【选择题专项】12 二项式定理 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十二） 二项式定理 1．在的二项展开式中，第3项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】在的二项展开式中，第3项是. 故选：B. 2．展开式中第3项的二项式系数为（    ） A．6 B． C．24 D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数的公式求解即可. 【详解】因为展开式中第3项的二项式系数为，所以选项A正确． 故选：A. 3．二项展开式中，正确的是（   ）． A．展开式共6项 B．二项式系数最大的是第3项 C．展开式无常数项 D．所有项的系数之和为1 【答案】D 【分析】由二项定理对式子展开，逐个分析选项. 【详解】由二项定理可得，， 选项A，二项展开式共有项，该选项错误； 选项B，二项展开式的第项的二项式系数为，最大二项式系数为，对应第项，该选项错误； 选项C，对于，项为，该选项错误； 选项D，将代入二项式，得到所有项的系数之和为，该选项正确； 故选：D. 4．已知的二项展开式的中间项只是第5项，则（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用二项展开式的项数即可得解. 【详解】因为的二项展开式的中间项只是第5项， 所以的展开式一共有9项，则，故. 故选：C. 5．在的二项展开式中，含项的系数是（    ） A． B．80 C． D．5 【答案】A 【分析】利用二项式展开的通项公式，先求出展开式中项对应的，再计算其系数. 【详解】二项式的展开式通项为： 令，解得. 所以. 所以含项的系数是. 故选：A 6．展开式中的常数项为（    ） A．160 B．120 C．90 D．60 【答案】A 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：A. 7．已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据题意结合二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以， 由组合数的性质可得， 故选：. 8．若的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则第5项的二项式系数为（   ）. A．5670 B．81 C．56 D．70 【答案】D 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质确定即可得解. 【详解】的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， 则为偶数，且，解得， 第5项的二项式系数为， 故选：. 9．在的二项展开式中，若所有项的系数和为81，则第3项的系数是（   ） A． B．4 C．32 D．6 【答案】A 【分析】分别使代入中表示出所有项的系数和，列方程求出的取值，再由二项式通项公式求值即可. 【详解】已知， 当时，， 由所有项的系数和为81，得， 解得，即二项式， 第3项为，其系数为， 故选：A. 10．在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（    ） A．－60 B．－70 C．60 D．70 【答案】D 【分析】由偶数项的二项式系数之和求得项数及中间项，再由二项展开式通项求中间项系数即可. 【详解】因为偶数项的二项式系数之和为，所以， 则展开式共有项，中间项为第项， 因为二项式的展开式的通项为：， 所以，其系数为：. 故选：D. 11．在的二项展开式中，若第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则n的值是（     ） A．2 B．7 C．2或7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意结合二项式系数的定义及等差中项公式即可得解. 【详解】在的二项展开式中，， 第2项、第3项、第4项的二项式系数为，， 则， 解得（舍）或（舍）或. 故选：. 12．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二项式系数的性质及二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的二项展开式共有项， 其中中间项第4项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项是 . 故选：A. 13．二项式展开式中的系数是（    ） A． B． C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】二项式的通项公式为， 令，则含有的项为， 所以系数为24， 故选：. 14．设，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数和性质，令求解即可. 【详解】令，. 故选：C. 15．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的系数为（    ） A．60 B．80 C．120 D．180 【答案】B 【分析】首先求出，再根据二项式展开式求解即可. 【详解】令，得，所以， 所以. 令，所以，所以展开式中的系数为. 故选：B. 16．已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】将代入二项式中，即可解答. 【详解】已知， 令，得， 故选：C. 17．若二项展开式，则，等于（    ） A．1 B． C．127 D．128 【答案】B 【分析】在已知条件中，分别令，，两式相减即可求解. 【详解】， 当时，， 当时，， 所以． 故选：B． 18．二项式的展开式中，偶数项的系数之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式的展开式以及二项式系数的性质求解即可. 【详解】设二项式, 令，则, 令，则, 将上述两式相加，可得, 即偶数项的系数之和. 故选：B. 19．在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和. 【详解】的展开式通项为， 因此，展开式中所有奇数项的系数和为. 故选：D. 20．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】由， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中的系数为． 故选：B． 21．设，且，若能被整除，则a的值为（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先将转化成，再用二项式定理将展开，再由能被整除可得能被17整除，由此求解即可. 【详解】已知，且，则 利用二项式定理展开得 其中均为的倍数， 所以要使能被整除， 则能被17整除，且， 所以，， 故选：D． 22．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式乘法法则，结合二项式定理求解即得. 【详解】的展开式中含项为：展开式中项与展开式中项的和， 因此展开式中为， 所以的展开式中的系数为9. 故选：D 23．在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】展开式通项为. 已知第二项的二项式系数是，解得. 则第三项为. 故选：B. 24．在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两项二项式系数相等求得，再利用二项式定理求得其第4项，从而得解. 【详解】因为在的展开式中，第2项与第5项的二项式系数相等， 所以，解得， 所以的展开式中第4项为，即系数为. 故选：B. 25．（2026年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】展开式通项为. 已知第二项的二项式系数是，解得. 则第三项为. 故选：B. 26．（2025年山东省春季高考数学真题）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质判断二项式系数最大的项并求解即可． 【详解】根据二项式系数的性质可知，的二项展开式中，二项式系数最大的项是第四项： ， 故选：A． 27．（2024年山东省春季高考数学真题）的展开式中，常数项为 (　　) A． B． C．20 D．160 【答案】B 【分析】写出二项式的展开式通项，即可求得常数项. 【详解】的展开式通项为， 取常数项时，，故. 故选：B. 28．（2023年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和等于 (　　) A． B． C．75 D．255 【答案】A 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，展开的第四项为 ， 则第4项的系数是， 第4项的二项式系数是， 则第4项的系数与第4项的二项式系数的和为． 故选：A. 29．（2022年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出的二项展开式的通项，再由二项式系数的性质判断二项式系数最大的项，再求解即可. 【详解】的二项展开式的通项为，共有项， 其中第项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项是. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十二） 二项式定理 1．在的二项展开式中，第3项是（    ） A． B． C． D． 2．展开式中第3项的二项式系数为（    ） A．6 B． C．24 D． 3．二项展开式中，正确的是（   ）． A．展开式共6项 B．二项式系数最大的是第3项 C．展开式无常数项 D．所有项的系数之和为1 4．已知的二项展开式的中间项只是第5项，则（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 5．在的二项展开式中，含项的系数是（    ） A． B．80 C． D．5 6．展开式中的常数项为（    ） A．160 B．120 C．90 D．60 7．已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．若的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则第5项的二项式系数为（   ）. A．5670 B．81 C．56 D．70 9．在的二项展开式中，若所有项的系数和为81，则第3项的系数是（   ） A． B．4 C．32 D．6 10．在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（    ） A．－60 B．－70 C．60 D．70 11．在的二项展开式中，若第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则n的值是（     ） A．2 B．7 C．2或7 D．8 12．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（     ） A． B． C． D． 13．二项式展开式中的系数是（    ） A． B． C．12 D．24 14．设，则（   ） A．0 B． C．1 D． 15．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的系数为（    ） A．60 B．80 C．120 D．180 16．已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 17．若二项展开式，则，等于（    ） A．1 B． C．127 D．128 18．二项式的展开式中，偶数项的系数之和等于（    ） A． B． C． D． 19．在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 20．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．13 21．设，且，若能被整除，则a的值为（    ） A．1 B．4 C． D． 22．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 23．在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（   ） A． B． C． D． 24．在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是（    ） A． B． C． D． 25．（2026年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（ ） A. B. C. D. 26．（2025年山东省春季高考数学真题）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 27．（2024年山东省春季高考数学真题）的展开式中，常数项为 (　　) A． B． C．20 D．160 28．（2023年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和等于 (　　) A． B． C．75 D．255 29．（2022年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $