专题9 几种常见函数的性质（讲义）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 几种常见函数的性质 ( 【复习目标】 1. 掌握一次函数、反比例函数和二次函数的概念、形式及图像性质 . 2. 会利用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质来解决实际问题 . ) 【考点1 一次函数】 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做 ，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做 。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．下列函数中，在上是单调递增函数的是（     ） A． B． C． D． 2．关于x的函数在R上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线不经过第一象限，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．函数的图象在（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 5．直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6．在R上为______函数（填“增”或“减”） 7．已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是________. 8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量x的取值范围． 【考点2 二次函数】 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．二次函数，，则函数的值域是（   ）． A． B． C． D． 2．已知函数的图象的对称轴为直线，则（   ） A． B． C． D． 3．函数在上是（   ） A．递增函数 B．递减函数 C．先递增再递减的函数 D．先递减再递增的函数 4．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是___. 6．二次函数的最大值为______． 7．的值域是____________ 8．已知二次函数， (1)当时，请写出函数的单调递增区间， (2)如果它的图像经过原点，求m的值． 【考点3 反比例函数】 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【即时训练】 1．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 5．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 6．函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 7．某装置中压强与受力面积的关系为．当时，从增加到，则压强变化量为（    ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 8．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 1.（2023·四川高职单招·真题T13）如果函数的值域为，则_________． 2.（2022·四川高职单招·真题T15）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 （1）求实数的值 （2）设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 3.（2021·四川高职单招·真题T06）下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 几种常见函数的性质 ( 【复习目标】 1. 掌握一次函数、反比例函数和二次函数的概念、形式及图像性质 . 2. 会利用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质来解决实际问题 . ) 【考点1 一次函数】 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．下列函数中，在上是单调递增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数、反比例函数的图像和性质可判断结果. 【详解】由一次函数的图像和性质可知，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数； 由二次函数的图像和性质可知，在上是单调递减函数； 由反比例函数的图像和性质可知，在上是单调递减函数. 故选：A 2．关于x的函数在R上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的单调性解不等式易得答案. 【详解】因为在R上是减函数, 所以得, 解得. 故选:C. 3．已知直线不经过第一象限，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一次函数性质求解即可. 【详解】已知直线不经过第一象限， 则一次函数图象单调递减，即 且直线与轴负半轴相交，即当时，. 故选：A. 4．函数的图象在（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】作出函数图像即可得解. 【详解】    如图所示，作出函数的图像， 则图像在第二、四象限， 故选：. 5．直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】根据直线所过象限确定参数取值，进而确定反比例函数的图像； 【详解】直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限， ；， 反比例函数的图象位于第二、四象限； 故选：C 6．在R上为______函数（填“增”或“减”） 【答案】增 【分析】根据题意，结合一次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数，一次系数， 故该函数在R上为增函数. 故答案为：增. 7．已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是________. 【答案】 【分析】根据题意，算出，然后解不等式. 【详解】根据直线经过的点可知，，解得， 则，即，解得， 于是解集为： 故答案为： 8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，将交点坐标代入正比例函数解析式，即可求得m的值，继而求得交点的坐标，将交点坐标代入一次函数解析式，即可求得k的值，即可求得一次函数解析式； （2）根据题意，结合正比例函数和一次函数的图像及交点坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意，交点在正比例函数的图像上， 所以，即， 又点在一次函数的图像上， 所以，解得， 所以一次函数解析式为； （2）由（1）得正比例函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为， 又函数的值大于函数的值， 由图像可知. 即自变量x的取值范围是. 【考点2 二次函数】 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．二次函数，，则函数的值域是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的值域求解即可. 【详解】二次函数的对称轴， 则最小值在处，． 端点值：，；，，所以最大值为6． 则二次函数，时值域为， 故选：B. 2．已知函数的图象的对称轴为直线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象的对称性和单调性比较大小即可. 【详解】已知函数的图象的对称轴为直线， 所以， 且二次项系数，图象开口向上， 所以该函数在上单调递增， 因为，所以， 即， 故选：B. 3．函数在上是（   ） A．递增函数 B．递减函数 C．先递增再递减的函数 D．先递减再递增的函数 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性即可得解. 【详解】函数为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以在先递减再递增的函数， 故选：. 4．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数单调性结合题意列出不等式即可得解. 【详解】函数，图像开口向上，对称轴为， 因为在区间上是减函数， 所以，， 则的取值范围是， 故选：. 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是___. 【答案】 【分析】分情况讨论，结合一次函数与二次函数的单调性求解. 【详解】当时：函数，这是一次函数， 因为，所以在上单调递减，不满足在上单调递增的条件； 当时：函数是二次函数，其对称轴为， 若，函数图象开口向下，函数在对称轴右侧单调递减，不满足在上单调递增的条件； 若，函数图象开口向上，要使函数在上单调递增， 需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．二次函数的最大值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的最值公式求值即可. 【详解】已知中，二次项系数小于0，图象开口向下， 所以当时，有最大值为， 故答案为：. 7．的值域是____________ 【答案】 【分析】根据函数在定义域内的单调性，即可求解. 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴是y轴， 所以该函数在区间上递减，在区间上递增， 所以当时，函数取得最小值，即， 当时，函数取得最大值，即， 所以函数的值域是. 故答案为：. 8．已知二次函数， (1)当时，请写出函数的单调递增区间， (2)如果它的图像经过原点，求m的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）将代入中 ，判断图像的开口方向，求出对称轴即可得解. （）将原点代入中即可得解. 【详解】（1）当时，二次函数，图像开口向上，对称轴为， 所以增区间为. （2）二次函数过原点， 所以，解得或, 因为函数为二次函数，所以舍去, 综上所述：. 【考点3 反比例函数】 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【即时训练】 1．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．由原式得到，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意； B．该函数式表示与成正比例关系，故本选项不符合题意； C．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例图像，判断图像位置即可. 【解析】对于反比例函数，由题意得，且， 根据反比例函数图像得：该反比例函数图像在第四象限， 故选：D. 3．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， ∵，，∴， 故选：B. 4．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，根据函数图象即可判断减区间. 【解析】   由图象可知单调减区间为，， 又因为单调区间有多个单调区间要分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接． 故选：C. 5．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意； 故选：C. 6．函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合一次函数与反比例函数的性质进行讨论即可求得. 【解析】当时，反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、二、四象限，故B错误，D正确. 故选：D. 7．某装置中压强与受力面积的关系为．当时，从增加到，则压强变化量为（    ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】分别将代入解析式，求出变化前后的压强即可得出压强变化量. 【详解】已知， 初始压强，变化后， 变化量． 所以压强变化量为减少， 故选：A. 8．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 【答案】 【解析】∵点、、在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴， 故答案为：. 1.（2023·四川高职单招·真题T13）如果函数的值域为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用配方法求出函数的值域，结合条件列出的方程即可得解. 【详解】因，所以，当且仅当时取等号， 故函数的值域为， 又函数的值域为， 所以，即，又，所以. 故答案为：2. 2.（2022·四川高职单招·真题T15）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 （1）求实数的值 （2）设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义，结合，代入即可求解. （2）结合二次函数的单调性即可求解 【小问1详解】 因为是定义在R上的偶函数，，且， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，对称轴为， 又因为函数在区间内为增函数， 所以， 故k的取值范围为. 3.（2021·四川高职单招·真题T06）下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数、正弦函数、余弦函数、二次函数的单调性做出判断即可 【详解】对于A，，一次函数为增函数，故正确； 对于B，，正弦函数在上有增有减，故错误； 对于C，，余弦函数在上有增有减，故错误； 对于D，，二次函数在上有增有减，故错误； 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $