综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层巩固，综合卷模拟实战，系统覆盖立体几何、解析几何、向量与复数等核心知识点，注重知识网络构建与解题能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|选择1/10/15、解答22|空间角、体积计算|从空间图形（正方体、直三棱柱）到空间角（异面直线角、线面角）、二面角，体现空间观念与几何直观| |解析几何|选择2/11/12、解答23|椭圆、抛物线、双曲线定义与性质|从圆锥曲线定义（椭圆焦点距离、抛物线准线）到方程、性质（离心率、焦点坐标），构建模型意识| |向量与复数|选择3/4/7/9、填空16/18、解答21/24|向量模/夹角、复数概念/运算|从向量（共线、数量积）、复数（虚数、几何意义）概念到运算，培养运算能力与符号意识| |逻辑与条件|选择5/8、填空19|充要条件判断|结合具体数学情境（方程根、不等式）分析条件关系，发展推理意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．4 D．10 3．若向量与的方向相反，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D． 4．若向量与的夹角为，，且，则的模为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 7．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．必要不充分条件      B．充分不必要条件 C．充要条件    D．既不充分也不必要条件 9．已知复数，则（   ） A．2 B． C．1 D． 10．知正方体的体积为8，E为的中点，则与平面所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 11．准线为的抛物线标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．关于双曲线，下列说法错误的是（    ） A．虚轴长为 B．顶点坐标为 C．离心率为 D．焦点坐标为 13．若是方程的两根，设，则等于（    ） A． B． C． D． 14．在平行四边形中，已知与交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数，则__________. 17．椭圆的焦距是2，则m的值为___________. 18．已知向量，满足，，，则__________. 19．“”是“”的_________条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”） 20．在边长为4的正三角形中，于点，沿折成二面角后，若，则二面角的弧度数为_________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．当实数为何值时，复数是： (1)虚数； (2)表示的点位于复平面内的直线上. 22．如图所示，直三棱柱中，，，，二面角的大小等于，求： (1)直线与平面所成角的正切值； (2)三棱锥的体积. 23．如图所示，过椭圆的左焦点且倾斜角为45°的直线交椭圆于，两点．求： (1)椭圆的左焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)线段的长度． 24．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建等边三角形，由线线平行得到异面直线所成角. 【详解】如图所示，连接，． ∵为等边三角形，∴， 又∵，所以异面直线与所成角为. ∴异面直线与所成角的大小为. 故选：B. 2．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．4 D．10 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求到另一个焦点的距离. 【详解】根据题意得, 所以P到另一个焦点的距离为. 故选：A. 3．若向量与的方向相反，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题得，利用向量线性运算的坐标表示可求解. 【详解】由题知 即， 所以， 由于， 解得. 故选：A. 4．若向量与的夹角为，，且，则的模为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】结合向量运算律和内积定义求解即可. 【详解】由可得： ，解得. 故选：C. 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例可知，，，根据充要条件的概念可判断结果. 【详解】取，满足，但不成立，即. 故“”不是“”的充分条件； 取，满足，但不成立，即. 故“”不是“”的必要条件. 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．若为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用虚数单位的性质即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 7．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直内积为零，结合内积的定义即可求解. 【详解】设向量与的夹角为，其中， 因为，且， 所以，即， 得到 又，所以，得到， 由于，所以. 故选：D. 8．是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．必要不充分条件      B．充分不必要条件 C．充要条件    D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由实系数一元二次方程有虚根求出的取值范围，再判断命题的必要不充分条件即可. 【详解】因为实系数一元二次方程有虚根， 所以， 解得， 不能推出， 能推出， 是“实系数一元二次方程有虚根”的必要不充分条件. 故选：A. 9．已知复数，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算求得，再由模长公式计算即可. 【详解】， ∴. 故选：C. 10．知正方体的体积为8，E为的中点，则与平面所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出线面角平面角易得答案. 【详解】如图，连接   正方体,所以平面, 所以是与平面所成角的平面角, 因为,,所以. 所以. 故选：D. 11．准线为的抛物线标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的准线方程求得其标准方程，从而得解. 【详解】由准线方程知所求抛物线开口向右， 设标准方程为，则准线，所以， 故抛物线标准方程为. 故选：C. 12．关于双曲线，下列说法错误的是（    ） A．虚轴长为 B．顶点坐标为 C．离心率为 D．焦点坐标为 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，即可确定焦点位置，求出的值，继而求得虚轴长、顶点坐标、离心率、焦点坐标，即可判断求解. 【详解】因为双曲线， 所以焦点坐标在轴上，且， 所以， 所以， 所以虚轴长，故选项A正确，不符合题意； 所以顶点坐标为，故选B正确，不符合题意； 所以离心率，故选项C正确，不符合题意； 所以焦点坐标为，故选项D错误，符合题意. 故选：D. 13．若是方程的两根，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理可得的值，再由向量内积的坐标表示计算即可. 【详解】已知是方程的两根， 则，且， 则. 故选：B. 14．在平行四边形中，已知与交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形内向量的加法、数乘运算即可求解. 【详解】在平行四边形中，与交于点， 所以， 又， 得到. 故选：B. 15．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作半平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理证明出平面，再根据二面角的概念得出为二面角的平面角，最后根据题意结合三角函数的定义即可求值. 【详解】如图，过点作半平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以，又， 且为平面中的两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以，则为二面角的平面角， 所以，由点到半平面的距离为， 可得，则点到棱的距离即. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数，则__________. 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算及模的公式计算即可. 【详解】，则. 故答案为：. 17．椭圆的焦距是2，则m的值为___________. 【答案】3或5 【分析】分焦点在轴和焦点在轴上讨论即可求解. 【详解】由题意，，则， 当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得. 故答案为：3或5. 18．已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】向量，满足，，， ， 所以. 故答案为：. 19．“”是“”的_________条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”） 【答案】充分不必要 【分析】通过举反例由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，而，所以成立. 因此“”是“”的充分条件. 若，取，，此时满足，但，不满足. 因此“”不是“”的必要条件. 故答案为：充分不必要. 20．在边长为4的正三角形中，于点，沿折成二面角后，若，则二面角的弧度数为_________. 【答案】/ 【分析】根据题意作出折后的图形，进而得到所求二面角的平面角，从而得解. 【详解】由题意可知，， 所以沿折成二面角后，，， 故即为二面角的平面角， 因为在边长为4的正中，， 所以为的中点，又，则， 所以是正三角形，则， 所以二面角的弧度数为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．当实数为何值时，复数是： (1)虚数； (2)表示的点位于复平面内的直线上. 【答案】(1)且 (2)或 【分析】（1）令复数的虚部不为，求解即可. （2）由复数对应点的坐标结合直线求解即可. 【详解】（1）若复数为虚数，则，解得，， 所以当实数且时，复数为虚数. （2）复数在复平面上对应的点坐标为， 因为复数表示的点位于复平面内的直线， 所以，整理得， 解得或， 所以当或时，复数表示的点位于复平面内的直线上. 22．如图所示，直三棱柱中，，，，二面角的大小等于，求： (1)直线与平面所成角的正切值； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得是二面角的平面角，从而，可求得，可证得平面，则是与平面所成的角，求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）平面，平面，，， 就是二面角的平面角，即有：， ，，． 平面，平面，， 又，，平面， 平面，就是与平面所成的角． ， . （2）∵平面，， ∴三棱锥的体积 . 23．如图所示，过椭圆的左焦点且倾斜角为45°的直线交椭圆于，两点．求： (1)椭圆的左焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)线段的长度． 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据椭圆方程求出值即可得解. （）根据直线的倾斜角求出直线斜率，结合直线的点斜式方程即可得解. （）方法一：联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可得解. 方法二：联立方程组求出坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，，故，， 椭圆的左焦点的坐标为. （2）直线的斜率， 又直线过左焦点，故直线的方程为，即. （3）方法一：设，， 联立，消去整理得：， 由韦达定理可知：，， 由弦长公式可得线段的长度为， . 方法二：设，， 联立，消去整理得：， 解得或， 由两点间距离公式可得，线段的长度为 ． 24．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $