1.1探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理的探索与应用展开，以古埃及画直角的问题导入新课，通过拼图验证、度量猜想、数据表格分析等探究活动，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定理的形成过程。 其亮点在于融合历史文化与实践探究，借助赵爽弦图、第一次数学危机等渗透数学文化，通过军事演习速度计算等实例培养应用意识。注重数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）的发展，学生能提升探究与解决问题能力，教师可直接利用丰富活动设计提升教学效果。

第1章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 导入新课 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角． 这种方法对吗？ 2 探究新知 【探究1】拼图验证勾股定理 1. 准备四个全等的直角三角形 （设直角边分别为 a，b，斜边为 c） 2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？ a b c 从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？ 数学抽象 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？ 问题1：请大家在纸上画出上面的三角形，画完后，和小伙伴进行对比，你有什么发现？ 大家画出来的三角形都全等. 追问1：全等的理由什么？你有怎样的猜想? SAS,当直角三角形有两边确定了以后，第三条边也随之确定. 追问2：确定的两边可以分为几种情况，都能确定第三条边吗? 分两种情况.已知两条直角边，一条直角边和斜边. 不妨选取已知两条直角边的情况开始研究 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？ 问题2：度量你画的△ABC中AB边的长你有什么发现？再换几个直角三角形度量下试一试？ 直角边 直角边 斜边 关系猜想 6 8 10 36+64=100 3 4 5 9+16=25 5 12 13 25+144=169 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？ 探究：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C， A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出什么结论？ A B C A' B' C' 面积/格 4 34 25 9 13 9 你发现了什么规律吗？ 我发现 SA+SB=SC，SA'+SB'=SC' 用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 。 新知探究 追溯历史 约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。 新知探究 勾股定理与第一次数学危机 B C A a（勾） c（弦） b（股） 探索新知 注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得 欧几里得证明勾股定理 探究：勾股定理简单应用 例：在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算蓝方汽车的速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 蓝方汽车10s行驶了300m,那么它1s行驶的距离为300÷10=30（m） 即蓝方汽车行驶的速度为30m/s. 如图1-1-2,两个大正方形的面积分别为132和108,则小正方形M的面积为 (　　) A.14 B.22 C.20 D.24 D 图1-1-2 15 如果直角三角形的周长是24 cm,相邻两直角边长之比为3∶4,那么斜边长为　　　　cm.  10 16 在△ABC中,∠C=90°,AB=3,则AB2+BC2+AC2的值为　　　　.  18 17 如图1-1-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BC=6, AB=10,求AC和CD的长. 图1-1-3 解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10, 由勾股定理,得AC2=AB2-BC2=102-62=64=82, 所以AC=8. 因为CD⊥AB, 所以S△ABC=AC·BC=AB·CD, 即8×6=10CD, 所以CD=4.8. 18 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. (1)若c=1.5,b=1.2,求a的值; 解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得a2+b2=c2, 则a2=c2-b2=1.52-1.22=0.81, 所以a=0.9. 19 (2)若a=5,b=12,求c的值. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得a2+b2=c2, 则c2=a2+b2=52+122=132, 所以c=13. 20 一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 A.8 B.9 C.10 D.11 √ 解析　设直角三角形的三边长为 a，b，c，c为斜边，则由勾股定理得a2+b2=c2. 因为该直角三角形的三边长的平方和为200， 所以a2+b2+c2=200， 所以2c2=200， 所以c2=100， 所以c=10，即斜边长为10. 已知，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC2=　　　　. 解析　应用勾股定理时，必须先判断是直角三角形，然后确定哪条是直角边，哪条是斜边. 如图①，BC2=AB2-AC2=7； 如图②，BC2=AB2+AC2=25. 综上所述，BC2=25或7. 25或7 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2.4，BC=1.8． (1)求AB的长； (2)求AB边上高线h的长 (1)3 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据勾股定理求解，即可解题； （2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题． 解（1）解：在中，由 （2）解：由面积得，， 即：， 解得，． 反思：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边. $