4.2 圆心角与圆周角（第1课时圆心角、弧、弦的关系定理）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆心角、弧、弦的关系定理，通过复习圆的轴对称性与垂径定理导入，结合动手旋转圆形纸片引导学生发现圆的中心对称和旋转不变性，自然引出圆心角概念，再经观察思考推导定理，构建知识支架。 其亮点在于注重动手操作与逻辑推理，如旋转纸片培养几何直观，推导过程发展推理能力，典例综合垂径定理应用。小结明确定理前提与应用，助力学生提升抽象能力，为教师提供清晰教学流程与实例，提升教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.2圆心角与圆周角 第1课时 圆心角、弧、弦的关系定理 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的中心对称性，掌握圆心角的概念。 理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理，能运用它们进行有关的推理和计算。(抽象能力、推理能力) 能用垂径定理与圆心角、弧、弦关系定理解答推理和计算问题。 你知道圆的哪些性质？ 思考 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 2.垂径定理： 1.圆的对称性： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 ●O C D A B E ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CE=DE, AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 圆还有其他性质吗？ 知识回顾 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论? . O A B 180° 圆的对称性 圆是中心对称图形， 圆心就是它的对称中心. 圆的对称性 圆是中心对称图形， 圆心就是它的对称中心. 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α · 圆的旋转不变性 把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得 的图形都与原图形重合,即圆是旋转对称图形. 如图,在☉O上任取两点A,B,连接 OA,OB,得到∠AOB。 ●O • A • B 像∠AOB这样,顶点在圆心的角叫作圆心角。 本章中的圆心角一般指小于平角的角。 ●O • A • B 圆心角∠AOB所对的弦为AB. 任意给出圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 圆心角∠AOB 所对的弧为AB. ( 一条弧（或弦）所对的圆心角只有一个。 · O A B A' B' 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，那么，AB与A'B'，弦AB与弦A'B'有怎样的数量关系？ ( ( 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB =∠A'OB'， 那么，AB=A'B'，弦AB=弦A'B' ( ( · O A B A' B' ∵∠AOA'=∠AOB'+∠B'OA', ∠BOB'=∠BOA+∠AOB',∠AOB=∠A'OB', ∴∠AOA'=∠BOB'。 由于旋转后半径OA 与OA'重合,∠AOB=∠A'OB' 因此半径OB与OB'也重合,即点A与A'重合,点B与B'重合 ∴AB 与A'B' 重合,弦AB 与A'B'重合,即AB=A'B' ,AB=A'B'。 ( ( ( ( (1)在⊙O中，如果∠AOB =∠A'OB'， 那么AB=A'B'，弦AB=弦A'B'。这个结论正确吗? 为什么? ( ( · O A B A' B' (2)在⊙O中，如果AB=A'B'，那么∠AOB=∠A'OB'， 弦AB=弦A'B'正确吗？ ( ( 在⊙O中，如果AB=A'B'，那么∠AOB =∠A'OB'，弦AB=弦A'B' ( ( 注意：因为一条弦所对的弧有两条， 所以由“弦相等”得出“弧相等”时，“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等。 · O A B A' B' (3)在⊙O中，如果弦AB=弦A'B'，，那么AB与A'B'， ∠AOB= ∠A'OB'，正确吗？ ( ( 在⊙O中，如果AB=A'B'， 那么∠AOB =∠A'OB'，AB=A'B' ( ( (4)如图，在等圆⊙O与⊙O'中，如果∠AOB＝∠A'O′B'， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · O A B A' · O' B' · 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠A′O′B′，那么AB= A'B' ，弦AB=弦A'B'. 归纳 ( ( · O A B A' · O' B' · ( ( ( 如图，在等圆⊙O与⊙O'中， 如果 AB=A'B' ,那么 ; 如果 AB=A'B',那么 。 ( ( AB=A'B', ∠AOB=∠A'OB' AB=A'B' , ∠AOB=∠A'OB ( ( 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 圆心角、弧、弦的关系定理： 本页内容揭示了不同数量之间的关系，具有画龙点睛的作用，也是为后面圆周角性质的学习做好铺垫，即可以由任一量推出其他量，所以转化思维就凸显了，老师可以点明这一层意思 例1、如图,AB,CD是☉O的两条弦,且AD=CB。 求证:AB=CD。 典例讲解 解析：要证明AB=CD，我们可以利用同圆中“等弧对等弦”的性质，通过弧的和差关系推导弧AB与弧CD相等，进而证明弦相等。 例1、如图,AB,CD是☉O的两条弦,且AD=CB。 求证:AB=CD。 解：∵AD=CB ∴AD=CB， ( ( ∴AD+BD=CB+BD， ( ( ( ( ∴AB=CD， ( ( ∴AB=CD。 典例讲解 在圆中要证两条弦相等可以 证它们所对的弧相等。 1.如图,AB,CD,MB,MD 都是☉O 的弦,点M 是AC 的中点,AB=CD。 求证:MB=MD。 ( ( ∴AM=CM。 ( ( 解：∵点M是AC的中点, ( ∵AB=CD, ∴AB=CD。 ( ( ∴AM+AB=CM+CD， ( ( ( ( ∴MB=MD。 ( ( ∴MB=MD。 跟踪练习 例2、如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,CB。求证:(1)AD=CB;(2)AE=CE ( ( 证明:(1)∵AB=CD, ∴AB=CD。 ( ( ∴AB-AC=CD-AC。 ( ( ( ( ∴CB=AD。 ( ( A B ●O C D E 典例讲解 两条弦相等可得它们所对的弧相等。 A B ●O C D E (2)如图,连接AC, ∵AD=CB。 ( ( ∴AD=CB。 在△ADC 和△CBA中, AC=CA,AB=CD,AD=CB。 ∴△ADC≌△CBA。 ∴AE=CE。 ∴∠DCA=∠BAC。 典例讲解 在圆中要证两条弦相等可以 证它们所对的圆心角相等。 2.如图,在☉O 中,D,E分别为半径OA,OB上的点,且 AD=BE。C为AB 上一点,连接CD,CE,且CD=CE。 求证:C为AB 的中点。 ( ( 证明：连接OC, ∵AD=BE，OA=OB, ∴OD=OE。 在△ADC 和△CBA中, OD=OE,OC=OC,CD=CE。 ∴△ODC≌△OEC(SSS)。 ∴∠COD=∠COE ∴ AC=BC。 ( ( ∴C为AB 的中点。 跟踪练习 例3、如图，☉O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD. (1)求证:点E是OB的中点; (2)若AB=8,求CD的长. 证明:(1)连接AC ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CD=2CE,AC=AD， ( ( ∴AC=AD。 拓展延申 垂径定理可以证两条弧相等。 ∴△ACD是等边角形 ∵CO是半径，CF⊥AD ∴AC=CD， ( ( ∴AC=CD。 ∴AC=AD=CD。 ∴∠ACD=60° ∵CF⊥AD ∴∠FCD=30° ∵AB⊥CD ∴OE=OC=OB。 ∴点E是OB的中点 拓展延申 ∴△ACD是等边角形 （2）∵CO是半径，CF⊥AD， ∴AC=CD， ( ( ∴AC=CD。 ∴AC=AD=CD。 ∴∠ACD=60° 拓展延申 ∵AB=8 ∴OA=OB=4,BE=OE=2, ∴AE=6, ∵∠FCD=30° tan∠FCD= ∴ = , ∴CE=2, ∴CD=4, 证明:(1)连接OM,ON. ∴OC=OD。 D M B ●O N A C ∵AC=BD,OA=OB, ∵MC⊥AB,ND⊥AB, 例4、如图,C,D是☉O的直径AB上的两点,AC=BD。点M,N在☉O上，MC⊥AB,垂足为点C,ND⊥AB,垂足为点D。 （1）求证:AM=BN。（2）若C,D分别为OA,OB的中点， 则AM= MN=NB成立吗?请说明理由. ( ( ( ( ( 探索创新 ∴AM=BN。 ( ( D M B ●O N A C ∴∠OCM＝∠ODN=90° 在Rt△ABC和 Rt△ABC中， OM=ON,OC=OD。 ∴Rt△ABC≌ Rt△ABC （HL） ∴∠COM＝∠DON. (2)成立。理由如下。连接AM,BN. ∵MC⊥AB,ND⊥AB,C,D分别为OA,OB的中点， 探索创新 在圆中要证两条弧相等可以 证它们所对的圆心角相等。 ∴AM=OM,BN=ON. ∴AM=MN=NB。 ( ( ( D M B ●O N A C ∵ OM=OA,ON=OB。 ∴AM=OM=OA,BN=ON=OB. ∴△OAM与△OBN都是等边角形 ∴∠AOM＝∠BON=60° ∴∠MON=60°. ∴∠AOM＝∠BON=∠MON, 探索创新 在圆中要证两条弧相等可以 证它们所对的圆心角相等。 1.下列说法中，正确的是(　　) A．弦相等所对的弧相等 B．弧相等所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等 C 当堂检测 · O A B C D (1)∵∠AOB＝∠COD，∴_________，________． (2)∵AB＝CD，∴_______________，__________． (3)∵AB＝CD，∴_______________，_________． 2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点。 ( ( AB=CD AB=CD ( ( AB=CD ∠AOB＝∠COD ( ( AB=CD ∠AOB＝∠COD 当堂检测 3.如图，在☉O中，AB=2AC.求证:AB＜2AC. ( ( ●O A B C ∵AB＜AD+BD=2AD, 证明:取AB的中点D,连接AD,BD 则AB=2AD=2BD, ( ( ( ( • D ∵AB=2AC. ( ( ∴AD=BD=AC ∴AD=BD=AC ( ( ( ∴AB＜2AC 当堂检测 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 前提条件：在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 课堂小结 作 用 可证两条弦或两条弧或两个圆心角相等。 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $