第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，且，则实数（   ） A． B． C．1 D．6 3．若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（   ） A．2 B． C． D．4 4．若，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 8．如图所示，已知平行四边形，点分别是边，，的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 9．如图所示，在平行四边形中，已知，，则（    ）    A． B． C． D． 10．已知和都是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 11．给出下列命题①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件；③若则；④的充要条件是且；⑤若，则，其中正确命题的序号是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 12．平移坐标轴，把坐标原点平移至，则的新坐标为（    ） A． B． C． D． 13．设非零向量，，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若非零向量，满足，且 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．设 均为单位向量，则“”是 “ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 17．已知、是非零向量，，，且，则________． 18．已知与是不共线的向量，，若与是共线向量，则________. 19．如图，单位圆与x轴交于A、B两点，点C为圆上一点，且，则________．    20．已知两个单位向量，的夹角为，若，则________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量与的夹角为，，，求. 22．已知向量 ，，. (1)求； (2)若； 求. 23．已知 (1)求； (2)若，求的值. 24．已知，， (1)若，求m； (2)求与的夹角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】设向量与的夹角为， 已知向量，， 则 因为，所以. 故选：D. 2．已知向量，，，且，则实数（   ） A． B． C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示，可得结果. 【详解】∵，， ∴，∵，， ∴，解得. 故选：C. 3．若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】， 在的方向上的投影向量为：， 所以在的方向上的投影向量的模长为. 故选：C. 4．若，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由向量的数量积公式代入计算即可得到答案. 【详解】已知，，， ∵， ∴，∴. 故选：D. 5．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，， 则，解得， 所以，. 故选：A. 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的法则进行化简运算. 【详解】 . 故选：D. 7．在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由向量的减法法则及相等向量即可得解. 【详解】因为，则，即， 可知，两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 8．如图所示，已知平行四边形，点分别是边，，的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由三角形中位线确定向量关系，计算得到答案. 【详解】连接、，已知点分别是边，，的中点， 故、分别是、的中位线， 可得，， 故.    故选：A. 9．如图所示，在平行四边形中，已知，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】由题意，，， 故. 故选：B. 10．已知和都是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】根据共线向量以及充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】若“”成立，则“”成立. 若“”成立，则无法推出“”. 故则“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 11．给出下列命题①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件；③若则；④的充要条件是且；⑤若，则，其中正确命题的序号是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据相等向量，平行向量等的概念逐项分析即可. 【详解】①向量相等需要模相等且方向相同， 仅不能得出，故①错误， ②若是不共线的四点， 说明与平行且相等， 所以是平行四边形，充分性成立， 反之若是平行四边形， 则与一定平行且相等，必要性成立，故②正确， ③若则，故③正确， ④当且时，与可能方向相反， 此时不能得到，故④错误， ⑤当，不能得到，故⑤错误， 所以正确的为②③. 故选：A. 12．平移坐标轴，把坐标原点平移至，则的新坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可知，移动坐标原点相当于把坐标系平移，其他点位置不变.通过原有A点，求出现有新坐标. 【详解】由题意得,原坐标图为: 移动后: 隐藏现有坐标，改为新坐标后: 故新坐标为:. 答案选：B. 13．设非零向量，，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，且不共线，结合向量内积的坐标表示及向量共线的条件，即可求解. 【详解】因为非零向量，，且的夹角为钝角， 所以，且不共线， 即， 解得或， 又不共线，所以，即， 所以且 ， 综上，或，且， 即的取值范围是. 故选：C. 14．若非零向量，满足，且 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直求出，再求出夹角的余弦值，进而确定夹角. 【详解】已知，所以. 因为非零向量，满足，所以. 因为，解得. 故选：B. 15．设 均为单位向量，则“”是 “ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方的运算性质，结合单位向量的定义和向量垂直的充要条件，分别验证充分性和必要性即可得出结论. 【详解】已知 为单位向量，因此 若 ，则 展开得： 代入 ，整理得 ，即 . 因此 ，充分性成立. 若，根据向量垂直的充要条件得. ， 因此 ，即 ，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的内积公式及运算法则即可得解. 【详解】向量，满足，，且，的夹角为， ， 所以. 故答案为：. 17．已知、是非零向量，，，且，则________． 【答案】 【分析】将两边平方，利用平面向量的运算法则求出即可得解. 【详解】、是非零向量，，，且， 则， 解得， 因为，所以. 故答案为：. 18．已知与是不共线的向量，，若与是共线向量，则________. 【答案】2 【分析】根据向量共线定理求解. 【详解】若与是共线向量，则， 则，即， 又与是不共线的向量， 所以且，解得. 故答案为：2. 19．如图，单位圆与x轴交于A、B两点，点C为圆上一点，且，则________．    【答案】 【分析】根据单位圆的特征写出各点的坐标，根据向量的坐标表示以及内积的坐标运算即可求解. 【详解】由单位圆半径为1可知， 因为，所以， 所以， 则. 故答案为：. 20．已知两个单位向量，的夹角为，若，则________. 【答案】或 【分析】根据向量垂直以及向量的内积求解即可. 【详解】因为、是单位向量，所以. 因为二者夹角为，所以. 因为，所以. 展开得， 代入得，化简，解得或. 故答案为：或. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量与的夹角为，，，求. 【答案】 【分析】根据向量模的公式及平面向量的内积即可得解. 【详解】， 向量与的夹角为，， 整理得，即， 得到， 解得或（舍）， 所以. 22．已知向量 ，，. (1)求； (2)若； 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算向量的模，再利用向量内积的定义求解即可； （2）利用两向量垂直等价于内积为0的性质展开代入已知值求解即可. 【详解】（1）已知，可得. 则； （2）已知，可得 ， 即，且， 则，解得. 23．已知 (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量模的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以，， 又， 所以， 解得. 24．已知，， (1)若，求m； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的条件列方程求解即可. （2）根据向量夹角的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知，，， ， ， 由，得， 整理得，解得. （2）已知，， 则，， ， ， 因为，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $