专题二十六 气体“两类模型”及“变质量”问题 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦气体实验定律应用，覆盖玻璃管液封、汽缸活塞模型及变质量问题，按单独与关联气体问题分层梳理，通过考点解析、方法指导、典例精讲等环节，帮助学生构建解题框架，突破压强分析、体积关联等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以建模教学为特色，如玻璃管液封模型中结合体积关系与平衡条件推导压强，汽缸活塞模型通过受力分析关联气体定律，培养科学思维与模型建构能力。设置从基础到综合的典例训练，配合即时解析反馈，确保高效突破考点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题二十六 应用气体实验定律解决两类模型问题 讲义 考点一　“玻璃管液封”模型 1.单独气体问题 典例１：如图所示，一根上细下粗、上下分别均匀且上端开口、足够长的薄壁玻璃管，管内用水银柱封住了一段理想气体柱。上下管中水银柱长度h1＝h2＝2 cm，上方玻璃管横截面积为S1，下方玻璃管横截面积为S2，且S2＝2S1，气体柱长度l＝6 cm，大气压强为76 cmHg，气体初始温度为300 K，重力加速度为g。缓慢升高理想气体温度，求: (1)当水银刚被全部挤出粗管时，理想气体的温度; (2)当理想气体温度为451 K时，水银柱下端距粗管上端的距离。 答案　(1)410 K　(2)1.6 cm 解析　(1)设水银刚被全部挤出粗管时水银柱的长度为x， 根据体积关系可得h1S1＋h2S2＝xS1 根据平衡条件可知，开始时理想气体的压强为p1＝p0＋ρg(h1＋h2) 水银刚被全部挤出粗管时理想气体的压强为p2＝p0＋ρgx 由理想气体状态方程有 解得T2＝410 K。 (2)设理想气体温度为451 K时的体积为V3，根据盖－吕萨克定律有 设此时水银柱下端距粗管上端的距离为y，则V3＝(l＋h2)S2＋yS1 解得y＝1.6 cm。 2.关联气体问题 由液柱或活塞封闭的两部分(或多部分)气体，并且由液柱或汽缸相互关联的问题，解题基本思路： (1)分别选取各部分气体为研究对象，找出它们各自遵循的规律，并写出相对应的方程。 (2)依据平衡条件写出各部分气体之间的压强关系，依据几何关系写出各部分气体的体积关系式，作为辅助方程。 (3)活塞类通过连接杆连接问题通常结合受力分析，灵活采用整体法与隔离法求解压强。 (4)多个方程联立求解。若有必要，注意检验求解结果的合理性。 典例2：如图所示，粗细均匀的导热良好U形玻璃管竖直放置，左管口封闭，右端开口，左、右管中分别有长均为10 cm的水银柱A、B。右管上端有一活塞，A、B间、B和活塞间各封闭一段长均为10 cm的空气柱a、b，此时气柱b中气体压强为75 cmHg，A水银柱下表面比B水银柱下表面高5 cm。右侧管足够长，环境温度不变。 (1)求左管顶对水银柱A的压强; (2)若将活塞缓慢向上提，至A、B水银柱下表面相平，求此时a气柱的压强大小和b气柱的长度。 答案　(1)75 cmHg　(2) cmHg　 cm 解析　(1)开始时，气柱a的压强为 pa＝pb＋ρghB＝ cmHg＝85 cmHg 设左管顶对水银柱A的压强为p，则p＋ρghA＝pa 解得p＝75 cmHg。 (2)当左、右两管中水银柱底部相平时，a气柱长为La'＝La＋Δh＝10 cm＋5 cm＝15 cm 设此时a气柱压强为pa'，气体发生等温变化，则paLaS＝pa'La'S 解得pa'＝ cmHg b气柱的压强pb'＝pa'－10 cmHg＝ cmHg 对b气柱有pbLbS＝pb'Lb'S，解得Lb'＝ cm。 考点二　“汽缸活塞”模型 1.“汽缸活塞”模型的解题思路 (1)确定研究对象 ①热学研究对象(一定质量的理想气体); ②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。 (2)分析物理过程 ①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程。 ②对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程。 (3)挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程。 (4)多个方程联立求解。注意检验求解结果的合理性。 2.两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解。 1.单独气体问题 典例3：如图所示，倾角37°的粗糙斜面上有一带活塞的汽缸，汽缸质量M＝8 kg，活塞质量m＝2 kg，横截面积为10 cm2，活塞与汽缸间可无摩擦滑动，汽缸与斜面间动摩擦因数μ＝0.5，大气压强p0＝1×105 Pa，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，汽缸导热良好，环境温度不变，求: (1)汽缸固定在斜面上稳定时，缸内气体压强; (2)在(1)问基础上，汽缸由静止释放后，稳定状态下，缸内气体压强及活塞与汽缸底部距离L2。已知(1)中活塞与汽缸底部距离为27 cm。 答案　(1)1.12×105 Pa　(2)1.08×105 Pa　28 cm 解析　(1)静止时，对活塞受力分析，由平衡条件有mgsin θ＋p0S＝p1S 解得p1＝1.12×105 Pa。 (2)汽缸与活塞在斜面上做匀加速直线运动，对活塞受力分析， 由牛顿第二定律有mgsin θ＋p0S－p2S＝ma 对汽缸和活塞整体分析，由牛顿第二定律有 (M＋m)gsin θ－μ(M＋m)gcos θ＝(M＋m)a 联立解得p2＝1.08×105 Pa 汽缸导热良好，环境温度不变，由玻意耳定律有 p1SL1＝p2SL2，解得L2＝28 cm。 2.关联气体问题 典例4：如图所示，左侧连有一横截面积为S的活塞的汽缸A通过细导管(容积可忽略)与汽缸B相连接，导管里面有一绝热活塞(质量可忽略)。大气压强为p0，汽缸A中的活塞的重力为p0S，活塞到汽缸A底部的距离为L。两汽缸内封闭有温度为27 ℃的同种理想气体。先将整个装置顺时针缓慢转过90°，为使细导管中绝热活塞位置不变，需要给汽缸B加热。忽略一切摩擦，求: (1)汽缸A中活塞下降的距离; (2)汽缸B中气体的最终温度。 答案　(1)　(2)400 K(或127 ℃) 解析　(1)旋转前后，汽缸A中的压强分别为 pA＝p0，pA'＝p0＋p0＝p0 对汽缸A内的气体分析，根据玻意耳定律有pALS＝pA'L'S 汽缸A中活塞下降的距离d＝L－L' 解得d＝。 (2)对汽缸B中气体进行分析，末状态压强pB'＝pA'＝p0 根据查理定律有 其中pB＝pA＝p0，TB＝(27＋273) K＝300 K 解得TB'＝400 K，即127 ℃。 典例5：(2026·安徽阜阳高三月考)我国“蛟龙号”载人潜水器曾在世界最深的马里亚纳海沟下潜超7 000米，创造了当时的世界深潜纪录。某小组设计了一个可测定下潜深度的深度计，如图所示，一汽缸被分成长度均为L的Ⅰ、Ⅱ两部分，在汽缸右端开口处和正中央各有一个体积不计的卡环，在卡环的左侧各有一个厚度不计的活塞A、B，活塞A、B只可以向左移动，活塞密封良好且与汽缸壁之间无摩擦。在潜水前Ⅰ内通过活塞封有150个大气压强的气体，Ⅱ内通过活塞封有600个大气压强的气体，温度均为27 ℃。当该深度计水平放入水下达到一定深度后，水对活塞A产生挤压使之向左移动，通过活塞A向左移动的距离可以测出下潜深度。已知海水的密度ρ=1×103 kg/m3，海面上大气压强p0=1 atm=1×105 Pa，重力加速度g=10 m/s2;不计海水密度随海水深度的变化，假设两部分气体均视为理想气体，温度始终与周围海水温度相同，且海水在一定深度以下温度始终为7 ℃。 (1)当下潜到一定深度，温度计显示为7 ℃，活塞A向左移动的距离为，求此时下潜的深度h; (2)求该深度计能测量的最大下潜深度hm。 答案　(1)1 740 m　(2)6 990 m 解析　(1)温度计显示此时为7 ℃，假设下潜到一定深度时活塞B不动，取Ⅰ内气体为研究对象，由理想气体状态方程可得 =，其中T1=300 K，T2=280 K 解得p1=175p0 以Ⅱ内气体为研究对象，气体做等容变化，由查理定律可得= 解得p2=560p0>175p0=p1，假设成立 又p1=p0+ρgh 解得h=1 740 m。 (2)当活塞A移动到汽缸中央卡环位置时所测深度最大，设此时两部分气体的压强为p'，由理想气体状态方程，对Ⅰ内气体有=　 对Ⅱ内气体有= 又p'=p0+ρghm 联立解得hm=6 990 m。 考点三　理想气体的变质量问题 1.充气问题 在充气(打气)时，将充进容器内的气体和容器内的原有气体作为研究对象时，这些气体的质量是不变的。这样，可将“变质量”的问题转化成“定质量”问题。 2.抽气问题 在对容器抽气的过程中，对每一次抽气而言，气体质量发生变化，解决该类变质量问题的方法与充气(打气)问题类似:假设把每次抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把“变质量”问题转化为“定质量”问题。 3.气体分装问题 将一个大容器里的气体分装到多个小容器中的问题也是变质量问题，分析这类问题时，可以把大容器中的气体和多个小容器中的气体作为一个整体来进行研究，即可将“变质量”问题转化为“定质量”问题。 4.漏气问题 容器漏气过程中气体的质量不断发生变化，属于变质量问题，如果选容器内剩余气体和漏掉的气体为研究对象，便可使“变质量”问题转化成“定质量”问题。 典例６：如图甲所示，气动避震是通过充放气体来改变车身高低，备受高档轿车的青睐。其工作原理可以简化为如图乙所示，在导热良好的汽缸内用可自由滑动的面积为S＝1×10－2 m2的活塞和砝码组合体封闭一定质量的气体，活塞和砝码总质量为m＝10 kg。初始时，开关阀门K关闭，此时汽缸内气体高度为h1＝60 cm。已知外界大气压强p0＝1.0×105 Pa，重力加速度g取10 m/s2。外界环境温度不变。求: (1)此时汽缸内气体压强p1; (2)打开阀门K，充气装置向汽缸内充入压强p2＝1.2×105 Pa、体积V0＝5.5×10－4 m3的气体后，汽缸内气体高度h2。 答案　(1)1.1×105 Pa　(2)66 cm 解析　(1)对活塞和砝码整体，由平衡条件得p0S＋mg＝p1S 解得此时汽缸内气体压强p1＝1.1×105 Pa。 (2)活塞和砝码稳定时，由平衡条件知，汽缸内气体的压强仍为p1＝1.1×105 Pa，对充入汽缸的气体和原有气体，由玻意耳定律得p1Sh1＋p2V0＝p1Sh2 解得汽缸内气体高度h2＝66 cm。 典例７：真空旅行壶是户外旅游出行必备的物品，如图所示为某品牌的真空旅行壶，容量为2.0 L，开始时旅行壶未装入水，壶盖也未盖，静置一段时间后，壶内空气的温度与外界温度相同，现将壶内迅速装入0.8 L的开水，立刻盖上壶盖，封闭起来，静置一小段时间后，水面上方的空气温度达到77 ℃，外界大气压恒为p0，室外温度保持27 ℃不变，设装水、盖壶盖过程中和迅速打开壶盖过程壶内空气的温度不变，壶内空气可看作理想气体，不考虑水蒸发引起的空气体积的变化。求: (1)静置一小段时间后，水面上方的空气温度达到77 ℃时壶内空气的压强p1; (2)如果此时迅速打开壶盖，则此时壶内剩余空气的质量与原来装入水后壶内气体质量的比值k。 答案　(1)p0　(2) 解析　(1)装水盖壶盖后静置一小段时间过程中空气的体积不变， 温度T1＝(273＋27) K＝300 K，T2＝(273＋77) K＝350 K 根据查理定律有，解得p1＝p0。 (2)壶容量为2.0 L，装入0.8 L的开水后， 壶内空气的体积为V1＝2.0 L－0.8 L＝1.2 L 迅速打开壶盖过程壶内空气的温度不变，压强变为大气压p0， 根据玻意耳定律有p1V1＝p0V2 解得V2＝1.4 L 设此时气体的密度为ρ，现在壶内气体的质量为 m1＝ρV1，气体的总质量为m＝ρV2 此时壶内剩余空气的质量与原来装入水后壶内气体质量的比值k＝。 典例8：容器A、B通过管道相连，管道左侧与容器A相通，中间与容器B相通，右端直接与外界大气相通。管道内设置了两个单向阀K1和K2，单向阀只能向右开，只允许气体从左向右移动。手持B中的活塞手柄，让活塞上下往复运动，就能把A中的部分气体抽出到大气中。已知A和B的体积分别为VA和VB，初始状态A中气体压强跟大气压相等，都等于p0，活塞横截面积为S，活塞厚度不计，质量不计，管道的体积不计，不考虑气体温度的变化，气体可视为理想气体，活塞从B容器底部上升到顶部算作一次抽气，求： (1)第一次抽气结束时容器A中气体的压强。 (2)开始进行第n+1次抽气时，需要对活塞手柄施加的拉力大小。 答案　(1)　(2)[1-()n]p0S 解析　(1)第一次抽气后，设A中气体的压强为p1， 根据玻意耳定律p0VA=p1V 压强为p1时气体体积V=VA+VB 解得p1= (2)第二次抽气p1VA=p2V 解得p2==()2p0 以此类推…… 则当n次抽气后助力气室内的气体压强pn=()np0 开始进行第n+1次抽气时，以活塞为研究对象，受力分析，有F+pnS=p0S 解得F=(p0-pn)S=[1-()n]p0S。 典例9：装有氧气的导热大钢瓶容积为100 L，环境温度为27 ℃时其内部压强为3×106 Pa。每个小钢瓶容积为5 L，原先装有压强为1×105 Pa的氧气。现需要用大钢瓶给小钢瓶充气，如图所示，将大、小钢瓶用带有阀门的导管连接，打开阀门后，让氧气缓慢充入小钢瓶中，当小钢瓶中压强为5×105 Pa时关闭阀门，充好一瓶，如此重复，要求分装后的小钢瓶内部压强均为5×105 Pa，导管体积忽略不计。 (1)若分装过程中氧气温度恒为27 ℃，分装多少瓶以后大瓶内压强降到1.5×106 Pa？ (2)若分装前环境温度变为-33 ℃，小钢瓶内部压强仍为1×105 Pa，忽略温度变化引起的钢瓶容积变化，最多可以分装出多少个满足要求的小钢瓶？(取T=t+273 K) 答案　(1)75　(2)95 解析　(1)设能够分装n瓶小钢瓶，则以大钢瓶中的氧气和n瓶小钢瓶中的氧气整体为研究对象，分装过程中温度不变。氧气分装前后的状态如图所示。 由克拉伯龙方程可知p1V1+np2V2=p1'V1+np2'V2 可得n= 其中p1=3×106 Pa，p2=1×105 Pa，p1'=1.5×106 Pa，p2'=5×105 Pa，V1=100 L，V2=5 L 代入数据得n=75， 所以分装75瓶以后大瓶内压强降到1.5×106 Pa。 (2)设能够分装出N个满足要求的小钢瓶，若分装前环境温度变为-33 ℃， 则T1=(273+27) K=300 K p1=3×106 Pa T2=(273-33) K=240 K 根据= 解得分装前大钢瓶内压强p3=2.4×106 Pa 根据p3V1+Np2V2=p2'V1+Np2'V2 解得N=95，则此时最多可以分装出满足要求的小钢瓶95个。 学科网（北京）股份有限公司 $