【选择题专项】11 立体几何 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦立体几何核心考点，以点线面位置关系判断为基础，综合应用为拓展，覆盖空间角、体积等高频考向，含近年真题，逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1：点线面位置关系判断|34题|基础概念辨析（平面确定、位置关系符号表示、空间分割等）|从平面基本性质到空间线面关系推导，强化空间观念与推理意识| |题型2：立体几何综合问题|10题（含3道真题）|综合应用（体积计算、空间角、几何体动态问题）|从单一几何量计算到多知识点综合应用，结合真题提升几何直观与应用意识|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十一）立体几何 题型1 点线面的位置关系及其判断 1．下述条件中，可以确定一个平面的是（    ） A．任意三个不同的点 B．一点和一条直线 C．共线的三点和这条直线外的一点 D．任意两条不重合的直线 【答案】C 【分析】由确定平面的条件即可得解. 【详解】选项，三个不共线的点可以确定一个平面，故错误， 选项，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，故错误， 选项，共线的三点和这条直线外的一点可以确定一个平面，故正确， 选项，任意两条不重合的直线，如果两条直线异面，则不能确定一个平面，故错误， 故选：. 2．如图，用符号语言可表示为（    ） A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【答案】A 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 3．三个平面不可能将空间分成（    ）个部分 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，五种情况讨论即可. 【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分； 若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分； 若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分 故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5. 故选：A. 4．如图，下列点、线、面关系表示正确的是（　　）    A．平面 B． C．平面平面 D． 【答案】D 【分析】根据线，面，点的符号表示逐个分析即可. 【详解】直线和平面关系用，故A错误， 点和直线关系用，故B错误， 两平面相交于一条直线，故C错误， 两条直线相交于一点，故D正确. 故选；D. 5．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相交直线与平行直线的概念判断①与②，根据中位线的性质可证明③④. 【详解】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且， ∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个. 故选：B. 6．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中直线的关系，以及充分必要条件的概念解得. 【详解】因为l，m，n是空间中不过同一点的三条直线， 若“l，m，n共面”，它们可以互相平行、不交，也可以两条平行一条相交， 不一定两两相交，即充分性不满足； 若“l，m，n两两相交”，即三条不过同一点、两两相交的直线，一定共面，必要性满足， 所以，空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件. 故选：B. 7．有下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，，，则； ④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中，正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三个公共点共线，可判断①，根据异面直线不在任一平面内，可判断②；根据平面相交的公理，可判断③，举出反例，可判断④. 【详解】对于①，若两个平面有三个公共点，这三个公共点共线，两平面相交于该直线，未必重合，故①不正确； 对于②，两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 对于③，若，，则在两个平面的交线上，又由，则，故③正确； 对于④，如正方体顶点处的三条件交线，交于一点但不共面，故④错误. 故正确命题的个数是1个. 故选：A. 8．下列说法不正确的是（    ） A．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面垂直 B．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面平行 C．经过平面外一条斜线，只可作一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一条垂线，可作无数个平面与已知平面垂直 【答案】A 【分析】利用平面的基本性质及以及线面之间的关系判断选项即可. 【详解】A:经过平面外一点，有无数个平面与已知平面垂直，故A选项不正确， B:经过平面外一点，有一个平面与已知平面平行,故B选项正确， C:经过平面外一条斜线，只可作一个平面与已知平面垂直，故C选项正确， D: 经过平面外一条垂线，可作无数个平面与已知平面垂直，故D选项正确. 故选:A. 9．如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据动点的不同位置，判断直线与直线的位置关系即可. 【详解】当位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误； 当与重合时，此时、面，故B错误； 当与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误； 由正方体的特征可知四边形为平行四边形， 而平面，平面，，、平面，，故与始终异面，即D正确． 故选：D 10．如图所示，在正方体中，有下列说法：①直线与直线相交；②直线与直线相交；③直线与直线异面；④直线与直线平行．其中说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合正方体利用直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】①在正方体中，平面，平面，且平面平面， 直线与直线不在同一平面内，且这两直线既不平行又不相交，故直线与直线是异面直线，因此①错误； ②在正方体中，平面，平面，且平面平面， 直线与直线不在同一平面内，且这两直线既不平行又不相交，是异面直线，因此②错误； ③在正方体中，平面，平面，且平平面平面， 与不在同一平面内，且这两直线既不平行又不相交，故直线与直线是异面直线，因此③正确； ④在正方体中，，由平行公理可得，因此④正确. 故选：B. 11．已知平面α外的直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l与平面的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．垂直、斜交或平行 【答案】D 【分析】以正方体为例，分别将、、作为直线，平面作为平面，可判断结论. 【详解】 如图，在正方体中， ①当直线为所在的直线时，它与平面（平面）内的两条直线都垂直，此时； ②当线为所在的直线时，它与平面（平面）内的两条直线都垂直，此时，； ③当线为所在的直线时，它与平面（平面）内的两条直线都垂直，此时，直线与平面斜交； 综上所述，l与平面的位置关系为垂直、斜交或平行. 故选：D 12．异面直线m，n分别在平面，内，若，则直线l与直线m，n（    ） A．都相交 B．至少有一条相交 C．至多有一条相交 D．至少有一条平行 【答案】B 【分析】根据空间中线线，线面，面面间的位置关系求解. 【详解】如果直线l与直线m，n都不相交， 因为m,l都在平面内，则， 同理， 则， 这与m,n是异面直线矛盾， 所以直线l与直线m，n至少有一条相交， 故选：B 13．若三角形ABC的三个顶点到平面的距离相等，则平面ABC与平面（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 【分析】分类讨论A、B、C三点的位置，即可求解. 【详解】若A、B、C三点在平面的同侧，平面ABC与平面平行； 若A、B、C三点在平面的两侧，平面ABC与平面相交. 故选：D. 14．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定，二面角的定义即可求解. 【详解】对A，因为，所以平面， 又平面，所以，因为平面平面， 所以为平面与平面的平面角， 因为是锐角三角形，所以， 所以平面与平面不垂直，故A错误. 对B，若平面平面，则平面内要有直线垂直平面， 因为，，则平面内找不到直线垂直平面， 所以平面平面不成立，故B错误. 对C，因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确. 对D，因为，所以平面， 因为与平面交于点，故平面内找不到直线垂直平面 所以平面和平面不垂直，故D错误. 故选：C. 15．已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 16．若，是空间两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，且，则； ④若，，，，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定①③；由平行于同一直线的两平面的位置关系判定②；由直线于平面平行判定④. 【详解】对于①：若，且，则或， 又因为，所以；故①正确； 对于②：若，且，则或与相交，故②错误； 对于③：若，，且，根据面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，此处缺少，因此得不到， 故③错误； 对于④：若，，，， 由面面平行的性质：两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面内，那么这条直线与另一个平面平行，则， 故④正确. 故选：B. 17．已知，表示平面，，表示直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】选项.若则或,故错误. 选项,,则不一定平行,可能异面，故错误. 根据线面垂直的性质该选项正确. 选项,,则不一定平行,可能相交，故错误. 故选:. 18．已知是直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的个数是（    ） ①若，，则；②若，，则 ③若，，，则；④若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线面平行与垂直、面面平行的相关知识，逐一分析判断各选项，从而得解. 【详解】对于①：若，，则或，故①错误； 对于②：垂直于同一条直线的两个平面平行，若，，则，故②正确； 对于③：若，，则或，相交，故③错误； 对于④：若，，则或，故④错误； 所以错误的个数是， 故选：C. 19．在空间中表示直线，表示平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行与垂直的性质逐项判断即可. 【详解】若，则与可能垂直，也可能平行，也可能斜交，故A错误； 若，则与可能平行，可能异面，故B错误； 若，则可能在内，也可能与平行，故C错误； 若，则，故D选项正确. 故选：D. 20．设有不同的直线m，n和平面，，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理，逐一分析选项即可. 【详解】对于选项A，若，，，则两平面可能相交，故选项A错误； 对于选项B，若，，，则两平面可能相交，故选项B错误； 对于选项C，因为，，所以，又因为，所以，故C正确； 对于选项D，因为，，所以，又，所以，故选项D错误． 故选：C. 21．下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（   ） ①若，则        ②若，则 ③若，则        ④若，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可判断①；由面面垂直的性质定理和面面平行的性质定理，可判断②；由线面平行的性质定理和线线的位置关系，可判断③；由面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，可判断④. 【详解】由于，由线面平行的性质定理得，平行于过的平面与的交线， 又，故，即，故①正确； 若，则与可能相交，也可能平行，故②错； 若，，由线面平行的性质定理，即得，平行、相交或异面，故③错； 若，，，则由面面平行的传递性得， 由线面垂直的性质定理得，故④正确. 故选：C. 22．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 【答案】C 【分析】分别根据空间异面直线的夹角，直线与平面的夹角的取值范围，二面角的取值范围及向量与向量夹角的取值范围即可得选项. 【详解】对于A选项，空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于B选项， 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于C选项， 二面角的取值范围是，故 C 正确； 对于D选项， 向量与向量夹角的取值范围是，故 D 选项错误. 故选：C. 23．在棱长为1的正方体中，和分别是和中点，那么直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平移将两条直线平移到同一平面中，得出直线与所成角为，根据正方体的性质结合勾股定理，利用余弦定理即可得解. 【详解】如图所示，作出图像，取中点，连接，则； 取中点，连接，则，    直线与所成角即为与所成角为， 设正方体棱长为， ，，， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值是， 故选：. 24．在长方体中，点E为的中点，底面为正方形，且，，则直线与所成的角的正切值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据异面直线所成的角的定义找到对应的角，根据直角三角形中正切的定义即可求解. 【详解】连接，如图，    在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为，所以直线与所成的角为， 因为底面为正方形，所以，， 所以， 在直角中，， 所以直线与所成的角的正切值为. 故选：C. 25．如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先找到异面直线和所成角，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示，取的中点T，连接. 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 所以为直线和所成角. 在三角形中，, 则三角形为直角三角形，所以. 故选：C.    26．在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何性质、线面角的定义及直角三角形中三角函数的应用，分析求解即可. 【详解】    设正四棱锥的底面边长为，顶点为，底面为正方形， 取为顶点在底面上的投影，即为的中心， 因为侧棱与底边的边长相等， 所以，且平面， 如图所示即为棱与底面所成的角， 因为为正方形对角线，所以，， 又因为平面，平面， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 故选：B. 27．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线与平面所成角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】在长方体中，侧棱平面， 所以直线在平面的射影为， 即直线与平面所成角为， 因为，， 所以. 故直线与平面所成角的正切值为. 故选：A. 28．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，. 若为 的中点，则直线与平面所成角的正切值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】找到直线与平面所成的角，结合平面，，求得所成角的正切值. 【详解】设 ,是的中点，连接，， 在中，因为是的中点，为 的中点， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以, 所以直线与平面所成角是, 在中，,, 因此， 故选：D. 29．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作半平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理证明出平面，再根据二面角的概念得出为二面角的平面角，最后根据题意结合三角函数的定义即可求值. 【详解】如图，过点作半平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以，又， 且为平面中的两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以，则为二面角的平面角， 所以，由点到半平面的距离为， 可得，则点到棱的距离即. 故选：C. 30．在三棱锥中，和都是边长为1的正三角形，若.则二面角所成角的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角，再结合边的关系求解角度即可. 【详解】取中点记作O，连接，，如图所示，    ∵和都是边长为1的正三角形， ∴，， ∴即为二面角所成角的平面角， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴二面角所成角的大小等于. 31．已知正方体如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．直线与所成的角是 D．面角的平面角是 【答案】D 【分析】利用正方体特性求异面直线所成的角、线面角、即二面角的大小即可. 【详解】连接，因为为正方体，所以， 所以直线与所成的角是，与所成的角， 连接，因为，，，皆为正方形对角线， 所以，所以， 所以直线与所成的角是，故A错误， 因为平面，，且平面， 则直线与平面所成的角是， 因为，则直线与平面所成的角，故B错误， 连接与，因为为正方体，所以， 所以直线与所成的角是，与所成的角是， 因为，所以， 所以直线与所成的角是，故C错误， 平面平面， 平面，平面，，， 则面角的平面角是， 因为，，则， 则面角的平面角是，故D正确， 故选：D. 32．在中，，，平面，，则P到的距离是 （　 　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取的中点，连接，由已知可证平面，从而，即线段的长为所求，在中，可求，然后在求即可. 【详解】    如图所示，取的中点，连接， 在中，， 所以. 因为平面，平面， 所以. 又因为，在平面内， 所以平面， 又平面， 所以，即线段的长为所求. 在中，，， 所以. 在中，. 故选：C 33．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为（    ）    A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据同底等高的棱锥与棱柱体积关系求得棱锥的体积，结合等体积法，棱锥的体积公式即可求解. 【详解】因为直三棱柱的体积为，所以棱锥的体积为. 因为棱锥与棱锥的体积相等，又的面积为， 设点A到平面的距离为，即，解得. 故选：B. 34.（2023年山东省春季高考数学真题）“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与直线得位置关系和异面直线的概念即可求解. 【详解】若“直线没有公共点”，则“或互为异面直线”； 若“直线互为异面直线”，则一定能得到“直线没有公共点”． 所以“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的必要不充分条件. 故选：B. 题型2 立体几何小题中的综合问题 35．如图1所示，一个正三棱柱容器的棱长都为2，内装水高度为容器的一半，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2所示，则倒置后容器中的水面高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先计算水的体积，利用三角形相似，求出倒置后空白区域的体积，根据水的体积不变，求出高度. 【详解】正三棱柱的底面是边长为的正三角形，其面积为. 容器的棱长为2，装水高度为容器的一半，所以水的体积为； 倒置后的容器：容器放倒后，以侧面为底面，此时水的体积不变，且水占容器体积的一半， 所以上方空的部分也是一个小三棱柱. 设倒置后水面高度为，则空的部分的截面是一个与底面相似的三角形，相似比为，面积比为. 因为水的体积是总体积的一半，所以空的部分体积也是总体积的一半. 因为，代入得， 化简得，. 故选：A. 36．已知圆柱形烧杯内壁半径为5，两个半径均为5的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面下降高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球与圆柱的体积公式求解. 【详解】由题意得，水面下降体积等于两铜球体积之和， 一个铜球的体积，烧杯底面积， 所以烧杯内的水面下降高度. 故选：C. 37．一个冰淇淋蛋筒可近似看作一个圆锥，已知圆锥的母线长为10，底面半径为6，则这个冰淇淋蛋筒的侧面积（不含底面）与容积（体积）的数值之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的体积以及侧面积公式求解即可. 【详解】已知母线长，底面半径，则圆锥的高， 圆锥的侧面积（不含底面）， 圆锥的体积， 则侧面积与容积的数值之比． 故选：D． 38．已知一平面经过球体的球心将球体截成两个半球，若截开后表面积增加了，则球体的体积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据截开后表面积增加了两个截面圆的面积列方程求出球的半径，再由球的体积求值即可. 【详解】设球的半径为，则， 解得， 所以球体的体积是， 故选：B. 39．如图所示，在正三棱柱中，，，E是的中点，有下列说法：    ①、与所成角的余弦值为； ②、平面 ③、为直角三角形 ④、平面 其中，说法正确的序号是：（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用正三棱柱的结构特征，结合空间中直线与平面的位置关系与三角函数可判断. 【详解】因为为正三棱柱，则， 则与所成角为与所成角， 因为为正三棱柱，则平面，则， 则，，①正确； 因为为正三棱柱，则为等边三角形，则， 则不垂直，又因为平面，平面， 则与平面不垂直，②错误； 因为为等边三角形，E是的中点， 则，又因为，，则， ， E是的中点，且边长为2，则中线， 又，即， 则为直角三角形，③正确， ，平面，则与平面不平行， 则与平面不平行，④错误. 综上①③正确； 故选：C. 40．如图所示，在正方体中，E为的中点，F为的中点． 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与平面平行． 其中所有真命题的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据异面直线的判断方法，线面垂直性质，面面平行性质逐项判断即可. 【详解】如图，连接， 因为E为的中点，F为的中点，所以， 且正方体中，， 所以，可以构成一个平面， 所以直线与直线共面，①是假命题； 因为平面，平面， 且平面平面， 所以直线与直线异面，②是假命题； 因为正方体中，平面，且平面， 所以，③是真命题； 因为正方体中平面平面，且平面， 所以平面，④是真命题. 故选：D. 41．在三棱锥中，已知，，点，，分别是棱，，的中点，则下面结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．是直线与直线所成的角 C．平面平面 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】D 【分析】利用面面平行的判定定理判断A，利用异面直线所成角的定义判断B，利用线面与面面垂直的判定与性质定理判断C，利用锥体的体积公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为点，，分别是棱，，的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面， 同理得平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 对于B，因为， 所以是异面直线与直线所成的角，故B正确； 对于C，因为，，平面， 所以平面， 由上知，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为点，分别是棱，的中点，所以， 以为底面，为高，三棱锥的体积为， 以为底面，为高，三棱锥的体积为， 所以三棱锥与三棱锥的体积之比为，故D错误. 故选：D. 42．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】A选项，当点与点重合时，与异面，所以A错误. B选项，在正方体中， 是正方体的体对角线，， ，且与都在平面内，平面， 平面，.所以B正确. C选项，当点与点重合时，， 又平面，平面，与平面不平行， 与平面不平行，即此时与平面不平行，所以C错误. D选项，当点与点重合时，与夹角为， 则与不垂直，又平面， 不垂直平面，所以D错误. 故选：B. 43．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，容积为的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将容器以棱所在直线为旋转轴，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面，该平面都可以把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是 (　　) A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线与平面始终平行 D．下半部分几何体的正视图面积不变 【答案】B 【分析】根据题意，逐一分析选项判断即可. 【详解】对于A，B选项：因为容器所盛液体的体积是，而三棱锥的体积公式， 若上半部分是三棱锥，其体积最大值小于长方体体积的一半， 所以上半部分的几何体不可能是三棱锥， 而在旋转过程中液面始终将长方体容器分为上下两部分，且上下两部分体积相等， 所以下半部分的几何体不可能是三棱锥，故A错误，B正确； 对于C选项：由题意可知，容器旋转到任意一个位置后， 有平面或平面，故C错误； 对于D选项：在旋转过程中，下半部分几何体形状会发生变化， 其正视图的形状和面积也会随之发生变化， 所以下半部分几何体的正视图面积不是不变的，故D错误. 故选：B. 44．（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，正三棱锥的棱长都是2，D是SC的中点，给出下列结论：①；②；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是．其中正确的结论是（   ）    A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据两直线公共点个数判断是否平行排除①，根据线面垂直判定定理和性质定理证明②成立， 根据线面角定义及三角函数值排除③，根据三棱锥体积公式计算并判断出④正确. 【详解】与有公共点，不平行，①错误； 如图所示，取中点，连接，    因为正三棱锥棱长都是2，所以与为等边三角形， 且为中点，所以有，， 且平面，，所以平面， 且平面，所以，②正确； 如图所示，过作垂直底面的垂线，垂足为，    则由正三棱锥顶点在底面内的射影是底面三角形的中心可知： 在上，且， 在中，， 所以与平面所成的角不是，③错误； ， ，④正确. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十一）立体几何 题型1 点线面的位置关系及其判断 1．下述条件中，可以确定一个平面的是（    ） A．任意三个不同的点 B．一点和一条直线 C．共线的三点和这条直线外的一点 D．任意两条不重合的直线 2．如图，用符号语言可表示为（    ） A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 3．三个平面不可能将空间分成（    ）个部分 A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，下列点、线、面关系表示正确的是（　　）    A．平面 B． C．平面平面 D． 5．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．有下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，，，则； ④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中，正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列说法不正确的是（    ） A．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面垂直 B．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面平行 C．经过平面外一条斜线，只可作一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一条垂线，可作无数个平面与已知平面垂直 9．如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 10．如图所示，在正方体中，有下列说法：①直线与直线相交；②直线与直线相交；③直线与直线异面；④直线与直线平行．其中说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知平面α外的直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l与平面的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．垂直、斜交或平行 12．异面直线m，n分别在平面，内，若，则直线l与直线m，n（    ） A．都相交 B．至少有一条相交 C．至多有一条相交 D．至少有一条平行 13．若三角形ABC的三个顶点到平面的距离相等，则平面ABC与平面（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 14．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 15．已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．若，是空间两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，且，则； ④若，，，，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 17．已知，表示平面，，表示直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 18．已知是直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的个数是（    ） ①若，，则；②若，，则 ③若，，，则；④若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 19．在空间中表示直线，表示平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．设有不同的直线m，n和平面，，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 21．下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（   ） ①若，则        ②若，则 ③若，则        ④若，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 22．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 23．在棱长为1的正方体中，和分别是和中点，那么直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 24．在长方体中，点E为的中点，底面为正方形，且，，则直线与所成的角的正切值为（   ）    A． B． C． D． 25．如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 26．在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 27．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 28．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，. 若为 的中点，则直线与平面所成角的正切值为（   ） A． B．2 C． D． 29．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 30．在三棱锥中，和都是边长为1的正三角形，若.则二面角所成角的大小等于（    ） A． B． C． D． 31．已知正方体如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．直线与所成的角是 D．面角的平面角是 32．在中，，，平面，，则P到的距离是 （　 　） A． B．2 C．3 D．4 33．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为（    ）    A． B． C．2 D．5 34.（2023年山东省春季高考数学真题）“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 立体几何小题中的综合问题 35．如图1所示，一个正三棱柱容器的棱长都为2，内装水高度为容器的一半，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2所示，则倒置后容器中的水面高度为（    ）    A． B． C． D． 36．已知圆柱形烧杯内壁半径为5，两个半径均为5的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面下降高度为（    ） A． B． C． D． 37．一个冰淇淋蛋筒可近似看作一个圆锥，已知圆锥的母线长为10，底面半径为6，则这个冰淇淋蛋筒的侧面积（不含底面）与容积（体积）的数值之比为（   ） A． B． C． D． 38．已知一平面经过球体的球心将球体截成两个半球，若截开后表面积增加了，则球体的体积是（     ）． A． B． C． D． 39．如图所示，在正三棱柱中，，，E是的中点，有下列说法：    ①、与所成角的余弦值为； ②、平面 ③、为直角三角形 ④、平面 其中，说法正确的序号是：（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 40．如图所示，在正方体中，E为的中点，F为的中点． 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与平面平行． 其中所有真命题的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 41．在三棱锥中，已知，，点，，分别是棱，，的中点，则下面结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．是直线与直线所成的角 C．平面平面 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 42．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 43．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，容积为的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将容器以棱所在直线为旋转轴，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面，该平面都可以把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是（    ） A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线与平面始终平行 D．下半部分几何体的正视图面积不变 44．（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，正三棱锥的棱长都是2，D是SC的中点，给出下列结论：①；②；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是．其中正确的结论是（   ）    A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $