26.4 第2课时 最大利润问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦“用二次函数解决最大利润问题”，通过“某商品调价影响销量”的探究情境导入，衔接二次函数性质，引导学生从涨价、降价两种情况建立函数模型，搭建“实际问题—函数解析式—最值求解”的学习支架。 以真实商品利润情境培养数学眼光，通过分析销量与价格关系抽象函数模型，用配方法或公式法求最值发展数学思维，以函数解析式表达利润关系强化数学语言。实例丰富，如探究1分情况讨论、例1结合价格范围求解，助力学生提升建模与应用能力，为教师提供清晰教学流程与实践案例。

26.4 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 课题 最大利润问题 课型 新授课 教学内容 教材第52页的探究1 教学目标 1．让学生能够用二次函数知识解决商品最大利润问题。 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型。 教学重难点 教学重点：用二次函数知识解决商品最大利润问题。 教学难点：建立二次函数模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：若调整单价（单价为整数），每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【师生活动】教师提出问题，学生回答： (1)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？自变量x的取值范围如何确定？何时有最大利润，最大利润为多少元？ 模式一：涨价销售 ①每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为y=(20+x)(300-10x), 即y=-10x2+100x+6 000. ②营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30. ③当时，y=-10×52+100×5+6 000=6 250. 即定价为65 元时，最大利润是 6 250 元. (2)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？自变量x的取值范围如何确定？何时有最大利润，最大利润为多少元？ 模式二：降价销售 ①每件降价x元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为y=(20-x)(300+20x), 即y=-20x2+100x+6 000. ②营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20. ③当 时，即定价为 57.5 元时，y= - 20×(2.5) 2+100×2.5+6 000=6 125,最大利润是 6 125元. (3)由此可知应如何定价才能使利润最大？ 综合涨价和降价两种情况可知，定价为65元时，利润最大. 学生完成并交流展示． 2.探索新知，归纳知识 1.商品单件利润＝售价－进价； 总利润＝单件利润×销售总数量． 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围. 3.在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出. 3.学以致用，应用新知 【例1】　春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为x元/L时获利y元，则y＝(x－4.1)＝－200(x－4.6)2＋50.∵4.1≤x≤4.5，∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48，即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元． 【例2】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示． (1)求y2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴解得∴y2的解析式为y2＝x2－x＋(1≤x≤12)． (2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴解得∴y1的解析式为y1＝－x＋12(1≤x≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝(－x＋12)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋，∴w＝－(x－3)2＋(1≤x≤12)，∴当x＝3时，w取最大值，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是元/千克． 4.随堂训练，巩固新知 （1）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价(　 　) A．5元　 B．10元　 C．15元　　 D．20元 答案：A （2）某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是 元． 答案：5 5.课堂小结，自我完善 1．用二次函数解决商品利润问题的方法． 2．解决利润相关问题中需要注意的问题 6.布置作业 课本P53练习。 正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛。 某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。 教师总结，学生体会。 教师引导，学生自主解答。 本例中价格只有上涨一种情况。利用解析式求最大利润。 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 本例借助函数图象求中最大利润。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 最大利润问题 在利用二次函数求最大利润时，可以借助解析式、图象或性质。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 学科网（北京）股份有限公司 $