综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，分AB卷分层训练，综合测试整合空间几何、向量、复数、圆锥曲线等知识，注重基础巩固与能力提升，发展空间观念、运算能力及应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|20题|覆盖基础考点，如异面直线成角、抛物线焦点、复数方程根|空间几何（线面角）、向量（坐标运算）、复数（纯虚数）、圆锥曲线（离心率）概念的直接应用与辨析| |解答题|4题|综合应用，如正方体线面角、双曲线与椭圆综合、向量实际应用|知识间推导：向量垂直条件→几何位置关系，复数根→方程系数关系，体现推理意识与模型观念|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．空间中两条异面直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点是（    ） A． B． C． D． 3．已知为单位向量，，那么（     ） A． B． C． D． 4．如果四边形满足，则该四边形一定是（　 ） A．正方形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 5．若是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根，则c＝（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 6．已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值为（   ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 7．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 8．双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．4 9．在正方体中，边长为，则对角线与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 10．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A． B． C． D． 12．过平面外两点并且与这个平面平行的平面有（    ） A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．不确定 13．在下列命题中，真命题的个数是（    ） ①          ② ③            ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．已知向量，，若，则（  ） A． B． C． D． 15．“与轴有两个不同的交点”是“或”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．“”的 _____________条件是“”．（填“充分不必要、必要不充分、充要条件或既不充分也不必要”） 17．已知复数，则 __________. 18．正方体的棱与体对角线所成角的正切值为_________． 19．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为_________． 20．已知向量，则__________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且复数满足关系式. (1)求复数及实数的值； (2)计算. 22．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，它们的离心率之和为，求： (1)椭圆的焦点坐标和离心率； (2)双曲线的标准方程． 23．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 24．城市市政部门对城区人行步道进行升级改造，以十字路口中心点为坐标原点建立平面直角坐标系，精准测算步道施工距离与走向.已知两段步道的位移向量分别为，.请结合平面向量坐标运算、数量积公式，以及向量垂直的充要条件，完成下列问题： (1)求向量的坐标； (2)求向量与的数量积； (3)依据向量垂直的充要条件，判定与是否垂直，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．空间中两条异面直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角定义可得结果. 【详解】根据异面直线所成角定义知：空间中两条异面直线所成角的范围是. 故选：C. 2．抛物线的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合抛物线的标准方程，即可求解. 【详解】因为抛物线标准方程为， 所以焦点在x轴正半轴上，且，， 所以，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 3．已知为单位向量，，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的内积求解. 【详解】因为为单位向量，， . 故选：C. 4．如果四边形满足，则该四边形一定是（　 ） A．正方形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】C 【分析】根据向量相等的概念求解. 【详解】如果四边形满足，那么且， 则该四边形一定是平行四边形. 故选：C. 5．若是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根，则c＝（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据实系数方程的根求解参数即可； 【详解】因为是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根， 所以其另一个根为， 所以，解得. 故选：C. 6．已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值为（   ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】复数是纯虚数， 则，解得. 故选：A. 7．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法的坐标运算规则计算. 【详解】已知向量，， 则. 故选：C. 8．双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线方程确定的值，即可得出离心率. 【详解】由双曲线得， ， 所以，离心率为. 故选：C. 9．在正方体中，边长为，则对角线与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角的定义即可求解. 【详解】在正方体中，平面， 所以为在平面的投影， 即为对角线与平面所成的角，.    故选：B. 10．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在轴上的椭圆分母的大小关系可得. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得：. 所以的取值范围为. 故选：D. 11．如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正方体的结构特征，利用线面垂直的性质找到二面角的平面角，即，直接求解即可． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是． 故选：B． 12．过平面外两点并且与这个平面平行的平面有（    ） A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据经过此两点的直线与平面的位置关系可判断结果． 【详解】若过这两点的直线与平面相交时，则不能作出符合题意的平面；若过两点的直线与平面平行时，则可作出唯一的一个平行平面. 故选：C. 13．在下列命题中，真命题的个数是（    ） ①          ② ③            ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据线面平行和线面垂直的性质，可得①正确；根据线面、线线的位置关系，可知②错误；根据线面垂直的性质定理，可知③正确；线线面垂直的判定，可知④错误. 【详解】 对①，如图，过的平面与交于，由于，所以. 因为，，所以. 因为，所以，故正确. 对②，若，则与可能平行、相交或异面，故错误； 对③，若，根据线面垂直的性质定理，可得，故正确； 对④，若，则，或，或，或与相交，故错误. 综上所述，真命题有2个. 故选：C. 14．已知向量，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的性质列出方程，进而求解的值. 【详解】因为，，且， 所以，即，解得. 故选：A. 15．“与轴有两个不同的交点”是“或”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据二次函数与轴有两个不同的交点得到，解一元二次不等式，并根据充分必要条件的概念易得答案. 【详解】与轴有两个不同的交点得，解得所以或， 所以或或； 但“或”推不出“与轴有两个不同的交点”， 所以“与轴有两个不同的交点”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．“”的 _____________条件是“”．（填“充分不必要、必要不充分、充要条件或既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【分析】根据既不充分也不必要条件的判断，即可求解. 【详解】①当已知时， ， ，或，， 不能推出， ②当已知时， ，b未知， 不能推出， 综上所述：的既不充分也不必要条件是. 故答案为：既不充分也不必要． 17．已知复数，则 __________. 【答案】 【分析】根据复数模的运算即可求解. 【详解】由题意得，复数，所以. 故答案为：. 18．正方体的棱与体对角线所成角的正切值为_________． 【答案】 【分析】根据正方体中的直线关系确定所成角的正切值即可； 【详解】如图，由正方体的对称性可知，体对角线与正方体的八条棱所成的角都相等，    现仅以与所成的角为例来求解． 在正方体中，因，故即与所成的角（或其补角）． 因平面，平面，则， 在中，， 即正方体的棱与体对角线所成角的正切值为． 故答案为：. 19．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为_________． 【答案】. 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】已知双曲线的方程为， 则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 20．已知向量，则__________. 【答案】 【分析】根据题意平面向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量， 则， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且复数满足关系式. (1)求复数及实数的值； (2)计算. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入，利用复数相等求得，则是方程的另一个根，然后利用韦达定理求解； （2）利用复数的运算及模的公式求解. 【详解】（1）设， ，， ，解得，， 又因为复数是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以复数是关于的实系数一元二次方程的另一个根， 由韦达定理得，，解得. （2）由（1）得，. 22．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，它们的离心率之和为，求： (1)椭圆的焦点坐标和离心率； (2)双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆中的关系求出，即可确定焦点和离心率. （2）由焦点和离心率的值确定的值，再由双曲线中的关系求出，即可确定双曲线的标准方程. 【详解】（1）已知椭圆中，， 所以，焦点在轴上， 则焦点坐标为，离心率为. （2）因为双曲线与椭圆有相同的焦点， 所以双曲线焦点为，即， 由它们的离心率之和为，可得双曲线离心率为， 所以，则， 所以， 所以双曲线方程为. 23．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面平行的定义可得平面，即可求解. （2）根据二面角的定义可知是平面与底面所成的角，在直角三角形中，，即可求得平面与底面所成的角的正切值. 【详解】（1）如图：连接，在正方体中， 因为，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角的度数为. （2）如图：连接交于点O，连接， 因为在正方体中，， 所以三角形是等边三角形， 又O为的中点，所以， 又，所以， 所以是平面与底面所成的角， 因为平面，平面，所以， 在直角三角形中，， 所以. 24．城市市政部门对城区人行步道进行升级改造，以十字路口中心点为坐标原点建立平面直角坐标系，精准测算步道施工距离与走向.已知两段步道的位移向量分别为，.请结合平面向量坐标运算、数量积公式，以及向量垂直的充要条件，完成下列问题： (1)求向量的坐标； (2)求向量与的数量积； (3)依据向量垂直的充要条件，判定与是否垂直，并说明理由. 【答案】(1). (2). (3)不垂直，理由见解析. 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. （）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. （）根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】（1）因为，， ， . （2）. （3）因为， 所以与不垂直. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $