专题7 函数的单调性及最值（讲义）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性及最值 ( 【复习目标】 1. 理解 函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性 . 2 . 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3 . 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法 . ) 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据一次函数解析式判断单调性即可. 【详解】因为函数的, 所以函数在上是减函数. 故选：B. 2．在上为减函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义逐个判断即可. 【详解】A. 开口向上，对称轴为，在上为增函数，不符合题意； B. ，，在上为增函数，不符合题意； C. ，，在上为减函数，符合题意； D. 开口向上，对称轴为，在上先减再增，不符合题意. 故选：C. 3．下列函数在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数的单调性即可解答. 【详解】中，， 所以在上是增函数，故A错误， 图象开口向上，对称轴为， 所以在上是增函数，故B错误， 图象开口向下，对称轴为， 所以在上是减函数，故C正确， 中，， 所以在上是增函数，故D错误， 故选：C. 4．函数在上是增函数，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增函数的性质判断即可； 【详解】增函数满足时，. A选项：，故，错误； B选项：，故，正确； C选项：，故，错误； D选项：，故，错误； 故选：B 5．函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在上是增函数即可求解． 【详解】∵函数在上是增函数， ∴， ∴． 故选：D． 6．若一次函数是减函数，则k______0. 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性性质进行解析. 【详解】对于一次函数，是斜率. 当时，函数是增函数，随着x增大，y也增大，为增函数. 当时，函数是减函数，随着x增大，y减小，为减函数. 故答案为：. 7．若在上是增函数，则的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性的概念即可求解. 【详解】由题意得，因为在上是增函数，且. 所以，解得，即解集为. 故答案为：. 8．画函数的图象，并求函数的单调区间. 【答案】图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】作出函数图象，根据图象写出单调区间. 【详解】作图如下，    则由图可知，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 2．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】∵，等号成立当且仅当， ∴函数的最小值是， 故选：C. 3．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=， 则， 故选：A. 4．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 5．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 6．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可解得. 【详解】由题，函数， 函数对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则在区间内，函数的最大值为，最小值为， 故函数值域为. 故选：A. 7．如图所示为函数，的图象，下列说法正确的是（       ）    A．在上是减函数，在上是增函数 B．在上的最大值为3，最小值为 C．在上有最大值3，最小值 D．当直线与的图象有3个交点时， 【答案】C 【分析】结合函数的图象，分析其单调性与最值判断ABC，分析其与的交点判断D，从而得解. 【解析】对于A，在上是先递增后递减的函数，故A错误； 对于B，在上无最小值，故B错误； 对于C，在处取得最大值3，在处取得最小值，故C正确； 对于D，当直线与的图象有3个交点时，，故D错误. 故选：C. 8．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． 9．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求解题中二次函数解析式即可； （2）根据二次函数在定区间上的单调性求解即可. 【解析】解：（1）设二次函数为，，由题意得 解得 所以函数． （2）函数，开口向下，对称轴， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以， ． 1.（2021·四川高职单招·真题T06）下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数、正弦函数、余弦函数、二次函数的单调性做出判断即可 【详解】对于A，，一次函数为增函数，故正确； 对于B，，正弦函数在上有增有减，故错误； 对于C，，余弦函数在上有增有减，故错误； 对于D，，二次函数在上有增有减，故错误； 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性及最值 ( 【复习目标】 1. 理解 函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性 . 2 . 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3 . 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法 . ) 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．以上都不对 2．在上为减函数的是（      ） A． B． C． D． 3．下列函数在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 4．函数在上是增函数，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 6．若一次函数是减函数，则k______0. 7．若在上是增函数，则的解集为__________. 8．画函数的图象，并求函数的单调区间. 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 2．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 3．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 4．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 6．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 7．如图所示为函数，的图象，下列说法正确的是（       ）    A．在上是减函数，在上是增函数 B．在上的最大值为3，最小值为 C．在上有最大值3，最小值 D．当直线与的图象有3个交点时， 8．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 9．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 1.（2021·四川高职单招·真题T06）下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $