模块综合试卷（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

这是一份高中数学模块综合试卷课件，包含19道题，涵盖圆、抛物线、椭圆、空间几何等知识点，题型有选择、填空、解答，解答过程详细且融入2024年多地真题，适合同步教学使用。 资料特色显著，通过空间几何题培养空间观念（数学眼光），一题多解（如第19题四种方法）训练逻辑推理（数学思维），规范符号表达强化数学语言，能帮助学生巩固知识提升能力，为教师提供丰富教学素材。高中学生尤其高三学生可通过综合题型和真题适应升学考试要求。

模块综合试卷 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A A D C C 题号 9 10 11 12 13 　14 答案 BC AD BCD ±1 　20 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， ∴圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0. 18 19 17 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)可得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5， ∴圆心为C(2，1)，半径r= ∵l被圆C截得的弦长为4， ∴圆心到直线l的距离d==1， 当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=1， 圆心到直线l的距离为1，符合题意； 18 19 17 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y+1=k(x-1)， 即kx-y-k-1=0. =1，解得k=. ∴直线l的方程为3x-4y-7=0. ∴若经过点P(1，-1)的直线l被圆C所截得的弦长为4，则直线l的方程为x=1或3x-4y-7=0. 18 19 17 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- 所以-=-解得p=1， 所以抛物线的方程为y2=2x. 18 19 17 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)如图， 设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y=k(x-2)代入y2=2x， 消去y并整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0， x1+x2==x1x2=4. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 |MN|=|x1-x2| = ==2 化简得(1+k2)(16k2+4)=40k4， 解得k2=1，故k=±1. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)圆C：(x-4)2+(y-2)2=20， 则圆心C(4，2)，半径r=2 因为直线l与圆C相切， 所以圆心C到直线l的距离d===2 即2k2+k-3=0， 即(k-1)(2k+3)=0， 解得k=1或k=-. 18 19 17 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若直线l与圆C交于A，B两点， 则圆心C到直线l的距离d=<2 即2k2+k-3<0，解得-<k<1. 过点D(3，3)的直线l'垂直平分弦AB，则直线l'必经过圆心C， 直线l'=-1，直线l'的方程为y-3=-(x-3)， 即x+y-6=0， 18 19 17 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又l⊥l'，且直线l： (k+1)x-y+2k+2=0， 则(-1)(k+1)=-1，解得k=0，符合题意， 所以直线l的方程为x-y+2=0， 联立直线l与l'的方程得 所以存在符合题意的直线l'，直线l'与直线l的交点坐标为(2，4). 18 19 17 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)如图，取PD的中点G，连接FG，CG， 因为F为PE的中点，所以FG=DE=1，FG∥DE， 又BC=1，AD∥BC， 所以FG=BC，FG∥BC， 所以四边形FGCB为平行四边形，所以BF∥CG， 又BF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD， 所以BF∥平面PCD. 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD， 所以AB⊥PE， 又PE⊥AD，AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD. 连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)， A(0，-1，0)，B(1，-1，0)， =(1，0，0)=(0，1，2)， =(1，0，-2)=(0，2，-2). 设平面PAB的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 可取n1=(0，-2，1). 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设平面PCD的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 可取n2=(2，1，1). 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ=|cos〈n1，n2〉|==. 所以平面PAB与平面PCD. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1 所以C的离心率e===. 18 19 17 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)方法一　kAP==- 则直线AP的方程为y=-x+3， 即x+2y-6=0， 因为|AP|== S△ABP=9，所以点B到直线AP的距离d== 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设B(x0，y0)， 即B(0，-3)或B 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当B(0，-3)时，kl=直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当Bkl=直线l的方程为y=x， 即x-2y=0. 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 方法二　同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d= 设B(2cos θ，3sin θ)， 其中θ∈[0，2π)， = 联立cos2θ+sin2θ=1， 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 即B(0，-3以下同方法一. 方法三　当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)， S△PAB=×6×3=9，符合题意， 此时kl=直线l的方程为y=x-3， 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 即3x-2y-6=0； 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0， 则(4k2+3)x2+24kx=0， 其中k≠kAP，即k≠- 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 解得x=0(舍去)或x=k≠0，k≠- 当x=y= 则B 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 点B到直线AP的距离d= 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 =解得k= 此时B则kl= 直线l的方程为y=x， 即x-2y=0， 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 方法四　当l的斜率不存在时， l：x=3，B|PB|=3，点A到直线PB的距离d=3， 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件； 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y=k(x-3)+ 设l与y轴的交点为Q， 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 令x=0，则Q 则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0， 其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0， 即4k2+12k+9>0， 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 且k≠kAP，即k≠-k≠- 则3xB=xB= 则S△ABP=|AQ||xP-xB|==9， 解得k=k=均满足题意. 则直线l的方程为y=x或y=x-3， 即x-2y=0或3x-2y-6=0. 一、单项选择题 1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点.设=a，=b，=c，用基底{a，b，c}表示向量，则等于 A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c √ =+=++=a+b+c. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 2.直线l过点(-3，0)，且与直线y=2x-3垂直，则直线l的方程为 A.y=-(x-3) B.y=-(x+3) C.y=(x-3) D.y=(x+3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为直线y=2x-3的斜率为2， 所以直线l的斜率为-. 又直线l过点(-3，0)， 故所求直线的方程为y=-(x+3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 3.若方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圆，则实数m的取值范围为 A.(-2，1) B. C.(-∞，0)∪(1，+∞) D.(0，1) √ 由方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圆，得02+(-2)2-4(m2-m+1)>0， 解得0<m<1. 所以实数m的取值范围为(0，1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 4.椭圆E的一条弦AB经过左焦点F1，右焦点记为F2.若△ABF2的周长为8，且弦长|AB|的最小值为3，则椭圆E的焦距等于 A.2 B.1 C.2 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由△ABF2的周长为8， 可得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8，即a=2， 由弦长|AB|的最小值为3，即通径长=3， 所以b2=3， 所以c2=a2-b2=1，即c=1， 所以椭圆E的焦距为2. 解析 18 19 17 5.过点P(-2，4)作圆C：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为 A.4 B.2 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，知点P在圆C上， ∴切线l的斜率k=-==， ∴切线l的方程为y-4=(x+2)， 即4x-3y+20=0. 又直线m与切线l平行， ∴直线m的方程为4x-3y=0. 故切线l与直线m间的距离d==4. 解析 18 19 17 6.如图为一个抛物线形拱桥，水面经过抛物线的焦点且宽度为36 m，一艘宽12 m的货船欲经过桥洞，则船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过 A.6 m B.6.5 m C.7.5 m D.8 m √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 根据题意，以拱桥的拱顶为坐标原点画出抛物线如图所示， 设宽度为36 m时与抛物线的交点分别为A，B， 当宽度为12 m时与抛物线的交点分别为C，D. 由抛物线性质可知2p=36，则抛物线方程为x2=-36y，则A(18，-9)， 当宽度为12 m时，设C(6，a)， 代入抛物线方程可得62=-36a，解得a=-1， 所以直线AB与直线CD的距离为h=(-1)-(-9)=8， 即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8 m. 解析 7.(2024·上海)定义一个集合Ω，其元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1+λ2+λ3=0(其中O为坐标原点).已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1)∉Ω的充分条件是 A.(0，0，0)∈Ω B.(-1，0，0)∈Ω C.(0，1，0)∈Ω D.(0，0，-1)∈Ω 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3， 使得λ1+λ2+λ3=0， 所以共面. 只要点(1，0，0)，(0，0，1)以及再选取的点对应的向量共面，就有 (0，0，1)∈Ω， 否则就能得到(0，0，1)∉Ω. 对于选项A，(0，0，0)对应的向量是零向量，零向量与任意向量共线，故三点对应的向量共面，不能推出(0，0，1)∉Ω，故A错误； 解析 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项B，若(1，0，0)，(-1，0，0)∈Ω，且(1，0，0)，(-1，0，0)两点对应的向量共线，所以(0，0，1)可以属于Ω，故B错误； 对于选项C，显然(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)三点对应的向量不共面，故可以推出(0，0，1)∉Ω，故C正确； 对于选项D，(0，0，-1)与(0，0，1)两点对应的向量共线，(1，0，0)，(0，0，-1)，(0，0，1)三点对应的向量共面，故不能推出(0，0，1)∉Ω，故D错误. 解析 18 19 17 8.已知曲线C：|y|=x2+1与直线l：y=kx+b，那么下列结论正确的是 A.当k=1时，对于任意的b∈R，曲线C与直线l恰有两个公共点 B.当k=1时，存在b∈R，曲线C与直线l恰有三个公共点 C.当k=2时，对于任意的b∈R，曲线C与直线l恰有两个公共点 D.当k=2时，存在b∈R，曲线C与直线l恰有三个公共点 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 曲线C：|y|=x2+1的图象如图所示， 若k=1，当直线l与曲线上半部分相切时， 由整理得x2-x+1-b=0， 由Δ=(-1)2-4×1×(1-b)=0得b=， 同理可求，当直线l与曲线下半部分相切时，b=-， 结合曲线C图象的对称性可得，当b=或b=-时，曲线C与直线l有一个交点， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当-<b<时，曲线C与直线l没有交点， 当b>或b<-时，曲线C与直线l有两个交点，A，B错误； 若k=2，当直线l与曲线上半部分相切时，由 整理得x2-2x+1-b=0， 由Δ=(-2)2-4×1×(1-b)=0，得b=0， 同理可求，当直线l与曲线下半部分相切时，b=0， 因而当k=2，b=0时，曲线C与直线l恰有两个公共点， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 结合曲线C图象的对称性可得，当k=2时，对于任意的b∈R，曲线C与直线l恰有两个公共点，故C正确，D错误. 解析 二、多项选择题 9.若圆C：x2+y2-2x+4y-20=0上有四个不同的点到直线l：4x+3y+c=0的距离为2，则c的取值可能是 A.-13 B.13 C.15 D.18 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 圆C：x2+y2-2x+4y-20=0化为(x-1)2+(y+2)2=25， 则圆心C(1，-2)，半径r=5， 若圆C：x2+y2-2x+4y-20=0上有四个不同的点到直线l：4x+3y+c=0的距离为2， 则圆心C(1，-2)到直线l的距离d<3，如图. 即=<3， ∴-13<c<17. 解析 10.设F1，F2为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是 A.直线l的倾斜角的余弦值为 B.若|F1P|=|F1F2|，则C的离心率e= C.若|PF2|=|F1F2|，则C的离心率e=2 D.△PF1F2不可能是等边三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ 设直线l的倾斜角为α，则tan α=，∴cos α=，故A正确； P在第一象限内，若|F1P|=|F1F2|，则|PF1|=|F1F2|=2c，|PF2|=2c-2a，由余弦定理得=，整理得3e2-8e+4=0，解得e=2或e=(舍)，故B错误； 若|PF2|=|F1F2|，则|PF2|=|F1F2|=2c，|PF1|=2c+2a，在△PF1F2中，由余弦 定理得=，整理得3e2-e-4=0，解得e=或e=-1(舍)，故C 错误； 由|PF1|>|PF2|，知△PF1F2不可能为等边三角形，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，下列说法正确的是 A.BC1⊥AC B.三棱锥B1-ACD1的体积为 C.点B1到平面ACD1的距离为 D.AB1与平面ACD1所成角的正弦值为 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1). 对选项A，=(-1，0，1)，=(-1，1，0)， ∵·=(-1)×(-1)+0×1+1×0=1， ∴BC1与AC不垂直，选项A不正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 对选项B，设平面ACD1的法向量为n=(x，y，z)， =(-1，0，1)，=(-1，1，0)， 则 令x=1，则y=1，z=1，即法向量n=(1，1，1). 又=(0，1，1)， ∴点B1到平面ACD1的距离为h===. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵AC，CD1，AD1是正方体的面对角线， ∴△ACD1是边长为的正三角形， 则=·h =×××sin ×=，选项B正确； 对选项C，由选项B的解析过程知，选项C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 对选项D，AB1与平面ACD1所成角的正弦值等于与法向量n所成角余弦值的绝对值. 则|cos〈，n〉|= ==，选项D正确. 解析 三、填空题 12.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，5)，C(0，-1，5)，则点A到直线 BC的距离为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A(0，2，3)，B(-2，1，5)，C(0，-1，5)， 所以=(2，-2，0)，=(-2，-1，2)， 与同向的单位向量n==·n=-， 则点A到直线BC的距离为==. 解析 18 19 17 13.直线mx+y-2=0(m∈R)与圆C：x2+y2-2y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为，则m的值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ±1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线mx+y-2=0(m∈R)恒过圆C：x2+(y-1)2=2内的定点M(0，2)，r=，C(0，1)， ∴|CM|=1， ∵S△ABC=r2sin∠ACB=，∴∠ACB=. 若∠ACB=，则圆心到弦AB的距离为>1=|CM|，故不符合题意； 若∠ACB=，圆心到直线的距离为<1=|CM|， ∴=，解得m=±1. 解析 18 19 17 14.已知点M(-5，0)，点P在曲线-=1(x≥3)上运动，点Q在曲线(x-5)2 +y2=1上运动，则的最小值是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 20 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 如图所示. 在双曲线-=1中， a=3，b=4，c==5， 圆(x-5)2+y2=1的圆心为C(5，0)，半径r=1， 所以双曲线-=1的左、右焦点分别为M，C， 由双曲线的定义可得|PM|=|PC|+2a=|PC|+6，|PQ|≤|PC|+1， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 所以≥=(|PC|+1)++10 ≥2+10=20， 当且仅当Q为PC的延长线与圆C的交点，且|PC|=4时，等号成立，故的最小值是20. 解析 四、解答题 15.圆C过点A(4，2)和点B(1，3)，圆心在直线y=x-1上. (1)求圆C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 ∴圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0. 解 18 19 17 (2)直线l经过点P(1，-1)，且l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5， ∴圆心为C(2，1)，半径r=， ∵l被圆C截得的弦长为4， ∴圆心到直线l的距离d==1， 当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=1， 圆心到直线l的距离为1，符合题意； 解 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y+1=k(x-1)， 即kx-y-k-1=0. 由=1，解得k=. ∴直线l的方程为3x-4y-7=0. ∴若经过点P(1，-1)的直线l被圆C所截得的弦长为4，则直线l的方程为x=1或3x-4y-7=0. 解 18 19 17 16.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-. (1)求抛物线的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-，所以-=-，解得p=1， 所以抛物线的方程为y2=2x. 解 (2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M，N两点，若|MN|=2，求实数k的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y=k(x-2)代入y2=2x，消去y并整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0， x1+x2==，x1x2=4. |MN|=|x1-x2|= ==2， 化简得(1+k2)(16k2+4)=40k4，解得k2=1，故k=±1. 解 17.已知直线l：kx+x-y+2k+2=0，圆C：(x-4)2+(y-2)2=20. (1)若直线l与圆C相切，求k的值； 圆C：(x-4)2+(y-2)2=20， 则圆心C(4，2)，半径r=2， 因为直线l与圆C相切， 所以圆心C到直线l的距离d===2， 即2k2+k-3=0，即(k-1)(2k+3)=0， 解得k=1或k=-. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)若直线l与圆C交于A，B两点，是否存在过点D(3，3)的直线l'垂直平分弦AB？若存在，求出直线l'与直线l的交点坐标；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 若直线l与圆C交于A，B两点， 则圆心C到直线l的距离d=<2， 即2k2+k-3<0，解得-<k<1. 过点D(3，3)的直线l'垂直平分弦AB，则直线l'必经过圆心C， 直线l'的斜率为=-1，直线l'的方程为y-3=-(x-3)，即x+y-6=0， 又l⊥l'，且直线l：(k+1)x-y+2k+2=0， 则(-1)(k+1)=-1，解得k=0，符合题意， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 所以直线l的方程为x-y+2=0， 联立直线l与l'的方程得 解得 所以存在符合题意的直线l'，直线l'与直线l的交点坐标为(2，4). 解 18.(2024·北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE= DE=2. (1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 如图，取PD的中点G，连接FG，CG， 因为F为PE的中点，所以FG=DE=1，FG∥DE， 又BC=1，AD∥BC， 所以FG=BC，FG∥BC， 所以四边形FGCB为平行四边形， 所以BF∥CG， 又BF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD， 所以BF∥平面PCD. 证明 (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD， 所以AB⊥PE， 又PE⊥AD，AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD. 连接EC，易知四边形ABCE为矩形， 故直线EC，ED，EP两两垂直， 故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)， A(0，-1，0)，B(1，-1，0)， 则=(1，0，0)，=(0，1，2)， =(1，0，-2)，=(0，2，-2). 设平面PAB的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则 可取n1=(0，-2，1). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设平面PCD的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则 可取n2=(2，1，1). 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ=|cos〈n1，n2〉|==. 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为. 解 19.(2024·新课标全国Ⅰ)已知A(0，3)和P为椭圆C：+=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得 所以C的离心率e===. 解 (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 方法一　kAP==-，则直线AP的方程为y=-x+3， 即x+2y-6=0， 因为|AP|==，S△ABP=9， 所以点B到直线AP的距离d==， 设B(x0，y0)，则 解 解得 即B(0，-3)或B， 当B(0，-3)时，kl=， 直线l的方程为y=x-3，即3x-2y-6=0； 当B时，kl=， 直线l的方程为y=x，即x-2y=0. 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 方法二　同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=， 设B(2cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0，2π)， 则有=，联立cos2θ+sin2θ=1， 解得 即B(0，-3)或，以下同方法一. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 方法三　当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)， S△PAB=×6×3=9，符合题意， 此时kl=，直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0， 联立椭圆方程有 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 则(4k2+3)x2+24kx=0， 其中k≠kAP，即k≠-， 解得x=0(舍去)或x=，k≠0，k≠-， 当x=时，y=， 则B， 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 点B到直线AP的距离d=， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 则=， 解得k=， 此时B，则kl=， 直线l的方程为y=x，即x-2y=0， 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 方法四　当l的斜率不存在时，l：x=3，B， |PB|=3，点A到直线PB的距离d=3， 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件； 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y=k(x-3)+， 设l与y轴的交点为Q， 令x=0，则Q， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 联立 则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0， 其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0，即4k2+12k+9>0， 且k≠kAP，即k≠-，k≠-， 则3xB=，xB=， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 则S△ABP=|AQ||xP-xB|==9， 解得k=或k=，均满足题意. 则直线l的方程为y=x或y=x-3， 即x-2y=0或3x-2y-6=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 $