综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，实现知识网络构建与解题能力递进提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-6、14/填空16、17|聚焦定义辨析与性质应用，如平面确定、单位向量、充分必要条件|以概念生成为主线，串联复数、立体几何、向量的基础属性| |综合应用|选择7-15/填空18-20|跨章节整合，如双曲线渐近线与离心率、向量垂直与共线、线面角计算|通过问题情境建立知识点间推导关系，如向量工具解决立体几何角| |实践操作|解答21-24|完整呈现解题流程，如复数方程求解、椭圆与抛物线综合、正四棱锥二面角计算|以问题解决为导向，强化数学思维（推理能力）与数学语言表达（证明过程），提升应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数求和转化成复平面内点的坐标直接得到答案. 【详解】由题意得, 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 2．在正方体中，与平面所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在平面内的射影为，可知为与平面所成的角，从而求解. 【详解】在正方体中，平面， 所以在平面内的射影为， 即是与平面所成的角. 在等腰中，. 故选：B. 3．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．三角形是平面图形 【答案】D 【分析】利用平面的基本性质可判断. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误， 一条直线和直线外一个点确定一个平面，B错误， 两条相交直线确定一个平面，C错误， 三角形是平面图形，D正确. 故选：D. 4．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的标准方程求出，进而写出离心率即可. 【详解】因为椭圆， 则，所以， 则， 所以离心率. 故选：A. 5．已知，且的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求值即可. 【详解】已知，且的夹角为， 则. 故选：B. 6．如果向量和向量都是单位向量，那么下列说法中正确的是（    ） A．向量和向量方向相同 B．向量和向量方向相反 C．向量和向量共线 D．向量和向量的模相等 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可求解. 【详解】由单位向量的定义可得，单位向量是模长为1，方向任意的向量， 即，故ABC错误，D正确. 故选：D. 7．已知实系数一元二次方程的一个根为，则的值是（    ） A． B． C．16 D．24 【答案】C 【分析】由实系数一元二次方程两根的特点和韦达定理可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根为， 所以另一根为. 由韦达定理可得， ，， 解得，所以. 故选：C. 8．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再根据抛物线标准方程的性质求出准线方程. 【详解】已知抛物线方程为 ，变形可得，此时，则 . 根据上述标准方程性质，其准线方程为. 故选：D. 9．已知向量，则与其垂直的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求向量为，由向量垂直的坐标表示结合模长为即可求出. 【详解】设与向量垂直的单位向量是， 则，又因为为单位向量， 所以， 由，解得或， 所以或. 故选：D. 10．已知向量，，若，则实数的值是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两向量平行的坐标关系来求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，即，解得. 故选：D. 11．如图，在中，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】在中，点满足， 则. 故选：A. 12．若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据题意结合直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则的位置关系可能是平行或异面，故错误； 若，，则，故错误； 若，，则，故正确； 若，，则的位置关系可能是平行，相交，故错误. 故选：C. 13．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线方程求得渐近线方程，从而得到，再利用双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 点在其中一条渐近线上，则，故， 所以. 故选：D. 14．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分 【答案】A 【分析】根据含绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】由， 得或，解得或， 则若“”，则“”成立，故充分性成立， 若“”，则或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15．如图，长方体中，，则二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过连接辅助线，利用长方体的性质和二面角的定义，找到二面角的平面角，然后通过计算即可求出其正切值. 【详解】连接，交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以，即， 又因为⊥平面，又平面，所以， 由于同时垂直于和，且平面， 所以⊥平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角。 因为，四边形ABCD为正方形， 所以，则. 已知， 在. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设椭圆 的焦点是，直线l过点，与椭圆交于A、B两点，则周长为 __________. 【答案】16 【分析】利用椭圆的定义可求周长. 【详解】椭圆 ，则， 因为直线l过点，与椭圆交于A、B两点， 则周长为. 而， 则， 则周长为. 故答案为：. 17．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】或或， 因为是的必要不充分条件， 所以是或的真子集. 所以. 故答案为：. 18．已知，，且，则__________. 【答案】/0.5 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故答案为：. 19．在长方体中，，则对角线与底面所成的角的大小是__________. 【答案】 【分析】根据长方体的几何特征找出线面角，再根据锐角三角函数中正切的定义求线面角的正切值，然后求出线面角的大小即可. 【详解】 如图：连接、，因为在长方体中，平面， 又平面，所以，则在底面的投影为， 所以是与底面所成的角， 在直角三角形中，， 所以，又， 所以. 故答案为：. 20．若复数z满足，则___________． 【答案】 【分析】根据复数的运算进行计算即可解得. 【详解】由题，， 则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数（，i是虚数单位），． (1)求； (2)若z是关于x的方程的一个根，求p与q的值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）根据复数相等求得a和b的值，再根据复数模公式即可求解； （2）解法一：由是关于x的方程的一个根，所以是此方程的另一个复数根，根据根与系数关系即可求解. 解法二：将复数代入方程，结合复数相等的概念即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 解得，所以， 故． （2）解法一：由（1）可知， 因为是方程的一个根， 所以也是方程的根， 故，． 解法二：把代入方程为： ， 即，即， 所以，解得， 所以，. 22．如图，已知椭圆C的中心在原点，长轴长为，焦点为、，其中与抛物线的焦点重合，点A是曲线C，E的一个交点．    (1)求椭圆C的标准方程； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程可求出椭圆的焦点，进而可求椭圆方程； （2）结合两个曲线方程可求出A点横坐标，再结合抛物线定义求得，进而由椭圆的定义求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，     由题意可知椭圆C的焦点在x轴上，，，，， 所以椭圆C的标准方程为．        （2）设点，，，则，消得， 解得．     抛物线E的准线方程为， 则，． 23．如图所示，正四棱锥的底面边长为4，高为4．求： (1)该四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意连接辅助线结合线面角的定义找到侧棱与底面所成角，利用余弦的定义即可得解. （）根据题意作出辅助线找到二面角的平面角结合正切的定义即可得解. 【详解】（1） 如图所示，连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，则为侧棱与底面所成的角. 因为底面为边长为的正方形，所以，所以， 因为，所以， 则， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为. （2） 如图所示，作于点，连接， 因为，，所以为中点， 因为底面为正方形，则，所以为等腰三角形，， 则平面平面，，，且平面，平面， 所以为二面角的平面角， 因为正方形，，，，所以在中，， 所以， 所以二面角的正切值为. 24．已知向量，． (1)求； (2)当为何值时，与共线？ 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量内积的坐标表示求值即可. （2）分别表示出与的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知，， 可得， 两边同时除以2得， 因此. （2）根据向量数乘与减法的坐标运算法则， 可得， ， 若与共线，则，解得． 因此时，与共线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在正方体中，与平面所成的角为（    ）    A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．三角形是平面图形 4．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．如果向量和向量都是单位向量，那么下列说法中正确的是（    ） A．向量和向量方向相同 B．向量和向量方向相反 C．向量和向量共线 D．向量和向量的模相等 7．已知实系数一元二次方程的一个根为，则的值是（    ） A． B． C．16 D．24 8．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，则与其垂直的单位向量是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，若，则实数的值是（　） A． B． C． D． 11．如图，在中，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 12．若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 13．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分 15．如图，长方体中，，则二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设椭圆 的焦点是，直线l过点，与椭圆交于A、B两点，则周长为 __________. 17．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________. 18．已知，，且，则__________. 19．在长方体中，，则对角线与底面所成的角的大小是__________. 20．若复数z满足，则___________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数（，i是虚数单位），． (1)求； (2)若z是关于x的方程的一个根，求p与q的值． 22．如图，已知椭圆C的中心在原点，长轴长为，焦点为、，其中与抛物线的焦点重合，点A是曲线C，E的一个交点．    (1)求椭圆C的标准方程； (2)求线段的长度． 23．如图所示，正四棱锥的底面边长为4，高为4．求： (1)该四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正切值． 24．已知向量，． (1)求； (2)当为何值时，与共线？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $