第1章 1.4.2 第1课时 距离问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究距离问题，系统梳理点到直线、点到平面、平行直线及平行平面的距离求解方法。以向量投影、法向量为基础，通过问题引导构建距离公式，结合长方体、正方体典例及延伸探究形成学习支架。 以立交桥设计情境引入，激发探究兴趣，体现数学眼光。通过公式推导培养逻辑推理能力，展现数学思维。利用空间直角坐标系和向量符号表达距离关系，落实数学语言。典例分层递进，课中助教师引导转化思想，课后练习题助力学生查漏补缺。

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 学习目标　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点)2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 导语 立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 一、点到直线的距离 问题1　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示　如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为 PQ==. 知识梳理　点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 典例　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 解　方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)， C(0，3，0)， ∴=(-2，0，2)=(-2，3，0)， ∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4， 取a==(-2，0，2)， u== ∴a·u= ∴O1到直线AC的距离 d==. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D， 设D(x，y，0)， 则=(x，y，-2)=(x-2，y，0). ∵=(-2，3，0)⊥∥ ∴解得 ∴D ∴||==. 即O1到直线AC的距离为. 延伸探究1　在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，3，0)， M(1，0，2)，N ∴=(-2，3，0)== ∴∥ 又MN与AC不重合， ∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.直线AC的单位方向向量u===(1，0，-2)， ∴点M到直线AC的距离 d=== 所以直线MN与AC的距离为. 反思感悟　(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 二、点、直线、平面到平面的距离 问题2　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？ 提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为借助数量积运算可知||=向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=. 知识梳理　点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 注意点： 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 延伸探究2　(课本例6)　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离. 解　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，EF 所以=(0，1，0)=(-1，1，-1)， = = ==. (1)取a==(0，1，0)，u==(-1，1，-1)，则a2=1，a·u=. 所以，点B到直线AC1的距离为==. (2)因为==所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1. 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. 设平面AEC1的法向量为n=(x，y，z)， 则 所以所以 取z=1，则x=1，y=2. 所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量. 又因为=所以点F到平面AEC1的距离为 ==. 即直线FC到平面AEC1的距离为. 延伸探究2　在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，O1(0，0，2)， EF(1，3，0)， ∴== 设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则即 取y=2，则x=3，z=∴n= 又=(0，0，2)， ∴点O到平面O1EF的距离为 ==. 延伸探究3　在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 易知MN∥AC，AC∥EF， ∴MN∥EF， 又MN⊄平面O1EF，EF⊂平面O1EF， ∴MN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离即所求距离. 由延伸探究2知，平面O1EF的一个法向量为n==(-1，0，0)， ∴点M到平面O1EF的距离为 == 故直线MN到平面O1EF的距离为. 延伸探究4　在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(1，0，2)，N B(2，3，0)， ∴==(-1，-3，2)， 设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)， 则即 取b=2，则a=3，c= ∴m==n， ∴平面BMN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等， 由延伸探究3知，所求距离为. 反思感悟　(1)用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础. 1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B.1 C. D.2 答案　A 解析　∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)， =(1，0，0)=(-1，2，-2)， ∴点A到直线BC的距离为 d= ==. 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)， B(0，1，0)，C(0，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)， 则点P到平面ABC的距离为d==. 3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)， C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以 =(1，0，-1)， =(0，1，-1)， =(-1，0，0)， 设平面 A1C1D 的一个法向量为m=(x，y，1)， 则 即 解得 故m=(1，1，1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离为　　　　. 答案　 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，所以=(-1，1，0)=(-1，0，1)=(0，0，1)， 设n=(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则令x=1，则n=(1，1，1). 直线A1C1到平面ACD1的距离即点A1到平面ACD1的距离，故d===. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A.a B. C. D. 答案　D 解析　方法一　连接BD，AC交于点O(图略)， 则D1O==为所求. 方法二　如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)， 取a==(-a，0，2a)， u== 则点D1到直线AC的距离为 ==. 2.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)=(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)， ∴两平面间的距离d===. 3.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A.5 B.8 C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，12，0)，D1(0，0，5). 设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0). 设平面A1BCD1的法向量为n=(a，b，c)， 由n⊥n⊥ 得n·=(a，b，c)·(-x，0，0)=-ax=0， n·=(a，b，c)·(0，-12，5)=-12b+5c=0， 所以a=0，b=c， 所以可取n=(0，5，12). 又=(0，0，-5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为=. 因为B1C1∥平面A1BCD1， 所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以D1为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2). =(0，-1，2)=(-1，0，2)， 设平面B1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=1，得n=(2，2，1). 又∵=(-2，0，0)， ∴点C1到平面B1EF的距离 d===. 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，G为线段DD1上的点，且DG=DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则E FG D1(0，0，1)，A1(1，0，1)， ∴=(-1，0，0)= =(-1，0，0)，则=∴∥. 又∵EF⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH， ∴A1D1∥平面EFGH. ∴A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离. 设平面EFGH的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=6，则y=-1，∴n=(0，-1，6)， 又∵= ∴点D1到平面EFGH的距离 d== ∴直线A1D1到平面EFGH的距离为. 6.(多选)已知平面α的一个法向量为n=(-1，-2，2)，点A(x2，2x+1，2)为平面α内一点，若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A.2 B.1 C.-3 D.-6 答案　AD 解析　因为=(0，1，2)-(x2，2x+1，2)=(-x2，-2x，0)，n=(-1，-2，2)，所以·n=x2+4x，|n|==3，所以点P到平面α的距离为d===4，解得x=2或x=-6. 7.(5分)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，则P到BD的距离为　　　　. 答案　 解析　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(3，0，0)， D(0，4，0)， 所以=(3，0，-1)， =(-3，4，0)， 取a==(3，0，-1)， u== 则a2=10，a·u=- 所以点P到BD的距离为==. 8.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为　　　　　　. 答案　 解析　如图建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，EB1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以==(-1，-1，0)=设平面EFD1B1的法向量为n=(x，y，z)， 则 令z=1，则n=(-2，2，1)，因为BD∥B1D1，BD⊄平面EFD1B1，B1D1⊂平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d===. 9.(10分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，M为BB1的中点，N为BC的中点. (1)求点M到直线AC1的距离；(4分) (2)求点N到平面MA1C1的距离.(6分) 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)， M(2，0，1)，C1(0，2，2)， 直线AC1的一个单位方向向量为u= =(2，0，1)， 故点M到直线AC1的距离 d===. (2)设平面MA1C1的法向量为n=(x，y，z)， 则即 取x=1，得z=2， 故n=(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量， 因为N(1，1，0)， 所以=(-1，1，-1)， 故N到平面MA1C1的距离 d===. 10.(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1)求直线FC1到直线AE的距离；(6分) (2)求直线FC1到平面AB1E的距离.(6分) 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1，1，1)，E FC1(0，1，1)， A(1，0，0). (1)因为= = 所以∥ 即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离. 取u== 又=.所以=·u= 所以直线FC1到直线AE的距离为 =. (2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离. =(1，0，0)=(0，1，1)，设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，则 即取z=2，可得n=(1，-2，2)， 所以C1到平面AB1E的距离为= 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 11.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足=++则P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系可作为x，y，z轴方向上的单位向量， 因为=++ 所以==(1，0，0)， = 所以P点到AB的距离 d===. 12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M=λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　) A.λ B. C.λ D. 答案　D 解析　以D为原点，DA所在直线为x轴， DC所在直线为y轴， DD1所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系(图略)， 则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， =(-2，0，1)=(0，2，0)=(0，λ，1). 设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则 取x=1，得n=(1，0，2)， 所以点M到平面D1EF的距离为 d===. 因为N为EM的中点， 所以N到平面D1EF的距离为. 13.(5分)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，如图.已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　　　　. 答案　 解析　以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 如图，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，由M为PC的中点可得M(1，1，1). =(1，1，1)， =(2，0，0)=(2，0，2). 设n=(x，y，z)为平面MAB的法向量， 则 即 令z=-1，可得n=(0，1，-1)，点P到平面MAB的距离为d==. 14.(5分)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为　　　　. 答案　 解析　如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB， 显然射线AB，Ay，AA1两两垂直， 以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C1 所以=(1，0，1)= 因为动点P在线段AB1上， 则令=t=(t，0，t)，0≤t≤1， 即有点P(t，0，t)，所以=(t-1，0，t)， 则||2=(t-1)2+t2=2t2-2t+1， 从而=(t+1)， 因此点P到直线BC1的距离 d= = ==≥ 当且仅当t=时取等号， 所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为. 15.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　该几何体的直观图如图所示， 分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO， ∵PO=1，OM=2， PM=== ∴OP2+OM2=PM2， ∴OP⊥OM， 又∵PO⊥AD， ∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则A(1，0，0)，B(1，2，0)， C(-1，2，0)，D(-1，0，0)， P(0，0，1)， =(1，2，-1)=(-1，2，-1)， 设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N(0，1，a)， ∵PN=NA， ∴(-1)2+(1-a)2=1+(-1)2+(-a)2， 解得a=0. ∴=(0，-1，1)， 设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)， 则⇒ 取z=2，则n=(0，1，2)， 则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为 d====. 16.(12分)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=2，侧棱AA1=2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？ 解　假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2，0，0)，A1(2，0，2)， D(0，0，1)，B(0，2，0)， =(0，0，2)=(2，-2，2). 设=λλ∈(0，1)， 则E(2λ，2(1-λ)，2λ)， =(-2，0，1)， =(2(λ-1)，2(1-λ)，2λ)， 设n=(x，y，z)为平面AED的法向量， 则 即 取x=1，则y=z=2， 即n=为平面AED的一个法向量. 因为点A1到平面AED的距离 d== 所以= 又λ∈(0，1)，所以λ=. 故存在点E，且当点E为A1B的中点时， 点A1到平面AED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $