专题2充要条件（讲义）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 ( 【复习目标】 1. 了解命题的形式，会判断命题的真假，理解 命题中条件和结论的关系 . 2. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握 充分、必要条件的判断方法 . 3. 掌握 充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围 . ) 【考点1 命题】 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题． (6)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 【即时训练】 1．下列命题改写成 “如果 p，那么 q” 的形式后，条件 p 和结论 q 对应正确的是（   ） 原命题：“菱形的对角线互相垂直平分” A．p：菱形，q：对角线互相垂直平分 B．p：一个四边形是菱形，q：它的对角线互相垂直平分 C．p：对角线互相垂直平分，q：一个四边形是菱形 D．p：一个四边形的对角线互相垂直平分，q：它是菱形 【答案】B 【分析】根据题意，结合命题的条件和结论，即可求解. 【详解】原命题的本质是“所有菱形都具有对角线互相垂直平分的性质”， 改写为“如果p，那么q”时，条件p需明确“主体 + 属性”（一个四边形是菱形）， 结论q需对应“主体的性质”（它的对角线互相垂直平分）. A 选项中p仅为“菱形”，未明确“一个四边形”，表述不完整； B选项条件和结论表述完整； 选项颠倒了条件和结论，描述的是“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，与原命题逻辑关系相反. 故选：B. 2．下列命题是真命题的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．若，，则 C．若整数a是素数，则a是奇数 D．若，则 【答案】A 【分析】根据命题的定义对各项进行判断． 【详解】A．根据矩形的性质，矩形的对角线相等，所以该命题是真命题， B．当，，，时，满足，，但，，此时，所以该命题是假命题， C．取，而2是素数，但不是奇数，所以该命题是假命题， D．当，时，，，满足，但，所以该命题是假命题， 故选：A. 3．下列语句不是命题的是（   ） A．今天的天真蓝呀！ B．100101是整数 C．方程的解是 D．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年的日子 【答案】A 【分析】根据命题的定义对各项进行判断． 【详解】选项A：“今天的天真蓝呀！”是感叹句，所以它不是命题， 选项B：“100101是整数”是陈述句，并且可以判断其为真，所以它是命题， 选项C：由方程可得，解得或， 所以“方程的解是”是陈述句，且可以判断其为假，所以它是命题， 选项D：“2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年的日子”是陈述句，且可以判断其为真，所以它是命题， 故选：A. 4．下列式子或句子为命题的是（   ） A． B．请你爱惜公物 C． D．你学习好吗？ 【答案】A 【分析】根据命题的定义对各项进行判断． 【详解】A．不成立，所以是假命题， B．是祈使句，不是命题， C．不能判断真假，所以不是命题， D．你学习好吗？是疑问句，所以不是命题， 故选：A. 5．下列命题中是真命题的是（   ） ①“”是“”的必要条件； ②“”是“”的必要条件； ③“”是“”的必要条件； ④“函数的定义域关于坐标原点对称”是“函数为奇函数”的必要条件． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据必要条件的定义进行判断． 【详解】，故①是真命题； 若，则，所以，故②是假命题； 若，则或，所以，故③是假命题； 函数为奇函数⇒函数的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题， 故选：D. 6．已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】. 【分析】根据命题的真假，分类求解不等式即可 【详解】因为命题，是真命题， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．请将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)一元二次方程有两个实数根; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）根据命题的概念改写并判断即可. 【详解】（1）由一元二次方程有两个实数根， 可得，若该方程是一元二次方程，则该方程有两个实数根，为假命题. （2）由负数的立方是负数， 可得，若一个数是负数，则这个数的立方也是负数，为真命题. （3）由对顶角相等， 可得，若两个角是对顶角，则它们相等，为真命题. 8．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】（1）取即可判断， （2）根据不等式的性质即可求解， （3）（4）举反例即可求解. 【详解】（1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题 【考点2 充要条件】 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【即时训练】 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，成立，故充分性成立； 当时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 2．下列选项中，是 的充分条件的是（  ） A． B．是矩形， 是正方形 C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件的概念求解即可. 【详解】选项A.，无法推出，不符. 选项B.是矩形，无法推出是正方形，不符. 选项C.，符合. 选项D.取，满足，但，不满足，故无法推出. 故选：C. 3．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式，结合充分条件及必要条件的定义即可得解. 【详解】，即，，即，解得， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A. 4．已知，则p是q的什么条件（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】由题可知， 因为的范围比的范围小， 因此. 故选A. 5．“等式成立”是“等式成立”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当等式成立时，则且， 所以等式成立，故充分性成立； 当等式成立时则或， 所以等式不一定成立，故必要性不成立， 综上：“等式成立”是“等式成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 6．“”是“”的_________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”）. 【答案】充分不必要 【分析】由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，若，则成立，故“”是“”的充分条件， 若，则或，不一定有，故“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 7．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设，，根据题意是的真子集，可得关于的不等式即可求解. 【详解】因为命题，设， 由命题，设， 因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 8．已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集运算结合一元二次不等式求解即可解得. （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 则. （2）由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，故实数的取值范围为. 【考点3 充要条件和集合的关系】 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 1．已知集合，则 “” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】判断充分性：时，x必然满足，充分性成立； 判断必要性：时，x 可能是4，无法推出，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据可得出，利用集合的包含关系可求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又因为集合，， 则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设集合，，命题p：“”，命题q：“”.若 “p是q的必要不充分条件”，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将“p是q的必要不充分条件”转化为集合的包含关系，由此求解即可. 【详解】命题p：“”，命题q：“”， 因为p是q的必要不充分条件，可知是的真子集， 所以. 故选：C. 4．已知集合，则“”的充要条件是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算和集合间的包含关系以及充要条件的定义求解. 【详解】因为，，， 所以或，解得或， 则“”的充要条件是或， 故选：D. 5．已知集合． （1）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________； （2）若是的必要不充分条件，则实数_____________．（答案不唯一，写出符合条件的一个取值即可） 【答案】 4（答案不唯一） 【分析】（1）根据充分不必要条件可得集合A与集合B的关系，由此可解； （2）根据必要不充分条件可得集合A与集合B的关系，由此可解. 【详解】因为集合. （1）若是的充分不必要条件，则⫋，可得； 故答案为：； （2）若是的必要不充分条件，则⫋，可得， 可取或....（答案不唯一） 故答案为：4（答案不唯一）. 6．已知，，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，及集合间的关系，即可求解. 【详解】 因为q是p的必要不充分条件，所以， 所以，因此. 故答案为：． 7．已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解； （2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围. （1）若，则，则有. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 即，解得， 故实数的取值范围是. 8．已知实数x满足集合，实数x满足集合或． (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果； （2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果． （1）因为，所以，又或． 所以 （2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或， 故实数a的取值范围是. 1.（2024·四川高职单招·真题T09） “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合条件的充分性及必要性可求. 【详解】且，则，充分性得证， 若，，则， 但，，必要性无法证明， 故“且”是“”的充分不必要条件； 故选：A. 2.（2023·四川高职单招·真题T09）设，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据成立可以推出，成立不能推出，并结合充要条件的定义可判断. 【详解】因为成立可以推出，故“”是“”的充分条件； 取，满足，但不成立，即成立不能推出， 故“”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 ( 【复习目标】 1. 了解命题的形式，会判断命题的真假，理解 命题中条件和结论的关系 . 2. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握 充分、必要条件的判断方法 . 3. 掌握 充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围 . ) 【考点1 命题】 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为 ． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为 ． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为 ． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题． (6)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 【即时训练】 1．下列命题改写成 “如果 p，那么 q” 的形式后，条件 p 和结论 q 对应正确的是（   ） 原命题：“菱形的对角线互相垂直平分” A．p：菱形，q：对角线互相垂直平分 B．p：一个四边形是菱形，q：它的对角线互相垂直平分 C．p：对角线互相垂直平分，q：一个四边形是菱形 D．p：一个四边形的对角线互相垂直平分，q：它是菱形 2．下列命题是真命题的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．若，，则 C．若整数a是素数，则a是奇数 D．若，则 3．下列语句不是命题的是（   ） A．今天的天真蓝呀！ B．100101是整数 C．方程的解是 D．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年的日子 4．下列式子或句子为命题的是（   ） A． B．请你爱惜公物 C． D．你学习好吗？ 5．下列命题中是真命题的是（   ） ①“”是“”的必要条件； ②“”是“”的必要条件； ③“”是“”的必要条件； ④“函数的定义域关于坐标原点对称”是“函数为奇函数”的必要条件． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 6．已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______. 7．请将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)一元二次方程有两个实数根; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等. 8．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【考点2 充要条件】 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【即时训练】 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．下列选项中，是 的充分条件的是（  ） A． B．是矩形， 是正方形 C． D． 3．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则p是q的什么条件（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“等式成立”是“等式成立”的________条件. 6．“”是“”的_________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”）. 7．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 8．已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【考点3 充要条件和集合的关系】 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 1．已知集合，则 “” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设集合，，命题p：“”，命题q：“”.若 “p是q的必要不充分条件”，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则“”的充要条件是（ ） A． B． C． D．或 5．已知集合． （1）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________； （2）若是的必要不充分条件，则实数_____________．（答案不唯一，写出符合条件的一个取值即可） 6．已知，，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________. 7．已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 8．已知实数x满足集合，实数x满足集合或． (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 1.（2024·四川高职单招·真题T09） “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2023·四川高职单招·真题T09）设，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $