四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题

**基本信息** 聚焦九年级数学核心知识，分层设计基础与创新题型，融合生活应用与几何探究，适配暑假复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|四边形判定、一元二次方程、不等式性质等|以概念辨析为主，如第1题假命题判断考查四边形定义理解| |填空题|10题40分|因式分解、平移、菱形面积、旋转角度计算等|注重运算与空间观念，如第12题平移求四边形周长体现几何直观| |解答题|8题78分|方程求解、几何证明、经济应用、动态几何等|突出综合应用与推理，如第17题水果盈利问题培养应用意识，第18题菱形中等边三角形证明发展推理能力，B卷第26题迁移应用课本结论提升创新思维|

四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 3．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（　　） A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6 8．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：xy2﹣2xy+x＝____________． 10．若分式的值为0，则x＝　　 ． 11．将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x﹣m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝　　 ． 12．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为 　　 ． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3； （2）x2﹣4x+1＝0． 15．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组． 16．（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）已知S△OAB的面积为2.5，则△OA2B2的面积为 　　 ． 17．（10分）东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 18．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF•AG． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是 　　 ． 20．若关于x的分式方程有增根，则a的值是 　　 ． 21．若α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣3β的值为　7　 ． 22．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上的动点，点F在边CD上，CF＝DE．连接AF、CE，则AF+CE的最小值为　　 ． 23．如图，在正方形ABCD中，将线段BC绕点B逆时针旋转α度（0＜α＜90）得到线段BE，作∠ABE的角平分线交CE延长线于点F，若BF＝CF，CE＝2，则正方形ABCD的面积为 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 25．（10分）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，求四边形ABCD的周长． 26．（12分）【课本再现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，AB与OA相交于点E，BC与OC相交于点F，连接EF．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，始终有AE2+EB2＝EF2，请证明这个结论． 【迁移应用】（2）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜BC，点D是AB边的中点，E是射线AC上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F，连接EF． （i）当点E在AC边上，点F在BC边上时，试探究线段AE，BF，EF之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若AC＝3，BC＝4，设AE＝x，EF＝y，请直接写出y与x的关系． 参考答案 四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； 故选：C． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意； B．方程x2+3是分式方程，选项B不符合题意； C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 3．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【解答】解：A、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，计算不正确，不符合题意； B、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2，计算不正确，不符合题意； C、若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，计算不正确，不符合题意； D．、若ac2＞bc2，则a＞b，计算正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB 【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意； C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； D、由AC2＝AD•AB，即，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； 故选：B． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由1﹣x＞0得：x＜1， 由3x﹣6≤0得：x≤2， 则不等式组的解集为x＜1， 故选：C． 6．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF+∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC＝180°， ∴∠EAF＝∠B＝40°， 故选：C． 7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（　　） A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6 【解答】解：（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0， 分解因式得：（x2+4x﹣3）（x2+4x+6）＝0， 可得x2+4x﹣3＝0或x2+4x+6＝0， 而x2+4x+6＝0中，Δ＝16﹣24＜0，无解， 则x2+4x＝3． 故选：A． 8．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6． ∴∠AFB＝∠FBC． ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC． ∴∠AFB＝∠ABF． ∴AF＝AB＝6． 同理可得DE＝DC＝6． ∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：xy2﹣2xy+x＝x（y﹣1）2 ． 【解答】解：xy2﹣2xy+x， ＝x（y2﹣2y+1）， ＝x（y﹣1）2． 10．若分式的值为0，则x＝　﹣2　 ． 【解答】解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0， 解得x＝±2，且x≠2， ∴x＝﹣2， 故答案为：﹣2 11．将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x﹣m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝　3　 ． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣10＝0， ∴x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝10+9＝19， ∴m＝3， 故答案为：3． 12．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为 　18　 ． 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF， ∴AD＝CF＝3，AC＝DF， ∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF， ∵△ABC的周长＝12， ∴AB+BC+AC＝12， ∴四边形ABFD的周长＝12+3+3＝18． 故答案为：18． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　60　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴，AC⊥BD，BD＝2BO， ∵AE⊥BC，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：60． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3； （2）x2﹣4x+1＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3， x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3； （2）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2． 15．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【解答】解：（1）去分母，得1﹣x+2（x﹣3）＝﹣1， 去括号，得1﹣x+2x﹣6＝﹣1， 解得：x＝4， 当x＝4时，分母x﹣3≠0， 故原分式方程的解为x＝4； （2）解不等式5x+1＞3（x﹣1），得：x＞﹣2， 解不等式x﹣7≤1x，得：x≤4， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤4． 16．（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）已知S△OAB的面积为2.5，则△OA2B2的面积为 　10　 ． 【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，△OA2B2即为所求； （3）∵在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1， ∴△OA2B2的面积：△OAB的面积＝4：1， ∵S△OAB的面积为2.5， ∴△OA2B2的面积10， 故答案为：10． 17．（10分）东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a， 根据题意得：75（1﹣a）2＝48， 解得：a1＝0.2＝20%，a2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，日销售量为（50010）千克， 根据题意得：（10+x）（50010）＝6000， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝5． 答：每千克应涨价5元． 18．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF•AG． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°， ∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF， ∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形． （2）延长EF，交AD的延长线于点G， ∵CB∥AD，CD∥AB， ∴∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°﹣∠B＝120°， ∵FE＝FA＝AE，∠AFE＝60°， ∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝120°， ∴∠FCE＝∠AFG， ∴△FCE∽△AFG， ∴， ∴FE•FA＝CF•AG， ∴AE2＝CF•AG． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是 　115°　 ． 【解答】解：由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠CAE＝45°， ∵∠ACD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°， 故答案为115°． 20．若关于x的分式方程有增根，则a的值是 　2　 ． 【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2x﹣x+1＝a， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 将x＝1代入2x﹣x+1＝a，得：a＝2， 故答案为：2． 21．若α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣3β的值为　7　 ． 【解答】解：由题知， 因为α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根， 所以α+β＝﹣2，α2+2α﹣1＝0， 则α2﹣α﹣3β＝α2+2α﹣3α﹣3β＝α2+2α﹣3（α+β）＝1﹣3×（﹣2）＝7． 故答案为：7． 22．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上的动点，点F在边CD上，CF＝DE．连接AF、CE，则AF+CE的最小值为　　 ． 【解答】解：在CB上取点H，使得CH＝CD，连接HF，过点H作HG⊥AD于点G，作点A关于CD的对称点A′，连接A′F， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，CD＝AB＝3，∠HCF＝∠CDE＝90°， ∵CF＝DE， ∴△HCF≌△CDE（SAS）， ∴HF＝CE， ∵点A与点A′关于CD对称， ∴AF＝AF′，A′D＝AD＝4， ∴AF+CE＝A′F+HF， 当点A′、F、H三点共线时，A′F+HF取最小值，即AF+CE取最小值， 此时∵∠HCD＝∠CDG＝∠HGD＝90°， ∴四边形HGDC为矩形， ∴GD＝CH＝CD＝3，GH＝CD＝3， ∴A′G＝A′D+DG＝7， ∴， ∴此时，即AF+CE的最小值为． 故答案为：． 23．如图，在正方形ABCD中，将线段BC绕点B逆时针旋转α度（0＜α＜90）得到线段BE，作∠ABE的角平分线交CE延长线于点F，若BF＝CF，CE＝2，则正方形ABCD的面积为 　4+2　 ． 【解答】解：如图，连接AE，AF．过点F作FG⊥BC，G为垂足． 根据题意，BC＝BE，BF＝CF， ∴∠ECB＝∠CEB，∠BCF＝∠CBF， ∴∠BCF＝∠ECB，∠CBF＝∠CEB， ∴△BCF∽△ECB， ∴∠BFC＝∠EBC，． ∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB． ∴∠ABF＝∠BFG． ∵BF＝CF，FG⊥BC， ∴∠BFG＝∠CFG， ∵BF和FG分别为∠ABE和∠BFC的角平分线， ∴∠BFC＝∠EBC＝∠ABE＝2∠ABF， ∵∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠BFC＝∠EBC＝∠ABE＝45°． 在△ABE和△CBE中，AB＝BC，∠CBE＝∠ABE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）． ∴AE＝CE＝2． ∵AB＝BC＝BE，BF为∠ABE的角平分线， ∴BF为AE的中垂线，即A、E两点关于直线BF对称． ∴AF＝EF，∠AFE＝2∠BFC＝90°． ∴△AFE为等腰直角三角形，FE． ∵FC＝CE+EF＝2． ∴由得：BC2＝EC•FC＝2×（2）＝4+2． ∴S正方形ABCD＝BC2＝4+2． 故答案为：4+2． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 25．（10分）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，求四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠CED＝∠AFB＝90°， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵CF＝3，EF＝5， ∴EC＝CF+EF＝3+5＝8， ∵∠CED＝90°， ∴CD4， 由（1）可知，△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE＝4， ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴BC5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（45）＝810． 26．（12分）【课本再现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，AB与OA相交于点E，BC与OC相交于点F，连接EF．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，始终有AE2+EB2＝EF2，请证明这个结论． 【迁移应用】（2）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜BC，点D是AB边的中点，E是射线AC上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F，连接EF． （i）当点E在AC边上，点F在BC边上时，试探究线段AE，BF，EF之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若AC＝3，BC＝4，设AE＝x，EF＝y，请直接写出y与x的关系． 【解答】解：（1）证明：如图1，四边形ABCD、A′B′C′O都是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠EOF＝∠ABC＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， 在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2， ∴AE2+EB2＝EF2． （2）（i）如图2，结论：AE2+BF2＝EF2， 证明：作矩形ACBH，延长ED交BD于点G，连接FG，如图： 点D是矩形ACBH的中心， 又点D是AB的中点， ∴AD＝BD， 在矩形ACBH中，∠BCA＝90°，AC∥BD ∠DAE＝∠DBG，∠AED＝∠BGD， ∴△AED△CGD（AAS）； ∴AE＝BG，DE＝DG， 又∠DEF＝90°， ∴EF＝GF， 在矩形ABCH中，∠FBD＝90°， ∴在Rt△FBG中，BF2+BG2＝GF2， ∴AE2+BF2＝EF2． （ii）解：当E，F分别在AB和BC上时，如图3（a），由（2）的结论可得AE2+CF2＝EF2，在Rt△EBF中，由勾股定理得BE2+BF2＝EF2， ∴AE2+CF2＝BE2+BF2， 设AE＝x，EF＝y 则BE＝3﹣x， ∴（3﹣x）2+BF2＝x2+（4﹣BF2）， ∴BF＝ ∵BE2+BF2＝EF2， ∴y2＝x2+（）2 ∴y ②如图3（b），点E，F分别在线段AB，BC的延长线上时， 由（2）的结论可得AE2+CF2＝EF2，在Rt△EBF中，由勾股定理得 BE2+BF2＝EF2， •．AE2+CF2＝BE2+BF2， 设AE＝x，则BE＝x﹣3， ∴x2+CF2＝（x﹣3）2+（4+CF）2， ∴CF＝， ∵BE2+BF2＝EF2， ∴（x﹣3）2+（4+）2＝y2 ∴y＝ 综上所述：y与x的关系为y 2 学科网（北京）股份有限公司 $