专题10 指数幂及指数函数（讲义）-2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂及指数函数 ( 【复习目标】 1. 理念幂的有关概念，熟练运用幂的运算法则 . 2. 理解幂函数的定义，掌握五种常见幂函数的图像和性质. 3 . 理解 指数函数的定义 . 4 . 掌握 指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. ) 【考点1 指数幂】 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 1．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将根式化成分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算即可得答案. . 故选：D. 2．若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分数指数幂可转化为根式形式，再结合偶次根式有意义则被开方数非负数即可求解. 【详解】由题意得，先把转化为根式，即， 要使有意义，则，即，解得， 则的取值范围是. 故选：B. 3．将 写成根式，正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式即可解答. 【详解】， 故选：C. 4．化简的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】，. 所以. 故选：A. 5．将化成分数指数形式_________． 【答案】 【分析】运用根式与分数指数的互化法则即可解答. 【详解】， 故答案为：. 6．_____________ 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 7．化简计算： (1) (2) 【答案】(1)29 (2) 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1） . （2） . 8．求值 (1)； (2). 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）利用无理数指数幂的运算法则计算即可； （2）利用分数指数幂的运算法则计算即可. （1）由； （2）由 . 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R ，a是指数函数的 底数 ． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 1．当且时，无论取何值，函数的图像必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，代入函数解析式，当且时，，即可得解. 【详解】将代入函数中得， 所以函数的图像必过定点. 故选：. 2．若且的图象过点，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式中即可得解. 【详解】且的图象过点， 则，解得（舍）或， 故选：. 3．若指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知指数函数在R上单调递减， 则，解得， 故选：A. 4．_____ （填“>”“<”“=”） 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小. 【详解】底数，指数函数在上单调递增， 因为，所以. 故答案为：. 5．函数在上为______函数（填“单调性”）. 【答案】增 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质即可得解. 【详解】，底数， 所以函数在上为增函数， 故答案为：增. 6．若指数函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】已知指数函数在R上单调递增，则，解得. 即a的取值范围是 故答案为： 7．设指数函数的图像经过点，求的值. 【答案】5 【分析】利用已知点的坐标求出，进而求出函数值. 【详解】已知指数函数的图像经过点，可得， 又且，所以，可得， 所以. 8．已知指数函数（且）的图像经过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，的值； (3)写出该函数的定义域、值域和单调性． 【答案】(1) (2)，， (3)定义域为，值域为，函数在上单调递减 【分析】（1）将点代入函数解析式中即可求解. （2）由（1）可知，将的值代入函数中即可求解. （3）根据指数函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为指数函数（且）的图像经过点， 代入为，解得，所以函数解析式为. （2）因为，所以， ，. （3）函数定义域为，值域为， 因为，所以函数在上单调递减. 1.（2024·四川高职单招·真题T06）已知，，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 且，，， 其中， 所以， 即. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省（高职单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省高职单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂及指数函数 ( 【复习目标】 1. 理念幂的有关概念，熟练运用幂的运算法则 . 2. 理解幂函数的定义，掌握五种常见幂函数的图像和性质. 3 . 理解 指数函数的定义 . 4 . 掌握 指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. ) 【考点1 指数幂】 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 1．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ） A． B． C． D． 2．若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．将 写成根式，正确的是 （   ） A． B． C． D． 4．化简的结果是 （    ） A． B． C． D． 5．将化成分数指数形式_________． 6．_____________ 7．化简计算： (1) (2) 8．求值 (1)； (2). 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 ，a是指数函数的 ． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 【即时训练】 1．当且时，无论取何值，函数的图像必过定点（ ） A． B． C． D． 2．若且的图象过点，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是    （    ） A． B． C． D． 4．_____ （填“>”“<”“=”） 5．函数在上为______函数（填“单调性”）. 6．若指数函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 7．设指数函数的图像经过点，求的值. 8．已知指数函数（且）的图像经过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，的值； (3)写出该函数的定义域、值域和单调性． 1.（2024·四川高职单招·真题T06）已知，，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $