专题2 充要条件（练习）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为指导，通过分层训练构建充分必要条件从概念辨析到综合应用的完整方法体系，强化逻辑推理与数学表达 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|8题|“定义辨析→充分性验证→必要性验证”三步法|从充分必要条件定义出发，结合集合、函数等概念形成判断框架| |综合应用|5题|几何意义转化、参数范围推理策略|关联直线与圆位置关系、函数单调性等跨模块知识，深化条件关系应用| |真题再现|2题|考向特征分析与解题模板迁移|通过真题验证方法体系，强化对高频考点的精准突破|

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》练习 专题1 集合 一、单选题 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】，所以，即，满足必要性， 但时，取，不满足，不满足充分性， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知集合，则 “” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】判断充分性：时，x必然满足，充分性成立； 判断必要性：时，x 可能是4，无法推出，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．设p：一个数是6的倍数；q：一个数是3的倍数.则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】如果一个数是6的倍数，那么它一定是3的倍数，故充分性成立； 如果一个数是3的倍数，它不一定是6的倍数例如3、9、15等都是3的倍数但不是6的倍数，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的概念结合正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】由题，函数在区间上单调递增， 若，且，根据单调性可得，充分性成立； 若，且，在该区间上单调递增，可推出，必要性成立， 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题 6．一次函数的图像不经过第一象限的充要条件是_________ 【答案】 【分析】由一次函数和充要条件的概念即可得解. 【详解】一次函数的图像不经过第一象限， 则，因此充要条件是. 故答案为：. 7．“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】四边形是菱形可以得到四边形对角线互相垂直，故充分性成立； 若四边形对角线互相垂直，那么该四边形可能为筝形或对角线垂直的不规则四边形，不一定为菱形，故必要性不成立； 故“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 8．设一个整数能被4整除，一个整数是偶数，则p是q的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】能被4整除的一定是偶数，故能推出， 偶数不一定能被4整除，故不能推出， 所以p是q的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 9．设，那么的一个充要条件是________． 【答案】且 【分析】根据充要条件的定义即可解得. 【详解】由题，若，则， 但，只能，所以且， 即且； 当时，， 即且， 故的一个充要条件是且. 故答案为：且 10．直线与圆有一个交点的充要条件是________. 【答案】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，列出关于 的方程求解. 【详解】圆的方程化为标准形式为， 圆心 ，半径 ， 直线方程化为一般式为， 由圆心到直线的距离等于半径， 得，即， 平方得，，即， 解得， 所以直线与圆有一个交点的充要条件是. 故答案为：. 三、解答题 11．判断下列p是否为q的充分条件.​ (1)p：，q：；​ (2)p：a是整数，q：a是有理数；​ (3)p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形. 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】根据充分条件的概念判断即可. 【详解】（1）p：，q：， 由不一定得到，例，故充分性不成立， 所以p不是q的充分条件； （2）p：a是整数，q：a是有理数， 有理数的定义是“整数和分数的统称”， 若a是整数一定可以得到a是有理数，故充分性成立， 所以p是q的充分条件； （3）p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形， 若一个三角形是等腰三角形不一定得到该三角形是等边三角形，故充分性不成立， 所以p不是q的充分条件. 12．已知条件，条件，且q是p的充分条件，求m 的值. 【答案】 或 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】，解得 或 ， （），解得 ， 因为 是 的充分条件，得， 即 的解集是 的解集的子集. 的解为 ，它必须是 的解， 即或， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 因此 或 . 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设命题：“”，命题：“”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．""是""的________条件. 7．在平面直角坐标系中，点在第一象限的充要条件是__________.（用区间表示） 8．已知，则的一个充要条件是_______ 9．“”是“”的_________条件（填“充分”“必要”或“充要”）. 10．“函数过原点”的充要条件是_____________. 三、解答题 11．下列各题中，p分别是q的什么条件？ (1)，； (2)，； (3)p：两个三角形的对应边相等，q：两个三角形的对应角相等； (4)p：点在第二象限，. 12．已知命题，命题. (1)分别求出、对应的的取值范围； (2)判断是的什么条件，并说明理由. 1.（2024·四川高职单招·真题T09） “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2023·四川高职单招·真题T09）设，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》练习 专题1 集合 一、单选题 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】，所以，即，满足必要性， 但时，取，不满足，不满足充分性， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知集合，则 “” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】判断充分性：时，x必然满足，充分性成立； 判断必要性：时，x 可能是4，无法推出，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．设p：一个数是6的倍数；q：一个数是3的倍数.则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】如果一个数是6的倍数，那么它一定是3的倍数，故充分性成立； 如果一个数是3的倍数，它不一定是6的倍数例如3、9、15等都是3的倍数但不是6的倍数，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的概念结合正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】由题，函数在区间上单调递增， 若，且，根据单调性可得，充分性成立； 若，且，在该区间上单调递增，可推出，必要性成立， 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题 6．一次函数的图像不经过第一象限的充要条件是_________ 【答案】 【分析】由一次函数和充要条件的概念即可得解. 【详解】一次函数的图像不经过第一象限， 则，因此充要条件是. 故答案为：. 7．“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】四边形是菱形可以得到四边形对角线互相垂直，故充分性成立； 若四边形对角线互相垂直，那么该四边形可能为筝形或对角线垂直的不规则四边形，不一定为菱形，故必要性不成立； 故“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 8．设一个整数能被4整除，一个整数是偶数，则p是q的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】能被4整除的一定是偶数，故能推出， 偶数不一定能被4整除，故不能推出， 所以p是q的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 9．设，那么的一个充要条件是________． 【答案】且 【分析】根据充要条件的定义即可解得. 【详解】由题，若，则， 但，只能，所以且， 即且； 当时，， 即且， 故的一个充要条件是且. 故答案为：且 10．直线与圆有一个交点的充要条件是________. 【答案】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，列出关于 的方程求解. 【详解】圆的方程化为标准形式为， 圆心 ，半径 ， 直线方程化为一般式为， 由圆心到直线的距离等于半径， 得，即， 平方得，，即， 解得， 所以直线与圆有一个交点的充要条件是. 故答案为：. 三、解答题 11．判断下列p是否为q的充分条件.​ (1)p：，q：；​ (2)p：a是整数，q：a是有理数；​ (3)p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形. 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】根据充分条件的概念判断即可. 【详解】（1）p：，q：， 由不一定得到，例，故充分性不成立， 所以p不是q的充分条件； （2）p：a是整数，q：a是有理数， 有理数的定义是“整数和分数的统称”， 若a是整数一定可以得到a是有理数，故充分性成立， 所以p是q的充分条件； （3）p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形， 若一个三角形是等腰三角形不一定得到该三角形是等边三角形，故充分性不成立， 所以p不是q的充分条件. 12．已知条件，条件，且q是p的充分条件，求m 的值. 【答案】 或 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】，解得 或 ， （），解得 ， 因为 是 的充分条件，得， 即 的解集是 的解集的子集. 的解为 ，它必须是 的解， 即或， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 因此 或 . 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分、必要条件的定义即可得解. 【详解】由可以推出，充分性成立； 由可以推出或，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性，得出底数的取值范围，从而得到答案. 【详解】函数在上是减函数，则，， 所以函数在上是增函数，充分性成立， 若函数 为增函数，则底数， 解得 ，结合题干条件且，可得且， 此时函数在上不一定是减函数，必要性不成立， 故“函数在上是减函数”是 “函数在上是增函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质及充要条件的概念可判断结果. 【详解】若，由不等式的性质可得，即； 取，满足，但不成立，即， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知命题，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必要条件的概念列不等式求解即可. 【详解】已知命题，，即：， 因为是的必要不充分条件， 所以， ，解得 所以实数的取值范围为． 故选：D． 5．设命题：“”，命题：“”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念即可. 【详解】已知由得，， 解得或， 所以若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 6．""是""的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分必要条件概念求解即可. 【详解】能推出，但，不能推出. ""是""的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 7．在平面直角坐标系中，点在第一象限的充要条件是__________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据题意列不等式组，即可解得. 【详解】依题意，点在第一象限， 可列不等式组得：，解得， 用区间表示：. 故答案为：. 8．已知，则的一个充要条件是_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为指数函数的底数， 所以在上单调递增， 则， 所以的一个充要条件是（等价于的条件皆可）. 故答案为：（答案不唯一）. 9．“”是“”的_________条件（填“充分”“必要”或“充要”）. 【答案】必要 【分析】根据必要条件的判断求解. 【详解】若，则一定成立，故必要性成立， 但时，或，故充分性不成立， 故“”是“”的必要条件. 故答案为：必要. 10．“函数过原点”的充要条件是_____________. 【答案】 【分析】根据充要条件的定义即可得解. 【详解】函数过原点， 将代入函数解析式中得， 所以“函数过原点”的充要条件是， 故答案为：. 三、解答题 11．下列各题中，p分别是q的什么条件？ (1)，； (2)，； (3)p：两个三角形的对应边相等，q：两个三角形的对应角相等； (4)p：点在第二象限，. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)充要条件 (3)充分不必要条件 (4)既不充分也不必要条件 【分析】（1）求解出，再结合充分性与必要性的定义求解即可； （2）根据集合的交集的定义以及两个集合的包含关系求解即可； （3）根据三角形中边与角的关系求解即可. （4）根据第二象限满足，，这一条件，举例求解即可. 【详解】（1）成立的前提是， 将方程两边同时平方有，化简可得或， 由可得成立，故充分性成立； 由不一定得到，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件； （2）， 因此p是q的充要条件； （3）两个三角形的对应边相等，可得两个三角形的对应角相等，故充分性成立； 两个三角形的对应角相等，仅能推出两个三角形相似，无法得到对应边相等，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件； （4）第二象限的点满足，，但不一定成立，例如点，故充分性不成立； 同理可得不一定满足，，例如点，故必要性不成立. 因此p是q的既不充分也不必要条件. 12．已知命题，命题. (1)分别求出、对应的的取值范围； (2)判断是的什么条件，并说明理由. 【答案】(1) (2)充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法求解即可. （2）根据充分条件和必要条件的概念求解即可. 【详解】（1）， 所以命题对应的的取值范围为. ， 所以命题对应的的取值范围为. （2）是的充分不必要条件. 因为的解集是的解集的真子集， 即, 所以是的充分不必要条件. 1.（2024·四川高职单招·真题T09） “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合条件的充分性及必要性可求. 【详解】且，则，充分性得证， 若，，则， 但，，必要性无法证明， 故“且”是“”的充分不必要条件； 故选：A. 2.（2023·四川高职单招·真题T09）设，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据成立可以推出，成立不能推出，并结合充要条件的定义可判断. 【详解】因为成立可以推出，故“”是“”的充分条件； 取，满足，但不成立，即成立不能推出， 故“”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $