专题8 函数的奇偶性及周期性（讲义）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性及周期性 ( 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性 . 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 3 . 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期 . ) 【考点1 函数的奇偶性】 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 【即时训练】 1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数的图像关于原点中心对称，且，则（    ）． A． B． C． D． 3．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 4．已知函数是奇函数，且时，，则______． 5．已知函数在定义域上是偶函数，则____________. 6．已知函数是定义在上偶函数，且，则__________. 7．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 8．函数在上是奇函数，当时，，则当时，求的解析式. 【考点2 函数的周期性】 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 3．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 4．已知偶函数的定义域为R，当时，满足，当时，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 6．已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 9．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 10．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 1.（2025·四川高职单招·真题T09） 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2023·四川高职单招·真题T07）下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3.（2023·四川高职单招·真题T13）如果函数的值域为，则_________． 4.（2022·四川高职单招·真题T15）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 （1）求实数的值 （2）设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性及周期性 ( 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性 . 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 3 . 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期 . ) 【考点1 函数的奇偶性】 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为的定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，且在定义域R上是增函数，故选项A正确； 因为的定义域是，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，且在区间和上是减函数， 故选项B不符合题意； 因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数，不是奇函数，且在区间上单调递减， 在区间上单调递增，故选项C不符合题意； 因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，且在实数集R上单调递减，故选项D不符合题意. 故选：A. 2．若函数的图像关于原点中心对称，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为函数的图像关于原点中心对称，且， 所以. 故选：C. 3．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质，结合函数的单调性即可得解. 【详解】因为是偶函数，其图象关于轴对称， 又在上是减函数，所以在上是增函数， 因为，所以. 故选：B. 4．已知函数是奇函数，且时，，则______． 【答案】 【分析】由是奇函数及题中条件，写出时的解析式，再将代入，即可求得. 【详解】因为是奇函数，且时，， 当时，即，， 所以. 故答案为：. 5．已知函数在定义域上是偶函数，则____________. 【答案】 【分析】由题意，根据偶函数的定义域关于原点对称，列方程可求解. 【详解】因为函数在定义域上是偶函数， 所以定义域关于原点对称. 即，解得. 当时，符合题意. 所以. 故答案为： 6．已知函数是定义在上偶函数，且，则__________. 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是定义在上偶函数，又， 所以. 故答案为：1. 7．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）先求解函数的定义域，再根据函数的奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ∴， ∴函数是偶函数； （2）函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ∴， ， ∵，， ∴函数是非奇非偶函数. 8．函数在上是奇函数，当时，，则当时，求的解析式. 【答案】 【分析】令时，，代入得到解析式，再由函数在上是奇函数，可知，得出时，求的解析式. 【详解】当时，，则 又由于在上是奇函数，故 故当时， . 【考点2 函数的周期性】 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数， 故选：C. 2．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数， 所以为的周期，即， 所以， 故选：A. 3．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题知是上周期为的奇函数， 所以有， ， 故， 故选：D. 4．已知偶函数的定义域为R，当时，满足，当时，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的周期性和奇偶性，即可求解. 【详解】因为当时，函数满足， 所以当时，函数是周期为4的函数， ， 又函数是定义域为R的偶函数，当时，， 所以， 所以. 故选：C． 5．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期性和奇函数的定义，结合题意即可求解. 【解析】对任意，都有， 函数为周期为6的周期函数， ， 又函数为奇函数，且， ， 故选：A． 6．已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】， ，， ， 故选：A. 7．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对， 所以函数的最小正周期为， 又时，， 因此， 故选：C. 8．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】函数是定义在上周期为4的奇函数, , 又, 所以， 故选：A. 9．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的周期性、奇偶性、单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的周期为6的偶函数， 所以，，， 又函数在上是减函数， 所以，即. 故选：C. 10．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 【答案】, 【解析】解:由题意可知,; ． 1.（2025·四川高职单招·真题T09） 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为当时，， 则， 因为函数为奇函数， 所以， 故选：A 2.（2023·四川高职单招·真题T07）下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的定义即可得解. 【详解】选项,,所以不是偶函数. 选项,,所以不是偶函数. 选项,,所以是偶函数. 选项,,所以不是偶函数. 故选:. 3.（2023·四川高职单招·真题T13）如果函数的值域为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用配方法求出函数的值域，结合条件列出的方程即可得解. 【详解】因，所以，当且仅当时取等号， 故函数的值域为， 又函数的值域为， 所以，即，又，所以. 故答案为：2. 4.（2022·四川高职单招·真题T15）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 （1）求实数的值 （2）设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义，结合，代入即可求解. （2）结合二次函数的单调性即可求解 【小问1详解】 因为是定义在R上的偶函数，，且， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，对称轴为， 又因为函数在区间内为增函数， 所以， 故k的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $