专题4 区间及一元二次不等式（讲义）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 区间及一元二次不等式 ( 【复习目标】 1. 熟练掌握一元一次不等式及一元二次不等式的解法 . 2. 理解 一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式来解决实际问题 . ) 【考点1 区间】 1. 区间的表示 （1）设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a＜x＜b} 开区间 {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 （2）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 ． 【即时训练】 1．集合，用区间表示成（    ） A． B． C． D． 2．已知，集合，则（    ）. A． B． C． D． 3．不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 4．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 5．集合可用区间表示为_____________． 6．用区间法表示下列不等式的解集. （1） ____________     （2）________________ （3）________________    （4）_____________ （5）____________     （6）_____________ 7．解不等式组，并把解集用区间表示出来. 8．完成下列表格 集合表示 数轴表示 区间表示 【考点2 一元一次不等式】 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 ． 【即时训练】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的整数解是 . 4．已知不等式组的解集是，则= . 5．解不等式， (1) (2). 6．某商店购进一批商品，单价为 50 元，计划以元的单价出售. (1)若要保证销售 100 件商品的利润为 2000 元，求售价； (2)为了保证销售量不少于 100 件，且销售总利润不少于 3000 元，求的取值范围. 【考点3 一元二次不等式】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即时训练】 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 3．不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．R 4．若解集是，则（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为_________. 6．不等式 的解集是____ 7．求不等式的解集. 8．已知不等式的解集为，求实数的值. 1.（2025·四川高职单招·真题T04）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·四川高职单招·真题T04）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3.（2023·四川高职单招·真题T04） 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4.（2022·四川高职单招·真题T03） 一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5.（2021·四川高职单招·真题T04） 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. 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A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念及运算可求解. 【详解】因为，集合， 故. 故选：B 3．不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】因为，所以，解之得， 故该不等式组的解集是. 故选：C. 4．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间与不等式解集的关系，进行求解. 【详解】集合，用的是描述法，左右取到端点，用闭区间表示， 所以集合用区间表示为. 故选：D 5．集合可用区间表示为_____________． 【答案】 【分析】根据区间的定义与表示书写. 【详解】集合用区间表示为. 故答案为： 6．用区间法表示下列不等式的解集. （1） ____________     （2）________________ （3）________________    （4）_____________ （5）____________     （6）_____________ 【答案】 【分析】根据区间的表示方法即可求解. 【详解】（1）可表示为； （2）可表示为； （3）可表示为； （4）可表示为； （5）可表示为； （6）可表示为. 7．解不等式组，并把解集用区间表示出来. 【答案】 【分析】先求出不等式组的解，再用区间表示出来即可. 【详解】不等式组， 解得， 故原不等组的解集用区间表示为. 8．完成下列表格 集合表示 数轴表示 区间表示 【答案】答案见解析 【分析】由集合的描述法、数轴、区间表示的定义填写即可. 【详解】 集合表示 数轴表示 区间表示 【考点2 一元一次不等式】 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 【即时训练】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质解不等式. 【详解】根据不等式的性质，不等式可化为，解得. 故选：A. 2．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对不等式组分别得到解集，求得交集得到答案. 【详解】对于不等式，解得的范围是， 对于不等式，解得的范围是， 因此不等式组的解集是， 故选：D. 3．不等式组的整数解是 . 【答案】 【解析】，由①得：，由②得：， ∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：， 故答案为：． 4．已知不等式组的解集是，则= . 【答案】4 【解析】由的解集是可知，，， 则， 故答案为：4． 5．解不等式， (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元一次不等式即可解得. （2）解一元一次不等式组即可解得. 【详解】（1）由题，， 可化为， 解得. （2）由题，， 解得，则. 6．某商店购进一批商品，单价为 50 元，计划以元的单价出售. (1)若要保证销售 100 件商品的利润为 2000 元，求售价； (2)为了保证销售量不少于 100 件，且销售总利润不少于 3000 元，求的取值范围. 【答案】(1)70元 (2) 【分析】（1）根据利润与售价的关系，列出等式，再求解即可. （2）根据利润公式，再结合题目中的数量限制条件列不等式组求解. 【详解】（1）因为利润=(售价-进价)×销售量，可列方程，解得. 所以售价为 70 元. （2）设销售量为，则 可列不等式组， 因为，所以根据第一个不等式. 因为，所以，解不等式，解得. 又因为，所以的取值范围是. 【考点3 一元二次不等式】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即时训练】 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 2．不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】先将不等式化简，再解一元二次不等式即可得解. 【详解】将化简，得， 解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 3．不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．R 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式的可化为，方程的两根分别为，. 故解集为. 故选：C. 4．若解集是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解和系数的关系列式求值即可. 【详解】已知解集是， 则当时，， 所以. 故选：A. 5．不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为方程可化为， 方程的根为或， 所以不等式可化为, 即，不等式的解集为. 故答案为：. 6．不等式 的解集是____ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，等价于，即， 解得，则解集为. 故答案为：. 7．求不等式的解集. 【答案】 【分析】根据一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系求解. 【详解】令得 或. 故不等式的解集为. 8．已知不等式的解集为，求实数的值. 【答案】 【分析】根据不等式的解集求参数. 【详解】根据题意可得：方程的两根分别为:， 所以，解这个方程组得： . 1.（2025·四川高职单招·真题T04）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元二次不等式的方法即可求解. 【详解】已知， 则或， ， ，无解， 故不等式的解集为， 故选：C 2.（2024·四川高职单招·真题T04）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法即可求出. 【详解】由不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3.（2023·四川高职单招·真题T04） 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可求解. 【详解】令得或， 故不等式的解集为. 故选：D 4.（2022·四川高职单招·真题T03） 一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】一元二次不等式，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 5.（2021·四川高职单招·真题T04） 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可求. 【详解】原式得，，即或； 解得或，即. 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $