写出下列问题答案： （1）一元二次方程0的根为__________________________________； （2）一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与直线_________________交点横坐标，所以方程的根为_____________。 3. 根据图a和图b直接写出下列不等式的解集： （1）不等式的解集为__________________； （2）不等式≤2的解集为__________________； （3）不等式0的解集为__________________； （4）不等式0的解集为__________________； （5）不等式0＜＜3的解集为__________________； （6）不等式的解集为_______________； 新知总结2： 1.关于方程的根 （1） 一元二次方程0若有根，则说明抛物线和___________有交点，且交点的___________就是方程的根； （2） 一元二次方程m(m为常数）若有根，则说明抛物线和直线__________有交点，且交点的横坐标就是方程的根； （3） 一元二次方程 ①若有两个不相等的实数根，则说明抛物线和直线___________有___个交点，且交点的___________就是方程的根； ②若有两个相等的实数根，则说明抛物线和直线___________有___个交点，且交点的___________就是方程的根； ③若没有的实数根，则说明抛物线和直线______________交点。 2. 关于一元二次不等式的解集 （1） 一元二次不等式（或＞0）的解集，可以通过抛物线_____________与______交点的________看出结果。 （2） 一元二次不等式（或＞m，m为常数）的解集，可以通过抛物线与直线____________交点的________看出结果。 （3） 一元二次不等式（或＞m，k、b为常数）的解集，可以通过抛物线与直线____________交点的横坐标看出结果。 3、 巩固练习 【基础类】 1. （易错题）在平面直角坐标系中，二次函数与坐标轴的交点有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2. 已知二次函数 y=x2－3x+m(m 为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两实数根是（ ） A.x1=1，x2=－1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3 3. 若二次函数图象经过（-2,0）,则关于x的方程的实数根是（ ） A. x1=0，x2=4 B. x1=－2，x2=6 C. x1=，x2= D. x1=－4，x2=0 4. 若抛物线y=x2－bx+16的顶点在x轴上，则b=______________。 5. 由抛物线与坐标轴交点情况求参数取值 （1） 抛物线（a是常数）与x轴有两个交点，则a的范围___________； （2） （易错）二次函数的图象与x轴有交点，则k范围是_________； （3） （易错）二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则m值为______； （4） （选做）二次函数的图象与x轴无交点，则m范围是_________； 注意：由抛物线与坐标轴交点情况求参数取值时，除了利用以外，要考虑二次函数成立条件是a≠0，还要看清题干要：坐标轴除了x轴以外还有y轴。 计算方法：求一元二次不等式的取值范围时，可以利用二次函数图象与x轴交点坐标来判断。 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程=0的解为_______________。 第6题图 第7题图 第8题图 7. 二次函数图象如图所示，则不等式＜0的解集是_____________。 8. 二次函数与一次函数y=x的图象如图所示，则不等式的解集为_____________________。 【提升类】 9. 已知抛物线如图所示，则关于x 的方程－8=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D. 没有实数根 第9题图 第10题图 10. 二次函数的图象如图②所示，若一元二次方程+m=0有实数根，则 m 的最大值为___________。 11. (日照中考)已知二次函数(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点 (－1,0)，对称轴为直线x=2.对于下列结论:①abc<0；②a+c=b；③多项式可因式分解为(x+1)(x-5)；④当m>－9a 时，关于x的方程=m无实数根.其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12. “如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程=0有两个不相等的实数根”，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m<n)是关于x的方程 1－(x－a)(x－6)=0的两根，且a<b,则a,b,m,n的大小关系是（ ） A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 13. 已知二次函数m. （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A(3,0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点Q是第一象限内抛物线上的一个动点,当S△ABQ=3时，求点Q的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $