5.2 排列问题-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§2排列问题 2.1 排列与排列数④2.2排列数公式 白题 基础过关 限时：40min 题组1排列问题的判断和列出 题组3排列数的性质与应用 1.(多选)(2024·江西新余高二月考)下列选项 6.已知3A=4Ag,则x等于 ( 中，属于排列问题的是 ( A.6 B.13 C.6或13D.12 A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、 7.(多选)已知Ag-2A号+01=4，则m的可能取 化学竞赛，共有多少种选法 值是 () B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一 A.0 B.1 C.2 D.3 组，共有多少种分组方案 8.(多选)(2025·江西上饶高二月考)满足不等 C.从3,5,7,9中任选两个数做指数运算，可 式A2-1-n<7(neN,n≥3)的n的值可为 以得到多少个幂 ( ) D.从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标， A.3 B.4 C.5 D.6 可以得到多少个不同的点 9.证明 2.在由1,2,3,4构成的排列a1,02,a3,a4中，满 +1)!n!(n+1),并利用这一结果 n 1 1 足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列个数是 化简： 题组2排列数公式和简单计算 品品 9 1019 3.(2025·辽宁沈阳高二月考)90×91×92×…× 100可以表示为 ( a品品 (n+1)! A.A180 B.A180 C.A16 D.A180 4.(2025·山东东营高二月考) A8+7A8 A5-A3 题组4无限制条件的排列问题 3 A. 10.北京大兴国际机场是一座 2 B.3 跨地域、超大型的国际航空 北一跑道 D号 跑 跑 综合交通枢纽，目前建有 “三纵一横”4条跑道，分别 道 5.（多选)(2024·陕西渭南高二月考)排列 叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道， 数A(n>r>1,n,r∈N)恒等于 如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机 A.A B.n(n-1)A 从以上4条跑道中安排2条不同的跑道同时 n 起飞，则不同的安排方法种数为 （) C.nrA D.nA A.16 B.12 C.9 D.8 选择性必修第一册：BS黑白题106 11.把4名司机、4名售票员分配到4班公交车17.(2025·湖南长沙雅礼中学高二期末)“杭帮 上，使每班公交车上有一名司机和一名售票 菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭 员，则不同的分配方案种数为 笋”“冰糖甲鱼”“荷叶粉蒸肉”“宋嫂鱼羹” A.Ag B.A “龙井虾仁”“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请 C.AA D.2A4 远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰 12.(2024·广东惠州高三月考)将序号分别为 糖甲鱼”和“叫化童鸡”不能接连相邻上菜， 1,2,3,4,5,6的六张参观券全部分给甲、乙 请问不同的上菜顺序种数为 等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参 A.480 B.240 观券是连号，则不同分法共有 种. C.384 D.1440 题组5特殊位置或特殊元素的排列问题 18.(2025·福建宁德高二月考)中国古乐中的 五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这 13.(2025·辽宁沈阳二中高二期末)某校要从 五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音 校广播站3名男同学和2名女同学中选出两 序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音 人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史 序有 种.（用数字作答） 讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同 题组7“定序”问题 安排方法有 19.在一次学校组织的研究性学习成果报告会 A.14种 B.16种 上，有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报，如 C.18种 D.20种 果B成果不能最先汇报，而A,C,D按先后顺 14.(多选)(2025·江西景德镇一中高二月考) 序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排 某单位安排7名员工周一到周日为期一周的 种数为 值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其 A.100 B.120 中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安 C.300 D.600 排方案种数为 ( 20.（2024·辽宁抚顺高二期末)某5位同学排 A.A6AG-AsAS B.A7-2A8+A 成一排准备照相时，又来了甲、乙、丙3位同 C.AG+AA D.AG+AAAS 学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序 15.（2024·广西桂林高二期末)用0,2,4,6,8 不变，且甲、乙2位同学互不相邻，丙同学不 这5个数字，组成没有重复数字的三位数的 站在两端，则不同的加入方法共有( 个数为 .(用数字作答) A.360种 B.144种 题组6“相邻”与“不相邻”问题 C.180种 D.192种 16.(2025·河南洛阳高二期中)甲、乙、丙、丁四 21.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业 人去听同时举行的5个讲座，每人可自由选 时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色 择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听 如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取 同一个讲座的情况种数为 下，每次取1盏，则不同取法总数为 A.125 B.100 C.80 D.60 密密密 第五章黑白题107 黑题 应用提优 限时：45min 1.（2024·湖北荆州高二期中)小明申请了一个 6.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要 电子邮箱，他打算设计密码，准备用三个数字 新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了 和三个字母组成密码，数字是从1,2,3,4,5中 58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种 选三个，字母是用x,y,2,而且字母安排在前面， 不同车票)，那么原有的车站有 数字放在后面，则他可选用的密码个数共有 A.12个 B.13个 ( C.14个 D.15个 A.Ag B.Ag 7.(多选)(2025·江西上饶高二月考)学校要安 C.A+A3 D.AA 排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第 2.(多选)(2024·江苏南通海门中学高二月考) 下列等式正确的是 1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节 ( A.(n+1)A=A 目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺 B. n! 节目，则 =(n-2)! n(n-1) A.若要求4个音乐节目排在一起，则有AA C.A04 种不同的排法 n！ B.若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前 D. A1=A 边，则有A?种不同的排法 n-m 3.(2025·江西上饶高二月考)甲、乙、丙、丁 C.若要求舞蹈节目不能排在一起，则有AA 戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中 种不同的排法 间恰好有两人的站法有 D.若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别 A.36种 B.72种 相邻演出，则有A4AA3种不同的排法 C.144种 D.288种 4.若S=A+A+A3++A0,则S的个位数是 8.满足不等 A>12(n∈N,)的n的最小 ( 值为 A.0 B.3 C.5 D.8 9.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的 5.（2025·重庆第一中学高三月考)我校田径队 五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数 有十名队员，分别记为A,B,C,D,E,F, 数字之间，这样的五位数有 个.（用数 G,H,J,K,为完成某训练任务，现将十名队员 字作答) 分成甲、乙两队.其中将A,B,C,D,E五人排成 10.（2024·河南南阳高二期末)某观光旅游团 一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左 边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求 计划在春节期间，安排游客去某地的甲、乙、 F与G不相邻，则不同的排列方法种数为 丙、丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天， 连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天， A.432 B.864 乙、丙、丁三个小镇排在相邻的三天，则不同 C.1728 D.2592 的游览顺序方案共有 种 选择性必修第一册：BS黑白题108 11.求证：A+mA+m(m-1)A子=A1(n,13.如图，在一个3×3的网格中填齐1至9中的 m∈Nt,n≥m>2). 所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心 格子的数字为5. (1)求满足第二横排、第二竖排的3个数字 之和均为15的不同的数字填写方案 种数； (2)求满足第二横排的数字从左到右依次增 大，第二竖排的数字从上到下依次增大 的不同的数字填写方案种数 第第第 篝霈 12.（2024·广东中山高二月考)话说唐僧师徒 第一横排 第二横排 5 四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖 第三横排 怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如 何站位各人有自己的想法.（结果用数值 表示)》 (1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六 个随便站吧.”请问一共有多少种站法？ 压轴挑战 (2)八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排 1.(2025·辽宁沈阳高二期末)有一 尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的 种运算a◇b,三个互异的数a,b,c 想法，一共有多少种站法？ 运算时可以有不同的运算方法， (3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在 如(a◇b)◇c,a◇(b◇c),(b◇a)◇c,b◇(a 一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪 ◇c),(b◇c)◇a,b◇(c◇a)就是其中6种 站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照 不同的运算方法.设n个互异的数的不同运 悟空的说法，请问一共有多少种站法？ 算方法共有1n种，则13= ,14= （用数字作答) 2.(2025·湖南岳阳高三月考)一只 盒子中装有4个形状大小相同的小 球，小球上标有4个不同的数字摸琢人个知最 大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球， 不放回摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从 第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于 前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来， 摸球结束，否则继续摸球问摸球人最后保存下 来是数字最大的球的概率是 进阶突破拔高练PO9 第五章黑白题1097.B解析：当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法 当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外 剩余2人有2种，此时有2×2×2=8（种）方法，共有6+8=14（种），故 选B. 8.C解析：由题得相邻两块实验田分成1和2,2和3,3和4,4和5共 四类：第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择， 剩下3块实验田种植水稻，分别有10,9,8种选择，所以共计7×6× 10×9×8=30240(种)：第二、三、四类和第一类种数相同.综上总计有 30240×4=120960(种)方法.故选C. 9.18解析：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人 中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学 生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下 围棋的2人中选.互相搭配，可得四类不同的选法： 第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从 2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2=6（种）选法； 第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从 2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2= 6(种)选法： 第三类：从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从 2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2= 4(种)选法： 第四类：2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围 棋比赛，有2种选法. 所以共有6+6+4+2=18（种）不同的选法， 黑题应用提优 1.C解析：小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法，故共 有3×5×5=75（种）选课方法.故选C. 2.B解析：0到9这十个数字是3的倍数的有0,3,6,9，故它敲击两次 得到的两个数字恰好都是3的倍数有4×4=16（种）情况，它敲击两 次得到的两个数字有10×10=100（种）情况，故它敲击两次得到的两 个数字恰好都是3的倍数的概率为，16 10025故选B, 4 3.BCD解析：两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费 3元，此时两人下地铁的方案有3×3=9种，同理小明花费3元，小华 花费2元时，两人下地铁的方案也是9（种），所以共有18种，A不正 确，B正确. 两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人 下地铁的方案有3×3=9（种）：小明花费3元，小华花费3元，此时两 人下地铁的方案有3×3=9（种）；小明花费4元，小华花费2元，此时 两人下地铁的方案有3×3=9（种），共有27种，C正确， 小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两 人下地铁的方案有9种：小明和小华均花费3元，小明比小华先下地 铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确.故选BCD 4.A解析：当中间数为3时，有2×3=6（个）；当中间数为4时，有3× 4=12(个).故共有6+12=18（个）.故选A. 5.C解析：展开后的项数为2×3×n=60,所以n=10.故选C. 6.B解析：如图，设图中的六个区域分别为A,B,C,D,E,F, E C 先涂B,有3种选择，再涂C,有2种选择，则A,D,E,F均有2种选 择，所以不同的涂色方法有3×2×2×2×2×2=96（种）.故选B. 四方法总结 求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析， (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法 计数原理分析. (3)对于空间涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题， 7.13解析：若甲是特等奖，则乙可以是剩余四种中的一种，则丙、丁、 戊情况被唯一确定，此时共有4种情况，若甲不是特等奖，则甲可以 是剩余3种奖中的一种，此时乙也有3种情况，则丙、丁、戊情况被唯 一确定，此时共有3×3=9（种）情况，所有可能的情况有4+9= 13(种).故答案为13. 选择性必修第一册·BS 8.16解析：因为2024=23×11×23，所以正整数2024有(3+1)×(1+ 1)×(1+1)=16(个)不同的正因数，故答案为16. 压轴挑战 60解析：根据题意分3种情况： ①甲第一次传给其余3人，有3种情况，第二次将手帕传给了甲，第三 次甲再传给其余3人，有3种情况，第四次传给了除甲以外的2人，有 2种情况，第五次传给甲，此时有3×3×2=18（种）情况； ②甲第一次传给其余3人，有3种情况，第二次将手帕传给了除甲以外 的2人，有2种情况，第三次传给了甲，第四次传给了其余3人，有3种 情况，第五次传给甲，此时有3×3×2=18（种）情况； ③甲第一次传给其余3人，有3种情况，第二次将手帕传给了除甲以外 的2人，有2种情况，第三次再传给了除甲以外的2人，有2种情况，第 四次仍然传给了除甲以外的2人，有2种情况，第五次传给甲，此时有 3×2×2×2=24(种)情况， 综上，共有18+18+24=60（种）不同的传递方法.故答案为60. §2排列问题 2.1排列与排列数+2.2排列数公式 白题 基础过关 1.ACD解析：对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化 学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确：对于B项：有 十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无 先后顺序，不属于排列问题，故B项错误：对于C项：从3,5,7,9中任 取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正 确：对于D项：从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多 少个点属于排列问题，故D项正确.故选ACD. 四方法总结 判断一个问题是否为排列问题的方法： (1)首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m个不同 的元素，否则不是排列问题 (2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是 排列，无序则不是排列，而检验它是否有序的依据是变换元素的位 置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序 2.5解析：首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图 进行筛选.满足a1>a2的树形图如图①： .2-3 2-4 3-2 2-13-4 4-2 -1-3 4-3 1-4 3-1 41 1-2 2-1 ① 其次满足a3>a2的树形图如图②： 2-4 2-3 213-4 3 14-2 3-2 4-3 2-4-1 23-1 ② 再满足a3>a4的排列有2143,3142,3241,4132,4231.共5个. 3.B解析：由排列数公式Am=n·(n-1)·(n-2)·…·（n-m+1) 可知90×91×92×…×100=A00.故选B. 4.B解析 2Ag+7A2x8×7x6x5×4+7x8×7X6x5=3.故选B. Ag-A89×8×7x6×5-8×7x6×5×4 5D解折：(m7（m>>1a,reN,)斤A=片 n! '.(n-1)！ (n-1-+1!n(n-i≠(n-,故A错误：n(n-1)A3= (n-1)! n！ am-）‘a-2+2-n(a-1·a2-am-:a-2 (n-2)！ (n-r)！ (n-r)）！ a放B正确：ww·引故c错 (n-1)！_7·n!2 误=““改D正确故 选BD. 9！ 6,A解析：由题意得3x881三4×0化简可得3=4X 黑白题070 0-9-可解得=B或6因为{8g,所以≤8且xeN， 9 x-1≤9,1 得x=6.故选A 7.CD解析：因为A-2A号+0！=4，所以Ag-2 ×6+1=4,所以A= 6,其中m∈N,m≤3，而Ag=1,A}=3,A3=A3=6,所以m的值可能 是2或3.故选CD. 8.AB解析：由A21-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即n2-4n-5<0,解得 -1<n<5,又neN,n≥3，所以n=3或n=4.故选AB. 9.证明：由n！=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1可得(n+1)！=(n+1)×n!, n(n+1)-1n+1 1 则n+(n+)1(+1)！(n+1)n(n+ 1,2,3, 91111 (1)解：21十31+4…+10121231+…+9101110 23 1111 （2)解：2+++…+a+2+23到+…+7 n! 1 1 (n+10=l(n+1)万 10.B解析：从四条不同的跑道中选两条供两架不同飞机使用， 有A好=12（种）不同的安排方法.故选B. 11.C解析：安排4名司机有A4种方案，安排4名售票员有A4种方 案.由分步乘法计数原理知共有A4A4种方案.故选C. 12.120解析：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有5种 分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有A4=24(种)分法，所以 一共有5×24=120（种）分法.故答案为120. 13.A解析：从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的 参观路线导引员和校史讲解员，共有A?=20(种)情况，若从3名男 生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共 有A子=6（种）情况，故至少有1名女同学被选中的不同安排方法 有20-6=14（种）.故选A 14.ABD解析：方法一（直接法）：若乙安排在周一，则有A种不同的 排法；若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任 何位置，有A;A:A种不同的排法.故所有符合题意的方法共有 (A+A5A5A)种，所以选项D正确， 方法二（间接法）：①不管条件限制共有A好种不同的排法.当甲安排 在周一或乙安排在周三时，有2A:种不同的排法；当甲安排在周 且乙安排在周三时，有A种排法.故所有符合题意的方法共有 (A7-2A8+A)种，所以选项B正确. ②从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有AA:种不同 的排法，其中周三安排乙共有A5A种排法，是不符合题意的，故所 有符合题意的方法共有(A6A。-AA)种，所以选项A正确.故 选ABD. 15.48解析：先排首位，可在2,4,6,8中选择一个数排，然后在剩余四 个数中选择两个数排十位和个位，由分步乘法计数原理可知，没有 重复数字的三位数的个数为4A2=4×12=48.故答案为48. 16.D解析：先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从 5个讲座中选取3个讲座分配给这三个元素即可，所以，恰好只有 甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为A=60.故选D, 17.A解析：根据题意，先排列“糟烩鞭笋”“荷叶粉蒸肉”“宋嫂鱼羹” “龙井虾仁”这4道菜，共有A4=24(种)方法，4道菜排列后，有5个 空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化童鸡”去插空，有A=20(种)方法 所以由分步计数原理可知共有24×20=480（种）不同的上菜顺序.故 选A 18.84解析：这五个音阶的全排列种数为A=5×4×3×2×1=120,若 商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有A·A=36(种)排法，故 由间接法可知，满足题意的排法数有120-36=84（种）.故答案为84， 四方法总结 对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”“插 空法”： (1)“相邻问题”用捆绑法，即在解决要求某几个元素相邻的问题时， 先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个大元素”进 行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题方法」 (2)“不相邻问题”用插空法，即在解决要求某几个元素不相邻的问题 时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的 间隙或两端位置，从而将问题解决的方法 参考答案 19.A解析：不考虑限制条件共有A?种安排方法，B最先汇报共有 A?种安排方法，如果B不能最先汇报，而A,C,D按先后顺序汇报 8-A3 (不一定相邻)有 =100(种)安排方法.故选A A 四重难点拨 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法（先不考虑顺序全排列，再除以顺序种类）， 20.D解析：分两种情况：当丙不在甲、乙中间时，先加入甲，有A:种 方法，再加入乙，有A5种方法，最后加入丙，有A6种方法，此时不 同的加入方法共有A站AA站=180（种）；当丙在甲、乙中间时，共 有A2A站=12（种）方法.故不同的加入方法共有180+12=192（种）. 故选D. 21.90解析：由题意，对6盏不同的花灯进行取下，先对6盏不同的花 灯进行全排列，共有A。种方法，因为每次只取一盏，而且只能从下 往上取，所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故共有 取法总数为 =90.故答案为90. 3AZAZ 黑题应用提优 1.D解析：由题知，先排后三个数字的位置，即从5个数字中选取3个 进行排列，有A?种，再把3个字母安排在前三个位置，有A种，因为 是分步进行的，所以共有AA?个可选用的密码故选D. n！ (n+1)I 2.ABD解析：对于A,（n+1)Am=（n+1)· (n-m)！(n-m)! [(n+1)-(m+1)]A,放A正确； (n+1)! n! 对于Bn(-1) (n-1)(n-2)×…×3×2×1 =(n-2)!,故B正确； n-1 1 对于C,A=m1,n(m-m)显然A≠A ,故C错误； 1 n！ 对于D, 1A1= -m(n-m-l)!(n-m!A,故D正确故 n! n-m 选ABD. 3.C解析：从丙、丁、戊、己4人中选择2人站在甲、乙中间，将4人进 行捆绑，共有AA?种不同的站法：再将这4人和剩下的2人看作 3个整体进行全排列，共有A种不同的站法；由分步计数原理可知， 共有A3×A2×A号=144（种）不同的站法.故选C. 4.B解析：A=1,A3=2,A号=6，A4=24,从A开始一直到A10的个 位数都是0.所以，要求S的个位数，则其实只要将前面四个数加起 来，即1+2+6+24=33.所以S的个位数就是3.故选B. 5.C解析：甲队，先用捆绑法，将A与B捆绑有A=2种排法，将A与 A B看作一个整体，再用除序法得有 =12(种)排法，利用计数原理 A 可知，一共有2×12=24（种）排法；乙队，利用插空法得有A3A= 72(种)排法；按照计数原理可知，一共有24×72=1728（种）不同的 排法.故选C. 6.C解析：由题意得An-A2=58,即n(2m-1+n)=58=2×29.若 n=2,则2m-1+n=29,m=14:若n=29,则2m-1+n=2,m=-13,不合 题意，舍去；若n=58,则2m-1+n=1,m=-28,不合题意，舍去.所以原 有14个车站，现有16个车站.故选C. 7,BC解析：对A,先将4个音乐节目全排列，有A4种排法，再把音乐 节目捆绑和舞蹈、曲艺看作6个节目，进行全排列，有A?种排法，所 以共有A4A8种排法，A错误； 对B,先从9个位置中选7个位置排好音乐和舞蹈节目，有A?种排 法，再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有A好种排法，B正确； 对C,先排音乐和曲艺节目，有A。种排法，再把3个舞蹈节目排在空 位中，有A种排法，所以共有AA号种排法，C正确； 对D,先把它们各自排列并捆绑，各自有A,A号，A好种排法，再把它 们看做三个元素进行全排列，有A3种排法，所以共有A4AA3A种 排法，D错误.故选BC. 8.10解析：由排列数公式得！(n-5) >12,即(n-5)(n-6)>12,解 (n-7)！n! 得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9.又n∈N,所以n的最小值为10. 9.28解析：1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看成一个整体，和另外 两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有AA?=12(个)； 黑白题071 1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，0不能放在首位，首位有2种排 法，共有2×2A3=8(个)； 1和3两个奇数夹着4时，也有同样多的结果，共有2×2A号=8（个）. 根据分类加法计数原理得到这样的五位数共有12+8+8=28（个）.故 答案为28. 10.72解析：分步：第一步，把乙、丙、丁三个小镇捆绑，看成一个元素， 三个小镇的游览顺序有A=6(种)方案；第二步，将该元素与其他 三个小镇作为4个元素，依次对4个游览位置进行安排，中间2个 位置选一个作为小镇甲的游览有2种方案：第三步，剩余三个元素 进行安排有A?=6(种)方案.根据分步乘法计数原理可知，不同的 游览顺序方案共有6×2×6=72（种）.故答案为72. 11.证明：左边 n! (n-1)! (n-1)! (n-m)！+ +m(m-1) (n-m)! (n-m+1)! _nl(n-m+l)tm(n-l)！(n-m+1)+m(m-1)(n-l)！ (n-m+1)！ _(n-1)！[n(n-m+1)+m(n-m+1)+m(m-l)] (n-m+1)! _（n-1)！(n2+)-(n+1)l （mt!(-m+)A1=右边，原等式成立. 12.解：(1)六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的站法共 有A6=720(种). (2)因为总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，第一步 在中间四个位置上排好两个妖怪，故有A种站法；第二步在剩余四 个位置排其他四个人，故有A:种站法；利用分步乘法计数原理可得 共有A4A2=288(种)站法. (3)因为师傅和悟空要站一起，八戒要站在两个妖怪中间，沙僧不 管，所以应先按照1,2,3分成三组并排列，故有A种站法， 师傅和悟空站在一起共有A子种站法，八戒站在两只妖怪中间共 有A子种站法，故共有AA2A2=24(种)站法， 13.解：(1)要使第二横排和第二竖排的3个数字之和均为15，则第二 横排或第二竖排的其他2个数字之和必然为10，则要从1和9,2和 8,3和7,4和6这四个组合中选出两个组合填写，首先从四个组合 中选两个组合进行排列，有A?种；再对第二横排和第二竖排的两个 数字分别进行排列，有AA子种：最后将其余四个数全排列，有 A4种；按照分步乘法原理可得，一共有AA2A2A4=1152(种)填法 (2)先从1,2,3,4这四个数字中选2个数字分别排到5的左边和上 边，有A种：再从6,7,8,9这四个数字中选2个数字分别排到5的 右边和下边，有A种；最后将其余四个数字排到剩下的四个位置， 有A4种；按照分步乘法原理可得，一共有AA?A4=3456(种) 填法。 压轴挑战 1.12120解析：此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择 (括号内至少两个数) 首先12=2,13=2xA=12(对一个排列，括号只有2种乘法)， 对于14，考查一个给定的排列如a◇b◇c◇d,共有如下几种此种运算 方法：a◇[(b◇c)◇d],a◇[b◇(c◇d)],[(a◇b)◇c]◇d,[a◇ (b◇c)]◇d,(a◇b)◇(c◇d),共5种相乘方法， 又4个数的排列有A4=24,所以14=5×24=120.故答案为12；120. 5 ·解析：标有数字的4个球排序共有A4=24(种)情况 要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况： ①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置， 有A号=6（种）情况. ②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或 第2次被摸出， 其他的球在那次旗出任意，有2号=4（种）竹况故所求概率为 放答案为品 5 §3组合问题 3.1组合+3.2组合数及其性质 白题 基础过关 1.AC解析：选项A.从4名志愿者中选出2人参加志愿服务工作，只 需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题. 选项B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个 三位数，选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序，组成三位数， 选择性必修第一册·BS 故是排列问题 选项C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式，只需 选出3人即可，无排序要求，故是组合问题 选项D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委 员，先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题 所以B,D项均为排列问题，A,C项是组合问题故选AC. 2.排列组合解析：对数式1og。b的值，与a,b取值顺序有关，属于排 列问题；两个数a,b相乘，满足乘法交换律ab=ba,即ab的值与a,b 取值顺序无关，属于组合问题故答案为排列；组合. 四方法总结 判断一个问题是排列问题还是组合问题的方法： 区分排列与组合的关健是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某 两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元 素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取 元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关， 3D解析：令a=32,则c=xc时= 3 -≠C?,故A错误；(n+ 1)·(r+1)C=4×3×C≠C好，故B错误；rC=3×2×C2≠C3,故 c错误：c=‘a-可11（ (n-1)! n！ =Cn,故D正确， 故选D. 0≤9-2n≤2n, 4.A解析：由题中组合数的形式可知 10-n≥2n, 19-2n∈N, →n=3,所以 2n,10-n∈N C2m+C0-n=Cg+C=27.故选A. 9 5.B解析：由C分3=c话，得m-3=g或m-3+兮-13，解得m=之（舍 去)或m=12, 则C3+C+C号+…+C2=C3+C号+C2+C好+…+C品2-1=C4+C经+C号+…+ C2-1=…=C3-1=285.故选B. 6.C解析：由C=28,得C21=28,即n+1)n=28,整理得m2+n-56= 0,解得n=7或n=-8(舍去).故选C. 7.BC解析：根据题意，对于C8-1>3Cg,有0≤m-1≤8且0≤m≤8，则 81 有1≤m≤8，若c91>3C好，则有m=1(9-m>3× 81 ,、，,变形可得m>27-3m,解得m>4综上，4<m≤8， 则m=7或8.故选BC. 8.21 解桥：由-=乙，得m(5m1_m(6-m CC 10C7 5！ 61 7xm!（7-m）',即m!(5-m）1-m！x(6-)x(5-m)1 10×7 51 6×5! 7m!×(7m)6-m）(5-m)1,化简得1-6-m.7-m)(6-m）,整理 10×7×6x5! 6 10×6 (0≤m≤6， 得m2-23m+42=0,解得m=2或m=21,因为{0≤m≤7，→0≤m≤5， (0≤m≤5 所以m=2,所以C9=C吗=7X6=21.故答案为21. 2 9.4解析：由题意得2+x(x-1)(x-2)=24(x-1)(x+1 ,x≥3，整理得 x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,可得x=2或x=4,又x≥3，故x=4.故答 案为4. 0.B解析：根据题意可得小沉的选择种数为C号=X=10.故选B. 11.10解析：分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红 球，共C?种排法；第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共C种 排法，故将这5只球排成一列，有C·C=10(种)不同的方法.故答 案为10. 12.B解析：依题意，会讲英文的志愿者人数与不会讲英文的志愿者人 数之比为120：40=3：1，则应选取的会讲英文的志愿者为40× 子=30（名），选取的不会讲英文的志愿者为40x片=10（名），又甲 3 志愿者必须要参加，则需要从剩余的120-1=119（名）会讲英文的 志愿者中再抽取30-1=29（名），所以不同的抽样结果共有 黑白题072