第11章 整式的乘除全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦整式乘除全章高频题型，分层突破基础运算与综合应用，强化公式变形及几何结合能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|6类30题|选择/填空/解答题，覆盖运算、参数、化简求值|从整式运算到公式直接应用，构建代数基础| |核心提升|5类25题|公式变形/规律探索/几何应用/新定义题|从代数变形到数形结合，渗透模型思想与创新意识|

第11章 整式的乘除全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：整式运算之选择题 题型2：整式乘法中不含某项的参数问题 题型3：求完全平方式中的字母系数 题型4：整式的化简求值 题型5：利用乘法公式进行简便运算 题型6：整式乘法与几何图形面积问题 核心提升：重难题型归纳 题型1：通过对完全平方公式变形求值 题型2：多项式乘多项式规律探索问题 题型3：平方差公式在几何图形中的应用 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 题型5：整式运算中的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 整式运算之选择题 1．A 2．A 3．B 4．D 5．C ◆题型2 整式乘法中不含某项的参数问题 6． 7． 8． 9．(1)， (2)12 10． ◆题型3 求完全平方式中的字母系数 11．C 12．C 13．C 14．D 15． ◆题型4 整式的化简求值 16．， 17．(1) (2)；9 18．(1) (2)，10 19．，原式 20． ◆题型5 利用乘法公式进行简便运算 21．(1) (2) 22．(1)1 (2)11025 23．(1) (2) 24． 25．(1)； (2) ◆题型6 整式乘法与几何图形面积问题 26．(1) (2)24 (3)2 27．(1)绿化部分的面积为平方米； (2)绿化部分的面积为108平方米 28．(1)平方米 (2)平方米 29．(1)木箱的体积为立方厘米 (2) 30．(1) (2)3780元 ◆题型1 通过对完全平方公式变形求值 31．(1)； (2)的值为； (3)种草区域的面积和为60平方米． 32．(1)； (2) (3) 33．(1)或 (2) (3)2 34．(1) (2) (3) 35．(1)， (2)报告厅的占地面积S1比办公室的占地面积S2的5倍大164平方米 ◆题型2 多项式乘多项式规律探索问题 36．B 37． 38．(1)10；256 (2) (3)星期三． 39．A 40．(1) (2) (3) ◆题型3 平方差公式在几何图形中的应用 41．B 42．(1)或 (2)①；② 43． 44．C 45．D ◆题型4 完全平方公式在几何图形中的应用 46．C 47．(1)，；； (2)； (3) 48．(1) (2)①8；②1300 49．(1) (2)①；② 50．(1)； (2)内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； (3)①内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米；②平方米 ◆题型5 整式运算中的新定义问题 51．(1)；减项 (2)B是A的“增项多项式”，理由如下： ， 的项数比A的项数多1项， B是A的“增项多项式” (3)2 (4)或 52．A 53．【例题再现】；【变式】；【应用】①2027，②36 54． 10 26 55．B 1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．2 9． 10． 11． 12．(1)②④ (2)②； ④ 13．(1)①； (2)； (3)． 14．(1) (2)多项式的最大值为 (3) 15．(1) (2) (3) (4) (5) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：整式运算之选择题 题型2：整式乘法中不含某项的参数问题 题型3：求完全平方式中的字母系数 题型4：整式的化简求值 题型5：利用乘法公式进行简便运算 题型6：整式乘法与几何图形面积问题 核心提升：重难题型归纳 题型1：通过对完全平方公式变形求值 题型2：多项式乘多项式规律探索问题 题型3：平方差公式在几何图形中的应用 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 题型5：整式运算中的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 整式运算之选择题 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘、单项式除以单项式的运算法则，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，运算正确，故符合题意； B、，运算错误，故不符合题意； C、，运算错误，故不符合题意； D、，运算错误，故不符合题意． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A、，计算正确； 选项B、与不是同类项，不能合并，计算错误； 选项C、，计算错误； 选项D、，计算错误． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项运算法则、幂的乘方运算法则以及完全平方公式进行判断各选项即可． 【详解】解：Ａ、与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算，，，，整式的加法，进行解答，即可． 【详解】解：选项A：，错误，不符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，正确，符合题意． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A，，故A错误； 选项B，与不是同类项，无法合并，故B错误； 选项C，，运算正确； 选项D，，故D错误． ◆题型2 整式乘法中不含某项的参数问题 6．若与的乘积中不含的一次项，则的值为____________． 【答案】 【分析】先计算两个多项式的乘积，乘积不含的一次项，说明一次项系数为，列方程求解即可． 【详解】解： 乘积中不含的一次项， ， ． 7．若的展开式中不含有的一次项，则的值为___． 【答案】 【分析】根据法则展开原式，令的一次项系数为，即可求解的值． 【详解】解： 的展开式中不含有的一次项， ， 解得：． 8．展开后不含x的一次项，则a的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算法则，先将原式展开，合并同类项后根据多项式不含的一次项，可得的一次项系数为，由此列方程求解即可，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 该多项式展开后不含的一次项， ， 解得． 9．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 10．若多项式与的乘积不含关于x的一次项，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算两个多项式的乘积，合并同类项后，令的一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积不含关于x的一次项， ∴， ∴． ◆题型3 求完全平方式中的字母系数 11．已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【答案】C 【分析】根据等式左边为完全平方式，可知右边二次三项式为完全平方式，结合二次项与常数项的平方形式，确定一次项系数的两种情况，进而求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得； 综上所述，的值为9或． 12．贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，得到一次项系数满足的关系，列方程求解即可． 【详解】∵是完全平方式，符合的结构，其中，，即， ∴， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， ∴m的值为5或． 13．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的形式列方程求解即可． 【详解】解：∵完全平方式的一般形式为 给定多项式为，其中常数项 ∴一次项系数满足 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 14．如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：，是完全平方式， ， 当时，， 当时，， 的值为或． 15．如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 【答案】 【分析】先展开原式得到二次三项式，再根据完全平方式的结构特征列方程，求解方程即可得到常数的值． 【详解】解：∵， 又∵代数式是完全平方式， ∴一次项系数一半的平方等于常数项，可得：， 整理得：， 解得． ◆题型4 整式的化简求值 16．化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，根据绝对值和平方的非负性求出，，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式． 17．先化简后求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1) (2)；9 【详解】（1）解：原式， 当时，原式； （2）解：原式 ． 当时，原式． 18．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，10 【分析】本题主要考查实数混合运算和整式化简求值． （）先分别计算乘方、开方，再进行乘除，最后做加减； （）先展开乘法、计算除法、去括号，再合并同类项化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 当时， 原式 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，原式 【分析】此题考查了整式的混合运算以及代数求值，实数的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别运用平方差公式，完全平方公式和单项式除以单项式法则进行化简，再把a、b的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 20．化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用完全平方公式和平方差公式进行计算，计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． ◆题型5 利用乘法公式进行简便运算 21．用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．简便计算：． 【答案】 【分析】将2025和2027改写为与2026相差1的形式，再通过公式展开化简即可． 【详解】解：原式． 25．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用完全平方公式求解即可； （2）运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． ◆题型6 整式乘法与几何图形面积问题 26．将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形． (1)写出a，b满足的关系式为__________． (2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积． (3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度． 【答案】(1) (2)24 (3)2 【分析】（1）根据大长方形的宽可以得到； （2）利用平移的性质先表述出四个阴影的面积，再结合题意得到，根据求出结果； （3）先表示出，，的周长，再根据题意求出的周长，利用周长公式求出结果． 【详解】（1）解：观察图2可知大长方形的宽为； （2）由（1）可得，即， 由图2可得，，， ， ，即， （3）由图2得：，，， ， ，则， ③的短边长度为． 27．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)绿化部分的面积为平方米； (2)绿化部分的面积为108平方米 【分析】（1）先求出长方形地块的面积，再求出修建雕像的小长方形地块的面积，进而即可求出绿化部分的面积； （2）将，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，长方形地块的面积为平方米， 修建雕像的小长方形地块的面积为平方米， ∴绿化部分的面积为平方米； （2）解：当，时，（平方米）， 绿化部分的面积为108平方米． 28．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）种菜面积正方形面积长方形蓄水池面积； （2）将米，米代入（1）中化简的式子，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 种菜（阴影）部分的面积 （平方米）； （2）解：当米，米时， 种菜（阴影）部分的面积为 （平方米）． 29．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 【答案】(1)木箱的体积为立方厘米 (2) 【分析】（1）先表示出甲乙丙三块木板面积，再由题意列二元一次方程组求解即可； （2）由木板的利用率为，列出等式，恒等变形得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得甲块木板的面积为；乙块木板的面积；丙块木板的面积； 由题意可得， 整理得， 解得， 则木箱的体积为（立方厘米）， 答：木箱的体积为立方厘米； （2）解：由题意可得， 整理得， ∴， ∴． 30．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3） (1)求用于种花的面积； (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用． 【答案】(1) (2)3780元 【分析】（1）根据圆的面积公式计算即可得出结果； （2）先表示出铺设草坪的面积，再代入，，最后乘以30即可． 【详解】（1）解： ． 答：用于种花的面积为． （2）解： ． 当，时，． （元）． 答：铺设草坪的总费用为3780元． ◆题型1 通过对完全平方公式变形求值 31．【教材原题】青岛版教材七年级下册第109页思考与交流（3），对两数和的完全平方公式做出几何解释： 当、均为正整数时，图①中的面积关系可以解释公式． 【类比探究】 (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________； (2)根据图②所得的公式，若，求的值； (3)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)； (2)的值为； (3)种草区域的面积和为60平方米． 【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积，（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为平方米． 【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设， 于点E，米， （平方米），（平方米）， （平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 32．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用一张种纸片、一张种纸片、两张种纸片拼成如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中大正方形的面积： 方法： ； 方法： ； (2)观察图②，请你写出代数式，，之间的数量关系：________； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； （2）由图2可得大正方形的面积等于两个小长方形的面积与两个正方形面积之和即可求解； （3）令，，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴； 方法2：大正方形面积各个部分面积之和， ∴． （2）解：∵大正方形的面积等于两个小长方形的面积与两个正方形面积之和， ∴． （3）解：令，， ， 又， 即， ， ． 33．在数学学习中，借助几何图形可以直观解释整式乘法公式．如图1是由4个长为、宽为的小长方形围成的一个大正方形．请解答以下问题： (1)【观察思考】图1中空白部分的小正方形面积是__________； (2)【数学理解】观察图1，请直接写出、、之间的等量关系； (3)【类比应用】图2是由2个直角边分别为、的等腰直角三角形和2个两直角边为、的直角三角形拼成的一个四边形，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)或 (2) (3)2 【分析】（1）用两种方法可以表示出空白部分的小正方形面积； （2）由（1）得； （3）四边形的面积，整理得，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：空白部分的小正方形面积是或； （2）解：由（1）得； （3）解：四边形的面积 ， ∵，， ∴四边形的面积． 34．“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 请利用上述公式及数形结合思想，解决下列问题： (1)若，，则_______； (2)若，求的值； (3)如图②，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式变形，代入求解即可； （2）设，，可得，，利用完全平方公式变形，求出，即可得出答案； （3）设，，根据阴影面积及的面积得出，，利用完全平方公式得出，利用算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：设，， ∴，， ∴， ∴． （3）解：设，， ∵四边形，都是正方形， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积和为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 35．如图是某学校综合楼的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含，的多项式表示报告厅的占地面积__________平方米；办公室的占地面积__________平方米． (2)若，，则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大多少平方米？ 【答案】(1)， (2)报告厅的占地面积S1比办公室的占地面积S2的5倍大164平方米 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）作差计算得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， 又，， ， 则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大平方米． ◆题型2 多项式乘多项式规律探索问题 36．已知，，．通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（     ） ………… 杨辉三角局部图 A．32 B．211 C． D．243 【答案】B 【分析】根据杨辉三角得到五次二项式展开的系数规律，将展开得到各系数后，代入所求式子计算即可. 【详解】解：根据杨辉三角的规律，可得， 令，，代入， 得， 化简，得， 对比， 得 ，，，，， ． 37．观察下列各式及其展开式 … 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 【答案】 【分析】先确定展开式中项的系数，再结合的展开式特点计算即可． 【详解】解：观察已知展开式的系数得： 的系数依次为， 的系数依次为， 的系数依次为， 的系数依次为， 按的降幂排列，系数依次为，即项的系数为， 将变形为，可得展开式中含的项为： ， 的展开式中含项的系数是． 38．【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． (1)【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． (2)利用上面的规律计算：． (3)【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 【答案】(1)10；256 (2) (3)星期三． 【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）由，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴展开式中的系数是10； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 根据规律可得展开式中所有项的系数和为； （2）解： ； （3）解：∵（a，b，c等为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期二，往后推1天就是星期三． 39．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知算式总结多项式乘法的规律，再将所求式子变形，代入规律计算得到结果． 【详解】解：由已知算式可得规律：， 设所求式子为，可变形为， 将代入规律得：， ，两边同除以得：，故选项A符合题意． 40．如图所示的“三角形”是我国北宋数学家贾宪发现的．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中做了详细记载，被称为“杨辉三角形”，又称“贾宪三角形”，它揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据此规律解答下列问题： (1)的值为_________________； (2)根据上面的规律，写出的展开式：_________________； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可得出的值； （2）根据规律求出的展开式即可； （3）根据（2）中所得展开式，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， ∴． （2）解：由上面的规律得，， （3）解：∵， ∴ ． ◆题型3 平方差公式在几何图形中的应用 41．在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 42．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， ∴可以得到公式或； （2）解：①， ， ， ， ； ② ． 43．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形并将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，得到两个梯形，再将这两个梯形拼成一个长方形，利用这两个图，通过表示阴影部分的面积，能解释一个等式是____________． 【答案】 【分析】分别表示两个图形的面积，根据图形的面积相等，列出等式即可． 【详解】解：第一个图形的面积为， 第二个图形的面积为， ∵两个图形的阴影部分面积相等， ∴． 44．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出第一幅图和第二幅图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：第一幅图中阴影部分的面积为：， 第二幅图中阴影部分的面积为：， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴． ∴选C． 45．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． ◆题型4 完全平方公式在几何图形中的应用 46．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 47．学完整式的乘法公式后，爱思考的小丽同学为了探究公式之间的联系，她把一个长为，宽为的长方形沿图1中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2）．请你根据小丽的操作回答下列问题： (1)图1中每个小长方形的长和宽分别为________，图2中大正方形的边长为________，中间小正方形（阴影部分）的边长为________（均用含a，b的式子表示）； (2)小丽发现可以用两种方法求图2中小正方形（阴影部分）的面积，请你帮她写出来（直接用含a，b的式子表示，不必化简）：方法1：________，方法2：________． (3)根据（2）中的结论，探究，，间的等量关系； 【答案】(1)，；； (2)； (3) 【分析】（1）观察图形结合条件即可； （2）方法1：直接用正方形面积公式，方法2：用整体减部分的思路，大正方形面积减去4个小长方形的总面积即可得到阴影面积； （3）由（2）可知两种方法计算的是同一个阴影部分的面积，数值必然相等，据此列等式即可． 【详解】（1）解：∵图1的大长方形长为、宽为，沿虚线平均分成4个完全相同的小长方形， ∴每个小长方形的长是，宽是； ∴ 图2的大正方形的边长是小长方形的长加宽，即； 中间阴影小正方形的边长是小长方形的长减去宽，即； （2）解：方法1：∵阴影小正方形边长为， ∴面积为； 方法2：大正方形面积是， ∵每个小长方形面积是， ∴4个的总面积是， ∴阴影面积为； （3）解：两种方法计算的是同一个阴影部分的面积，数值必然相等， ∴． 48．图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①8；②1300 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①应用完全平方公式的变式进行计算即可得出答案；②设正方形边长为，可得，，令，，由长方形面积知，算出；阴影面积为，借助整体代入求值． 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵两个正方形的边长分别为p、q， ∴， 把，代入上式： ． ∴图2中阴影部分的面积为． ②设正方形边长，则． ∵，， ∴， 令，． 长方形相邻两边为、， ∴． ， 观察图形，阴影部分组合成边长为的正方形， 因此阴影面积． 由（1）得到的恒等式：， 代入，， ， ∴图3阴影部分面积为1300． 49．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 (1)根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①利用（1）的结论进行解答即可；②设，，则，根据，图中阴影部分面积为51，可得，，由（1）可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； （2）解：①由（1）可得，， ， ， ； ②设，则， ，图中阴影部分面积为51， ， 由（1）可得，， ， ， ，即， 的值为． 50．魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 【答案】(1)； (2)内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； (3)①内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米；②平方米 【分析】（1）原长方形布料长、宽，裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为，拼接后，内部正方形边长为小长方形的长减宽，整个桌布的边长为小长方形的长加宽； （2）根据题意得出内部正方形的边长为，从而求出面积；再根据整个桌布的面积四个直角三角形的面积内部正方形的面积求解即可； （3）①根据题意得出，拼接后大正方形（桌布）边长为，据此求出桌布总面积；再根据内部正方形的面积桌布总面积原布料面积求解即可； ②根据正方形的面积桌布总面积四个直角三角形的面积，代入求解即可； 【详解】（1）解：∵原长方形布料长、宽， ∴裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为， ∴内部正方形的边长为：米， 整个正方形桌布的边长为米． （2）解：根据题意可得，4个全等直角三角形的直角边分别为和， 内部正方形的面积， 原布料（4个直角三角形）总面积为， 整个桌布的面积 ， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； （3）解：①根据题意，8个全等直角三角形的直角边分别为和，拼接后大正方形（桌布）边长为， 桌布总面积； 原布料（8个直角三角形）总面积为， ∴内部正方形的面积桌布总面积原布料面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； ②∵， ∴平方米． ◆题型5 整式运算中的新定义问题 51．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， (1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； (2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由； (3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________； (4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值． 【答案】(1)；减项 (2)B是A的“增项多项式”，理由如下： ， 的项数比A的项数多1项， B是A的“增项多项式” (3)2 (4)或 【分析】（1）计算，比较与即可求解； （2）计算，比较与即可求解； （3）计算，是的“完美多项式”，则，令的二次项系数和一次项系数等于0，即可求解； （4）计算，是的“完美多项式”，则，分情况讨论和，求解的值． 【详解】（1）解：， 的项数比A的项数少1项， ∴是的减项多项式； （2）略 （3）解：， ∵是的完美多项式， ∴， ∵，中和是固定项， ∴，， 解得； （4）解： 当时，，，，此时， ∴符合题意， 当时，，，要使，则， 而，，其中，， 必须使， ∴， 解得， 综上所述，，或，是的“完美多项式”． 52．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 53．【例题再现】新人教版八上数学107页例3（4）题：计算________．请写出它的计算结果，我们称其为“立方和”公式． 【变式】计算：________．我们称其为“立方差”公式； 【应用】①计算：； ②已知：若在实数范围内有：，试求：的值． 【答案】【例题再现】；【变式】；【应用】①2027，②36 【分析】本题主要考查了整式运算，涉及“立方和”公式、“立方差”公式、完全平方公式的应用等， 例题再现：首先根据多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项即可； 变式：首先根据多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项即可； 应用：①首先根据“立方和”公式计算，再进一步计算即可； ②首先由已知条件可得，再利用完全平方公式可得，根据“立方差”公式将进行变形转换，然后代入求值即可． 【详解】解：例题再现： ， 故答案为：． 变式： ， 故答案为：． 应用：① ； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 54．在个连续正整数中，最小的正整数记为k，最大正整数是，若存在正整数k满足，且，则称这个连续正整数为“友好连续正整数”．当时，m的最小值=______；在某个“友好连续正整数”中，当m的最小值为677时，______． 【答案】 10 26 【分析】本题考查了数字规律探究，勾股数的应用，掌握通过举例归纳出数字规律，再利用规律求解参数是解题的关键． 先通过举例找到时满足的等式，计算出对应的值，再从例子中归纳出和的表达式，得到与的关系式，最后代入求出的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，可得：； 当时，可得： 的最小值为； 归纳可得： 根据以上计算可得：，， 故答案为：． 55．已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】 ， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 一、单选题 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，∴ A计算错误． ∵ ，∴ B计算错误． ∵ ，∴ C计算正确． ∵ ，∴ D计算错误． 2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，列出算式后利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：已知长方形面积，长为， ∴宽为 ， 因此该长方形的宽为． 3．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 4．（21-22八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，左边是单项式，不属于因式分解； B选项，右边为和的形式，不属于因式分解； C选项，是整式乘法，不属于因式分解； D选项，是多项式化为整式乘积的形式，属于因式分解． 5．（21-22七年级下·宁夏银川·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A选项：无法转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，故A选项不符合题意； B选项：，要用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故B选项不符合题意； C选项：，要用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故C选项不符合题意； D选项：，能用平方差公式计算，故D选项符合题意． 6．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】读懂新运算规则，按规则列出算式后，展开合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，得： ． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 二、填空题 8．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）已知的乘积项中不含项，则__________． 【答案】2 【分析】先将原式按多项式乘多项式法则展开合并，再利用乘积不含项得到项的系数为0，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵的乘积项中不含项， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·河北·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，将已知条件代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 把，代入得：． 10．（2022八年级上·云南保山·竞赛）计算：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行简算即可. 【详解】解：原式 ． 11．（2022·河北石家庄·模拟预测）若，则的值为_________；若，则_________． 【答案】 【分析】第一空利用完全平方公式展开左边，对比对应项系数求解；第二空先化简所求代数式，再整体代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵ 又∵， 即， ∴原式． 三、解答题 12．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目： ①；②； ③；④ (1)嘉嘉做错的或不完整的题目是______（填序号）； (2)把你选出（1）题中题目写出正确的解答过程． 【答案】(1)②④ (2)②； ④ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提公因式法和公式法因式分解，进行判断即可； （2）根据提公因式法和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉做错的或不完整的题目是； （2）略 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图，它所对应的公式为________（填写对应公式的序号）． ①： ②： ③： (2)如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)如图，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①； (2)； (3)． 【分析】（1）通过大正方形面积的两种表示方法，验证完全平方公式的变形； （2）利用周长和面积得到与，整体代入展开式求值； （3）设A，B两张纸片的边长分别为m，n，根据题意得到，，根据完全平方公式得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：据图可知，大正方形的边长为， 则其面积为， 也可以看成四个长、宽分别为、的矩形和边长为的正方形的面积之和， 即， 可得； （2）解：由题意得，， 即， ∴ ； （3）解：如图， 设A，B两张纸片的边长分别为m，n， 可知大正方形的边长为， ∴， ∵A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 14．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2)多项式的最大值为 (3) 【分析】（1）先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值； （3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解： ， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 15．（22-23八年级上·全国·期末）完成以下问题 (1)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ； (2)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ； 【成果运用】利用上面所得的结论解答： (3)已知，，求的值； (4)已知，求的值； (5)【拓展提升】当时，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：观察图1可知，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积，即； （2）解：观察图2可知，大正方体的体积等于小正方体的体积加6个长方体的体积，即； （3）解：由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∴； （5）解：令，， 则有，， ， 即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：整式运算之选择题 题型2：整式乘法中不含某项的参数问题 题型3：求完全平方式中的字母系数 题型4：整式的化简求值 题型5：利用乘法公式进行简便运算 题型6：整式乘法与几何图形面积问题 核心提升：重难题型归纳 题型1：通过对完全平方公式变形求值 题型2：多项式乘多项式规律探索问题 题型3：平方差公式在几何图形中的应用 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 题型5：整式运算中的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 整式运算之选择题 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型2 整式乘法中不含某项的参数问题 6．若与的乘积中不含的一次项，则的值为____________． 7．若的展开式中不含有的一次项，则的值为___． 8．展开后不含x的一次项，则a的值是__________． 9．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 10．若多项式与的乘积不含关于x的一次项，则k的值为________． ◆题型3 求完全平方式中的字母系数 11．已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 12．贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 13．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 14．如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（     ） A． B． C． D．或 15．如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． ◆题型4 整式的化简求值 16．化简，再求值：，其中，满足． 17．先化简后求值： (1)，其中． (2)，其中，． 18．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中． 19．先化简，再求值：，其中，． 20．化简：． ◆题型5 利用乘法公式进行简便运算 21．用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 22．利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 23．运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 24．简便计算：． 25．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； ◆题型6 整式乘法与几何图形面积问题 26．将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形． (1)写出a，b满足的关系式为__________． (2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积． (3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度． 27．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)当，时，求绿化部分的面积． 28．如图，某校开心农场内有一块正方形菜地，边长为米，菜地内预留一块长米，宽米的长方形空地搭建蓄水池，余下阴影区域全部栽种蔬菜． (1)请用含，的代数式表示种菜（阴影）部分的面积，并化简． (2)当米，米时，计算菜地种菜（阴影）部分的面积． 29．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 30．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3） (1)求用于种花的面积； (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用． ◆题型1 通过对完全平方公式变形求值 31．【教材原题】青岛版教材七年级下册第109页思考与交流（3），对两数和的完全平方公式做出几何解释： 当、均为正整数时，图①中的面积关系可以解释公式． 【类比探究】 (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________； (2)根据图②所得的公式，若，求的值； (3)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 32．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用一张种纸片、一张种纸片、两张种纸片拼成如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中大正方形的面积： 方法： ； 方法： ； (2)观察图②，请你写出代数式，，之间的数量关系：________； (3)已知，求的值． 33．在数学学习中，借助几何图形可以直观解释整式乘法公式．如图1是由4个长为、宽为的小长方形围成的一个大正方形．请解答以下问题： (1)【观察思考】图1中空白部分的小正方形面积是__________； (2)【数学理解】观察图1，请直接写出、、之间的等量关系； (3)【类比应用】图2是由2个直角边分别为、的等腰直角三角形和2个两直角边为、的直角三角形拼成的一个四边形，若，，求四边形的面积． 34．“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 请利用上述公式及数形结合思想，解决下列问题： (1)若，，则_______； (2)若，求的值； (3)如图②，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 35．如图是某学校综合楼的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含，的多项式表示报告厅的占地面积__________平方米；办公室的占地面积__________平方米． (2)若，，则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大多少平方米？ ◆题型2 多项式乘多项式规律探索问题 36．已知，，．通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（     ） ………… 杨辉三角局部图 A．32 B．211 C． D．243 37．观察下列各式及其展开式 … 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 38．【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． (1)【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． (2)利用上面的规律计算：． (3)【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 39．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 40．如图所示的“三角形”是我国北宋数学家贾宪发现的．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中做了详细记载，被称为“杨辉三角形”，又称“贾宪三角形”，它揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据此规律解答下列问题： (1)的值为_________________； (2)根据上面的规律，写出的展开式：_________________； (3)利用上面的规律计算：． ◆题型3 平方差公式在几何图形中的应用 41．在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 42．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 43．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形并将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，得到两个梯形，再将这两个梯形拼成一个长方形，利用这两个图，通过表示阴影部分的面积，能解释一个等式是____________． 44．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 45．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． ◆题型4 完全平方公式在几何图形中的应用 46．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 47．学完整式的乘法公式后，爱思考的小丽同学为了探究公式之间的联系，她把一个长为，宽为的长方形沿图1中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2）．请你根据小丽的操作回答下列问题： (1)图1中每个小长方形的长和宽分别为________，图2中大正方形的边长为________，中间小正方形（阴影部分）的边长为________（均用含a，b的式子表示）； (2)小丽发现可以用两种方法求图2中小正方形（阴影部分）的面积，请你帮她写出来（直接用含a，b的式子表示，不必化简）：方法1：________，方法2：________． (3)根据（2）中的结论，探究，，间的等量关系； 48．图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 49．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 (1)根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 50．魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． ◆题型5 整式运算中的新定义问题 51．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， (1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； (2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由； (3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________； (4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值． 52．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 53．【例题再现】新人教版八上数学107页例3（4）题：计算________．请写出它的计算结果，我们称其为“立方和”公式． 【变式】计算：________．我们称其为“立方差”公式； 【应用】①计算：； ②已知：若在实数范围内有：，试求：的值． 54．在个连续正整数中，最小的正整数记为k，最大正整数是，若存在正整数k满足，且，则称这个连续正整数为“友好连续正整数”．当时，m的最小值=______；在某个“友好连续正整数”中，当m的最小值为677时，______． 55．已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 一、单选题 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 4．（21-22八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   　 ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·宁夏银川·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 二、填空题 8．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）已知的乘积项中不含项，则__________． 9．（25-26八年级上·河北·期末）已知，，则______． 10．（2022八年级上·云南保山·竞赛）计算：________． 11．（2022·河北石家庄·模拟预测）若，则的值为_________；若，则_________． 三、解答题 12．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目： ①；②； ③；④ (1)嘉嘉做错的或不完整的题目是______（填序号）； (2)把你选出（1）题中题目写出正确的解答过程． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图，它所对应的公式为________（填写对应公式的序号）． ①： ②： ③： (2)如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)如图，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为，求阴影部分的面积． 14．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 15．（22-23八年级上·全国·期末）完成以下问题 (1)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ； (2)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ； 【成果运用】利用上面所得的结论解答： (3)已知，，求的值； (4)已知，求的值； (5)【拓展提升】当时，求． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $