【选择题专项】09 三角计算 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦三角计算核心模块，以题型分层递进，覆盖和角公式、倍角公式及解三角形，结合真题强化应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |和角公式|20题（含2真题）|直接应用、公式变形及象限角计算|从公式直接运算到结合角的范围推理，构建“公式记忆-条件分析-准确运算”链条| |倍角公式|20题（含1真题）|函数周期/最值、公式逆用及充要条件判断|以公式为基础，延伸至函数性质研究，体现“公式推导-函数转化-性质应用”逻辑| |解三角形|10题|正弦/余弦定理应用、三角形判定及实际测量|衔接三角公式与几何问题，形成“公式工具-定理应用-实际建模”递进关系|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （九）三角计算 题型1 和角公式 1．（   ） A． B． C． D．1 2．（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．在中，角C为直角，，求（    ） A． B． C．0 D．1 5．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 6．（     ） A． B． C． D． 7．已知，，则（     ） A． B． C． D． 8．若，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（   ）． A． B． C． D． 10．已知，是第三象限角，则（   ） A．7 B． C． D． 11．若在上是减函数，则a的最大值为（   ） A． B． C． D． 12．将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．已知点在角的终边上，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．若向量，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 17．已知，，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 18．若，则 （ ） A． B． C．1 D．3 19.（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则（ ） A． B． C． D． 20．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于（ ） A．1 B． C． D．2 题型2 倍角公式 21．函数的最小正周期为（    ）． A． B． C． D． 22．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．函数的最小正周期是，则的值是（   ） A． B． C． D． 25．（    ） A． B． C． D．1 26．函数的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 27．函数在上的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   28．设，且，则锐角等于（    ） A． B． C． D． 29．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 30．已知，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．4 31．已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 32．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 33．设，向量，，若，则（   ） A． B．1或 C． D．1或 34．若，则函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A． B． C． D． 35．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 36．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 38．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．如果，那么（    ） A． B． C． D． 40.（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是（    ） A． B． C． D． 题型3 解三角形 41．在中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 42．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 43．在中，若，则（    ） A． B． C． D．或 44．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 45．的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 46．在△ABC中，，则一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 47．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 48．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（   ）． A． B． C．2 D． 49．在中，内角所对应的边分别为，若，则=（    ） A． B． C． D． 50．如图所示，已知A、B两点在河的两岸，一名测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出的距离为50 m，，后，计算出A、B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （九）三角计算 题型1 和角公式 1．（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】 ， 故选：B. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】， 故选：. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和与差的余弦公式化简求值即可. 【详解】 ， 故选：C. 4．在中，角C为直角，，求（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由题意，角为直角，. 所以. 所以. 因为. 所以. 所以. 故选：B. 5．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数的平方关系求出的值，再利用两角和的正弦公式计算. 【详解】已知，且， 可得：， 所以. 故选：C. 6．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为. 故选：C. 7．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 8．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求未知角用已知角表示,再利用两角差正切公式易得答案. 【详解】由题意得. 故选:A. 9．已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由同角三角函数的平方关系求出，再由商数关系求出，再由两角和的正切公式求值即可. 【详解】已知，， 则， ， 所以， 故选：A. 10．已知，是第三象限角，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用诱导公式求出的值，结合同角三角函数基本关系式求出的值，代入两角和的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 结合同角三角函数的平方关系及是第三象限角，得， 则， 因此． 故选：. 11．若在上是减函数，则a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简函数，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 则，解得， 当，函数的一个完整减区间为， 所以需包含在内，则， 解得，即的最大值为. 故选：A. 12．将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标可得点坐标，然后利用三角函数的定义及两角差的正、余弦公式求解. 【详解】向量，则， 设点是角终边一点，则， 所以，， 设点的坐标为， 由题意， ， 则点的坐标为. 故选：D. 13．已知点在角的终边上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由任意角的三角函数的定义求出，再由两角和的余弦公式求值即可. 【详解】已知点在角的终边上， 则， 所以， 则， 故选：B. 14．若向量，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量内积的坐标表示结合余弦函数的两角和公式化简求解即可. 【详解】向量，，且，， 则. 故选：D. 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的余弦公式化简代数式，再结合三角函数商的关系式，即可求解. 【详解】已知 ， 所以，即， 显然 ，所以， 故选：C. 16．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式及两角和差的正弦公式即可得解. 【详解】∵，∴， 即， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 故选：B． 17．已知，，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，正、余弦的二倍角公式，及两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， ， 因为，，所以，， 又，所以， 所以， 所以 . 故选：C. 18．若，则 （ ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先用同角三角函数的基本关系式求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故选：B. 19.（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 20．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 . 故选：A. 题型2 倍角公式 21．函数的最小正周期为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式将函数进行化简，再根据正弦型函数的周期公式即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为. 故选：A. 22．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两角和的正切公式求解的值，再由二倍角的余弦公式将正余弦化为正切求解即可. 【详解】由，可得， 即，则有， 解得， 则. 故选：C. 23．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 24．函数的最小正周期是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式将函数解析式化简为，再利用周期公式表示出函数的最小正周期，将已知的周期代入得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为， 所以， 又因为，所以. 故选：. 25．（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题利用二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 故， 根据所学可知，. 故选：B. 26．函数的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由二倍角的余弦公式将函数化为类二次函数，再由余弦函数和二次函数的性质求最小值. 【详解】函数， 令，则， 则，对称轴为， 所以在上单调递增， 故时，取最小值，最小值为. 故选：B. 27．函数在上的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先化简函数，再判断其周期和值域，即可求解. 【详解】，其最小正周期，排除AD. ∵，故. ∴，即的值域为，故排除C. 故选：B. 28．设，且，则锐角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】解：向量，且， 所以，即， 又因为角为锐角， ． 故选：B. 29．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】 故选：A 30．已知，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用三角函数的二倍角公式与基本关系式即可得解. 【详解】，， 则的值是. 故选：C. 31．已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，又， 所以， 因为，所以， 则，所以. 故选：D. 32．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，再由正弦函数的最值公式即可解答. 【详解】令， 所以 ， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故选：C. 33．设，向量，，若，则（   ） A． B．1或 C． D．1或 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，向量，，且， 所以，所以或. 当，，所以或，进而或. 当，即，，所以. 所以. 故选：B. 34．若，则函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍角公式与辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则函数的最小正周期为，最大值为3. 故选：C. 35．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式将函数进行化简，利用最小正周期公式即可得解. 【详解】， 最小正周期为， 故选：C. 36．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意利用降幂公式及辅助角公式化简函数解析式，结合最小正周期公式即可得解. 【详解】， 函数的最小正周期为，则，解得， 所以当时，函数的最小正周期为，故充分性成立； 当函数的最小正周期为时，，故必要性成立， 所以“”是“函数的最小正周期为”的充要条件， 故选：. 37．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半角公式直接求解即可. 【详解】因为，所以, 故选：A. 38．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数基本关系式与二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以， 所以. 故选：A. 39．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系与正弦二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B. 40.（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式和周期公式化简计算即可. 【详解】 ， 所以函数的周期， 故选：B. 题型3 解三角形 41．在中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，已知，即， 所以， 又，所以. 故选：B. 42．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理求出值即可得解. 【详解】在中，，，， 由正弦函数可知，解得， 因为，所以或， 故选：. 43．在中，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：A. 44．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】的内角的对边分别为， 且， 则，解得或（舍）， 故选：. 45．的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将条件等式中的角化成边，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设三角形外接圆半径为，则由正弦定理可得： 即， 整理得：， 则， 且，所以. 故选：C. 46．在△ABC中，，则一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合已知条件求出角B的值，然后进行判断即可． 【详解】因为在中，， 由正弦定理可得， 角A为三角形的内角，所以， 同除以可得， 又，则， 一定是直角三角形. 故选：B. 47．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 48．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由角度的比值，分别求出角的大小，再利用正弦定理求出边c的值. 【详解】在中，， 所以, ， ， 又， 因为，由正弦定理可得， . 故选：D. 49．在中，内角所对应的边分别为，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理，结合同角三角函数函数的关系即可求解. 【详解】根据余弦定理得，， ， 显然，所以. 故选：D. 50．如图所示，已知A、B两点在河的两岸，一名测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出的距离为50 m，，后，计算出A、B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求得，再由正弦定理即可求解. 【详解】由题意可得，. 由正弦定理可得，即. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $