第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（     ） A．平面的面积是 B．三个点可以确定一平面 C．空间两个平面有可能只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 2．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ） A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 4．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面共有（　　）对    A．1 B．2 C．3 D．4 6．在正四棱锥中，二面角为，底面的边长为2，若的中点为，点为底面的中心，则与的距离为（     ） A． B． C． D． 7．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 8．已知平面∥平面，直线，直线，则直线和不可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 9．在正方体中，直线与平面所成的角的正切值为（ ） A．1 B． C． D． 10．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 11．如图，在正方体中，直线与直线所成的角是（   ）    A． B． C． D． 12．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 13．在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（   ）    A． B． C． D． 14．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 15．下列命题错误的是（　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，E是上一点，当点E满足条件：___________时，平面.    17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    18．在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条. 19．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为___________. 20．等边三角形的边长为是边上的高，若沿把折成直二面角，则点到边的距离为________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知空间四边形中，、、、分别为、、、的中点（如图）.判断直线与平面是否平行，为什么？    22．如图所示，已知垂直于矩形所在平面，若. (1)求二面角的大小； (2)四棱锥的体积. 23．如图，已知圆锥的高为2，底面半径为1．为底面直径．    (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面圆周上一点，且，求二面角的正切值． 24．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（     ） A．平面的面积是 B．三个点可以确定一平面 C．空间两个平面有可能只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合平面的概念和基本性质，即可判断求解. 【详解】因为平面是没有大小的，故选项A说法错误； 不共线的三点确定一个平面，故选项B说法错误； 若空间两个平面相交，则交于一条直线，不可能只有一个公共点，故选项C说法错误； 过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面，故选项D正确. 故选：D. 2．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，平面于点，根据二面角的概念求解. 【详解】如图，作于点，平面于点，连接， 因为平面，所以， 又，且平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，因此， 因为，，所以， .    故选：B. 3．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ） A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答. 【详解】已知垂直于所在平面， 且平面，所以， 因为，所以， 且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条. 故选：A. 4．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 5．如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面共有（　　）对    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的判定定理，即可判定求解. 【详解】因为平面，且平面，平面， 所以平面平面，平面平面； 因为平面，平面，所以， 又平面，平面， 所以平面；又平面， 所以平面平面； 故图中互相垂直的平面有3对. 故选：C. 6．在正四棱锥中，二面角为，底面的边长为2，若的中点为，点为底面的中心，则与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的定义可得为二面角的平面角，利用等面积法即可求解. 【详解】在正四棱锥中，侧面为等腰三角形 ， 因为的中点为，所以，又， 所以为二面角的平面角，即， 又底面边长为2，则，在中， ，则， 又， 在中，设与的距离为， 则，即，解得.    故选：B. 7．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为. 故选：C. 8．已知平面∥平面，直线，直线，则直线和不可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】A 【分析】根据两平行平面的位置关系和空间中两直线的位置关系可得. 【详解】因为平面和平面互相平行，则两个平面没有公共点； 又因为直线在平面内，直线在平面内，所以两条直线没有公共点， 而两直线相交必须有公共点，所以没有公共点的两条直线不可能相交，只可能是平行或异面. 故选：A. 9．在正方体中，直线与平面所成的角的正切值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再结合正方体的性质进行计算. 【详解】在正方体中， 因为平面，则直线是直线在平面内的射影， 所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为，则，， 所以. 故选：C. 10．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及异面直线所成角、线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】    由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，如上图所示： 所以是异面直线，而不平行，故选项A错误； 所以，故选项B错误；    连接，则是等边三角形，故， 因为，所以与所成的角也是，故选项C错误；    连接，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故选项D正确. 故选：D. 11．如图，在正方体中，直线与直线所成的角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成的角的概念即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，    因为，，又， 平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以，则直线与直线所成的角是. 故选：D. 12．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面之间的位置关系求解即可. 【详解】直线不平行于平面，且不在内，因此直线与平面相交，二者有且只有一个公共交点. 选项B.内所有过这个公共交点的直线，都和相交，不是异面直线，因此B错误. 选项C.如果内存在直线和平行，根据线面平行判定定理，就会推出和题干矛盾，因此C错误，A正确.. 选项D.内不过这个公共交点的直线，和异面，并不相交，因此D错误. 故选：A. 13．在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出为异面直线与所成角，结合全等三角形，直角三角形的性质即可求解. 【详解】取中点，连接，，    则， 在正方体中，， 所以， 则四边形为平行四边形，所以， 则或其补角为异面直线与所成角，且， 因为， 所以， 则， 所以， 在三角形中，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 14．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相交直线与平行直线的概念判断①与②，根据中位线的性质可证明③④. 【详解】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且， ∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个. 故选：B. 15．下列命题错误的是（　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，E是上一点，当点E满足条件：___________时，平面.    【答案】为的中点 【分析】根据线面平行的性质与判定定理即可得解. 【详解】连接，设，连接，      当平面时， 因为平面，平面平面，所以， 因为为的中点，故为的中点， 经检验，当为的中点时，又为的中点， 所以，又平面，平面 故平面. 故答案为：为的中点. 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    【答案】1 【分析】根据线面垂直的判定定理以及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面，为三棱锥的高，， 底面积，体积. 故答案为：1. 18．在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条. 【答案】无数 【分析】先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线，，都相交的直线，从而发现结论. 【详解】在上任意取一点M，直线与M确定一个平面， 这个平面与有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面， 从而与有不同的交点N，而直线与这3条异面直线都有交点如图所示，    所以在空间中与三条直线，，都相交的直线有无数条. 故答案为：无数. 19．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可证得，进而可知为与平面所成角，分析计算求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图所示： 因为在长方体中，， 所以上下底均为正方形，又因为为的中点， 所以，因为平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以为与平面所成角， 因为，所以，因为为的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 20．等边三角形的边长为是边上的高，若沿把折成直二面角，则点到边的距离为________. 【答案】 【分析】对比翻折前、后，的长度都不变，得翻折后为等腰三角形，即可求解. 【详解】如图，取BC的中点，连接.    ∵翻折前为正三角形，∴， ∴，即为点A到的距离. ∵翻折前为边上的高，∴， ∴即为二面角的平面角，即, ∴， ∴. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知空间四边形中，、、、分别为、、、的中点（如图）.判断直线与平面是否平行，为什么？    【答案】平行，证明见解析 【分析】根据三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可求解. 【详解】因为、分别为、的中点， 所以为的中位线，所以， 又因为平面，平面， 所以直线与平面平行. 22．如图所示，已知垂直于矩形所在平面，若. (1)求二面角的大小； (2)四棱锥的体积. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再通过相关边长求出其大小； （2）根据棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为四边形是矩形，所以， 由于，且平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，所以就是二面角的平面角. 在中，，，， 所以，即二面角的大小为. （2）因为四边形是矩形，，， 所以矩形的面积， 已知平面，所以就是四棱锥的高，即， 则四棱锥的体积. 23．如图，已知圆锥的高为2，底面半径为1．为底面直径．    (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面圆周上一点，且，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式即可求解. （2）根据线面垂直的性质，先找出就是二面角的平面角即可求解． 【详解】（1）连接，由题意得，则在中，， 所以圆锥的侧面积为．      （2）因为为底面圆周上一点，且，所以是等腰直角三角形， 则，作于，连．    因为底面平面，所以，又 则平面，平面，所以， 则就是二面角的平面角． 因为，是中点，所以， 在中，，所以二面角的正切值为． 24．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 【答案】 【分析】取BD的中点O，利用定义法求出异面直线AD与BC所成的角. 如图所示， 设BD的中点为O，连接EO，FO，则， 所以是异面直线AD与BC所成的角或其补角， 而，， 在中，由余弦定理，得， 而，因此， 所以异面直线AD与BC所成的角为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $