综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层与综合卷模拟实战设计，系统整合代数与几何知识，培养数学抽象、推理及空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、13|概念辨析与基础计算|向量、复数概念生成及简单应用| |空间几何|选择6、9、10、填空20、解答23|空间角与位置关系推理|从线面关系到二面角计算，构建空间观念| |代数运算|选择4、7、8、填空17、解答22|复数运算与命题判断|复数性质推导及充要条件分析，培养推理能力| |解析几何|选择1、11、14、15、填空18、解答24|圆锥曲线方程与直线关系|椭圆、双曲线定义拓展及方程应用，体现模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线方程直接得答案. 【详解】根据题意得,因为. 故选：C. 2．设点，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】，， . 故选：C. 3．在中，，则的值为（    ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量内积的定义结合三角形中边、角条件求解即可. 【详解】在中，， 即，， 所以. 故选：B. 4．已知为纯虚数，为实数，则的值为（   ） A．或 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】由复数加法的代数运算和纯虚数的定义即可求解. 【详解】因为为纯虚数， 所以且，所以. 故选：B. 5．平面向量，，若，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】∵，，且， ∴，解得. 故选：A． 6．在正方体中，二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的定义确定平面角，结合正方体的性质求解. 【详解】   因为平面，又平面 所以，所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是． 故选：C． 7．已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实系数一元二次方程的两个根互为共轭复数，再结合韦达定理即可确定的值. 【详解】已知实系数一元二次方程的一个根是, 则另一个根为， 所以，即， 又，即. 故选：D. 8．若，则复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可判断求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限. 故选：D. 9．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据直线与平面的垂直、平行的性质判断. 【详解】， ①若，则时，是的垂线，而，故，①正确； ②若，若不在内，则，是过的平面，则平行或相交，②错； ③当时，，令是的交线，，则l与m异面，③错误； ④当时，而，则，又，则，④正确． 故选：A. 10．已知正方体的体积为64，为的中点，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据题意可知面，从而得知即为与平面所成角即可求解. 【详解】连接AE，如图： 因为正方体体积为64， 所以正方体边长为. 因为在正方体中，平面， 所以即为与平面所成角. 因为，为的中点， 所以， 所以. 因为平面， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 11．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距，再根据椭圆过点求得，结合的关系求得即可求解． 【详解】椭圆的焦点坐标为，， 所以 所求椭圆与椭圆的焦点相同，且过点， 则， ，得. 所求椭圆的方程为：. 故选：C. 12．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的夹角为锐角，得到内积的要求即可求解. 【详解】夹角为锐角 故选：A . 13．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．零向量没有方向 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】对每个选项所涉及的平面向量的基本概念进行分析判断. 【详解】选项A：向量的模是非负实数，并非一定是正实数，例如，零向量的模为，所以该选项错误； 选项B：单位向量是指模等于的向量，起点相同的单位向量，由于方向可以不同，终点不一定相同，该选项错误； 选项C：零向量的方向是任意的，并不是没有方向，该选项错误； 选项D：若两个非零向量的和为零向量，那么它们必然互为相反向量，该选项正确. 故选：D. 14．“直线与抛物线仅有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若直线与抛物线仅有一个公共点，则直线可能与抛物线的对称轴平行， 故“直线与抛物线仅有一个公共点”“直线与抛物线相切”； 若直线与抛物线相切，则直线只能与抛物线有一个交点， 故“直线与抛物线相切”“直线与抛物线仅有一个公共点”； 因此，“直线与抛物线仅有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. 故选：B. 15．已知直线过抛物线的焦点F，且与离心率为的双曲线的渐近线平行，则该直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由双曲线的离心率并结合得出渐近线的斜率，再根据直线平行的充要条件可得所求直线的斜率，求出抛物线的焦点坐标后，利用点斜式写出直线方程化为一般式即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以， 从而，化简可得， 所以双曲线的渐近线为. 因为所求直线与双曲线的渐近线平行，故所求直线的斜率为， 由抛物线可知，其焦点坐标， 所以该直线方程为或，即或. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．“”是“”的__________条件.（用“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”填空） 【答案】必要不充分 【分析】根据一元二次不等式的解法求解，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】已知，解得或， 若“”，则或， 所以“”不能推出“”， 若“”则“”， 所以“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 17．已知向量，，若，则__________. 【答案】6 【分析】利用向量垂直的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故答案为：6. 18．若表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围_________. 【答案】（0,1） 【分析】由条件表示焦点在轴上的椭圆，可列出不等式组求解的范围. 【详解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆，可得： ，解得. 故答案为：. 19．的值为 ________ . 【答案】 【分析】根据，得出，再由除以，得出，由此即可即可解答 【详解】由，可得， 所以 ， 故答案为：. 20．正四棱锥体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为_______. 【答案】 【分析】由锥体的体积公式求出正四棱锥的高，再由二面角的定义即可求解. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，底面边长为， ∵底面对角线的长为，∴，即， ∵正四棱锥体积为12，高为， ∴，解得， 取边中点M，连接， 则， 可得为侧面与底面所成的二面角， ∴， ∵，∴． 于是得侧面与底面所成的二面角为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知，，向量与的夹角为，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据内积的定义求解； （2）根据向量内积的运算律计算可求解. 【详解】（1）因为，，向量与的夹角为， 所以； （2）由（1）知 . 22．已知复数满足，. (1)求； (2)若复数满足，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据复数的模长公式即可求解. （2）根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解. 【详解】（1）由题意得， 所以或（舍去）， 故 （2）设， 则， 所以解得或 所以或. 23．如图所示，已知正方体的棱长为2，M是的中点．求： (1)与所成的角； (2)与面所成的角的正切值； (3)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意,可知,由此找到异面直线与所成的角,再利用已知条件即可求解. （2）先作出直线与平面所成角,然后求解即可. （3）连接交于点,连接,根据已知条件可得为二面角的平面角,即可求解. 【详解】（1）因为正方体,， 所以,则四边形为平行四边形， 所以, 所以为异面直线与所成的角, 由题意知为等边三角形,， 所以与所成的角为. （2） 连接,因为正方体, 因为平面, 所以就是直线与面所成的角, 正方体的棱长为2, 是的中点, 根据勾股定理得, . （3） 连接交于点,连接, 因为正方体, 所以四边形为正方形, 所以且为中点, 因为正方体的棱长为2, 所以根据勾股定理得且为中点, 所以 所以为二面角的平面角, 因为平面,平面,所以, 在中,, 所以 综上所述,二面角的正切值为. 24．如图所示，已知椭圆经过点，且双曲线的顶点为椭圆的焦点，双曲线的焦点为．    (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)若直线经过点且倾斜角为，直线交双曲线于两点，求． 【答案】(1)椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 (2) 【分析】（1）由题意得出椭圆的半长轴长、半短轴长，半焦距，以及焦点位置，从而得出椭圆的标准方程；根据题意得双曲线的半焦距，半实轴长，进而求出半虚轴长，得出双曲线的标准方程. （2）设出直线与双曲线交点坐标，并根据题意写出直线方程，联立直线方程与双曲线的标准方程，列出韦达定理，根据弦长公式求解. 【详解】（1）根据题意可得椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 故设椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程为， 则椭圆的半长轴长、半短轴长，半焦距， 所以椭圆的标准方程为. 又双曲线的半焦距，半实轴长，则半虚轴长， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，由题可知直线的斜率为，则直线方程为， 联立，消去并整理得， ， 由韦达定理得， 由弦长公式得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．设点，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则的值为（    ） A．20 B． C． D． 4．已知为纯虚数，为实数，则的值为（   ） A．或 B． C．且 D． 5．平面向量，，若，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．在正方体中，二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 7．已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若，则复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 10．已知正方体的体积为64，为的中点，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 12．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 13．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．零向量没有方向 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 14．“直线与抛物线仅有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知直线过抛物线的焦点F，且与离心率为的双曲线的渐近线平行，则该直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．“”是“”的__________条件.（用“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”填空） 17．已知向量，，若，则__________. 18．若表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围_________. 19．的值为 ________ . 20．正四棱锥体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为_______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知，，向量与的夹角为，求： (1)； (2). 22．已知复数满足，. (1)求； (2)若复数满足，求. 23．如图所示，已知正方体的棱长为2，M是的中点．求： (1)与所成的角； (2)与面所成的角的正切值； (3)二面角的正切值． 24．如图所示，已知椭圆经过点，且双曲线的顶点为椭圆的焦点，双曲线的焦点为．    (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)若直线经过点且倾斜角为，直线交双曲线于两点，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $