6.4数列的应用（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.4 数列的应用 【复习目标】 能运用数列的知识解决实际问题. 【知识梳理内容】 考点1 等差数列的应用 一般地，在实际问题中，若每期增长或减少的数值相同，则每期的数量构成等差数列，即考虑应用等差数列的相关知识解决此问题. 【即时训练】 1.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么第10年该农场需栽种植被的公顷数是(  ) A.41 B.51 C.55 D.59 2.建筑物屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了20块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了10层瓦片，那么，该斜面共铺了多少块瓦片(  ) A.200 B.290 C.245 D.145 3.《九章算术》记录了一个“竹九节”问题：有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共4升，则中间3节的容积是(  ) A.3升 B.4升 C.2升 D.11升 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五人五钱，令上两人所得与下三人等.问各得几何？”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱“是古代的一种重量单位)这个问题中，丁所得为(  ) A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 5.2022年，第24届冬奥会在北京举办，已知冬奥会每4年举办一次，则第30届冬奥会举办的年份是_____年. 6.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______. 7.我国古代数学名著《算法统宗》中说:九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为________． 8.我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载:“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同)”.若该女子第1天织布2尺，前20天共织布60尺，则第20天织布__________尺. 9.假设某市年新建住房万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加万平方米．那么该市在______年新建住房的面积开始大于万平方米． 10.小明、小明的爸爸和小明的爷爷三人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄． 11.《九章算术》有一道题:若齐国与长安相距里，良马从长安出发去齐国，驽马从齐国出发去长安.良马第一天行里，之后每天比前一天多行里；驽马第一天行里，之后每天比前一天少行2里.则驽马与良马第几日相遇？ 12.某人用4根相同的木棒拼出了图形1，然后按下图的规律依次拼出了图形2、图形3、图形4、…，    若从图形1起，各图形所用的木棒数量依次构成数列，解答以下问题： (1)求数列的通项公式； (2)从图形1拼到图形10，一共需要多少根木棒？ 13.随着人工智能产业的快速发展，某城市人工智能领域的专业人才需求量逐年递增，形成等差数列.已知第1年人才需求量为人，第4年人才需求量为1100人． (1)求该数列的公差d及通项公式； (2)设前年的人才需求总量为，若以每年人才需求量的算术平均数作为当年的“产业需求指数”，记为，试判断是否为等差数列，并说明理由. 【知识梳理内容】 考点2 等比数列的应用 若每期增长或减少的倍数(比值、百分数)相同，则每期的数量构成等比数列，即考虑应用等比数列的知识解决此问题． 【即时训练】 14.现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 15.某工厂今年1月份产量为，若月平均增长率为，则今年12月份产值为(  ) A.12 B. C. D. 16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(  ) A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 17.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为_______. 18.某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 19.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它出去找回4个同伴，每天从蜂巢出去的蜜蜂的只数记为当天蜂巢里蜜蜂的只数，第二天5只蜜蜂出去，各自找回4个同伴，…，那么到第五天蜂巢里有________只蜜蜂. 20.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是:“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺． 1.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，从到修筑一段公路需要50车的石料，石料厂到的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从运送到施工路段，第1车石料卸在处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： (1)该车运送第20车石料往返的路程； (2)该车所有往返的路程之和. 2.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. (1)求，，的值； (2)若的边长小于0.01，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.4 数列的应用 【复习目标】 能运用数列的知识解决实际问题. 【知识梳理内容】 考点1 等差数列的应用 一般地，在实际问题中，若每期增长或减少的数值相同，则每期的数量构成等差数列，即考虑应用等差数列的相关知识解决此问题. 【即时训练】 1.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么第10年该农场需栽种植被的公顷数是(  ) A.41 B.51 C.55 D.59 【答案】B 【分析】由题可知每年栽种植被的公顷数是以首项，公差的等差数列，据此可求解. 【详解】依题可知，每年栽种植被的公顷数是以首项，公差的等差数列， 所以第10年该农场需栽种植被的公顷数是 . 故选:B 2.建筑物屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了20块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了10层瓦片，那么，该斜面共铺了多少块瓦片(  ) A.200 B.290 C.245 D.145 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式计算求解. 【详解】由题意得，从最上面一层开始，每一层瓦片数构成一个等差数列，首项为20，公差为1，共10项， ∴该斜面铺的瓦片总数即为该数列的前10项和． 故选:C． 3.《九章算术》记录了一个“竹九节”问题：有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共4升，则中间3节的容积是(  ) A.3升 B.4升 C.2升 D.11升 【答案】A 【分析】根据等差中项易得答案. 【详解】由题意得,所以. 故选:A. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五人五钱，令上两人所得与下三人等.问各得几何？”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱“是古代的一种重量单位)这个问题中，丁所得为(  ) A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 【答案】D 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题求解即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为，，，，，为前n项和，公差为d， 由题意可得， 所以， 解得， 故， 所以丁所得为钱． 故选:D. 5.2022年，第24届冬奥会在北京举办，已知冬奥会每4年举办一次，则第30届冬奥会举办的年份是_____年. 【答案】 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式即可得解. 【详解】根据题意可知，冬奥会每年举办的年份构成等差数列记作， 则，公差， 所以. 故答案为:. 6.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______. 【答案】840 【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解. 【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为． 根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且， 故． 由， 因此，则该报告厅总座位数为840个座位． 故答案为:840 7.我国古代数学名著《算法统宗》中说:九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为________． 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】由题意知每人所得的旅费构成等差数列， 其中，， 则，解得． 故答案为:. 8.我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载:“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同)”.若该女子第1天织布2尺，前20天共织布60尺，则第20天织布__________尺. 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】由题意可知该女子每天织布的数量成等差数列，设该等差数列为， 则，， 所以，解得， 所以第20天织布的数量为尺， 故答案为:. 9.假设某市年新建住房万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加万平方米．那么该市在______年新建住房的面积开始大于万平方米． 【答案】 【分析】记新建住房面积为数列，由题意可知是等差数列，求出等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设年后该市新建住房的面积为万平方米． 由题意，得是等差数列，首项，公差， 所以．令，解得． 由于，则．所以该市在年新建住房的面积开始大于万平方米． 故答案为:. 10.小明、小明的爸爸和小明的爷爷三人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄． 【答案】祖孙三人的年龄分别为15岁、40岁、65岁 【分析】根据题意，结合等差数列的概念和性质，可设祖孙三人的年龄分别为，继而列式求解. 【详解】由题意，设祖孙三人的年龄分别为，则 ，即， 解得，所以， 即祖孙三人的年龄分别为15岁、40岁、65岁． 11.《九章算术》有一道题:若齐国与长安相距里，良马从长安出发去齐国，驽马从齐国出发去长安.良马第一天行里，之后每天比前一天多行里；驽马第一天行里，之后每天比前一天少行2里.则驽马与良马第几日相遇？ 【答案】驽马与良马第日相遇. 【分析】由题意知良马、驽马每日路程数构成等差数列，设良马和驽马第n日相遇，则利用等差数列的前n项和公式解出n值即可. 【详解】由题意可得，良马、驽马每日路程数构成等差数列 设良马、驽马每日路程数构成的等差数列分别为， 由题意，良马：， 则n日走的路程和为； 驽马：， 则n日走的路程和为. 两匹马走的总路程为， 则， 即，解得(舍去)， 故驽马与良马第日相遇. 12.某人用4根相同的木棒拼出了图形1，然后按下图的规律依次拼出了图形2、图形3、图形4、…，    若从图形1起，各图形所用的木棒数量依次构成数列，解答以下问题： (1)求数列的通项公式； (2)从图形1拼到图形10，一共需要多少根木棒？ 【答案】(1) (2)175根 【分析】(1)分析数列的规律，根据等差数列的定义及通项公式求解； (2)由等差数列前项和公式求解. 【详解】(1)已知，通过观察图形规律可得： ，，，…，以此类推，（）， 这表明数列从第二项起，每一项与前一项的差都为3， 所以是一个首项，公差的等差数列， 所以. (2)因为，， 所以数列的前10项和. 所以从图形1拼到图形10，一共需要175根木棒. 13.随着人工智能产业的快速发展，某城市人工智能领域的专业人才需求量逐年递增，形成等差数列.已知第1年人才需求量为人，第4年人才需求量为1100人． (1)求该数列的公差d及通项公式； (2)设前年的人才需求总量为，若以每年人才需求量的算术平均数作为当年的“产业需求指数”，记为，试判断是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)， (2)是等差数列，理由见详解 【分析】(1)利用等差数列的通项公式进行求解即可. (2)先求出的表达式，再根据等差数列的定义判断是否为常数即可. 【详解】(1)由题意得，在等差数列中，， 由，得， 解得, 所以通项公式. (2)是等差数列，理由如下： 由(1)得，数列的前项和， 所以， 因为，且. 所以数列是首项为800，公差为50的等差数列． 【知识梳理内容】 考点2 等比数列的应用 若每期增长或减少的倍数(比值、百分数)相同，则每期的数量构成等比数列，即考虑应用等比数列的知识解决此问题． 【即时训练】 14.现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】根据题意该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，其前5项和．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【详解】根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为，因为她5天共织布31尺，则， 解得，则. 故选:C. 15.某工厂今年1月份产量为，若月平均增长率为，则今年12月份产值为(  ) A.12 B. C. D. 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式即可求得. 【详解】由题意知，月份产量构成以为首项，为公比的等比数列， 则通项公式为，所以12月份产值为. 故选:C. 16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(  ) A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 【答案】B 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式求解. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走里. 故选:B． 17.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为_______. 【答案】 【分析】利用等比数列在实际问题中的应用求解即可. 【详解】该批设备每年的价值构成以a为首项，为公比的等比数列， 则第n年时这批设备的价值为. 故答案为:. 18.某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 【答案】 【分析】根据得出每天的高度为等比数列，根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意可知，该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为的等比数列， 设等比数列为，则， 所以毫米， 故答案为:. 19.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它出去找回4个同伴，每天从蜂巢出去的蜜蜂的只数记为当天蜂巢里蜜蜂的只数，第二天5只蜜蜂出去，各自找回4个同伴，…，那么到第五天蜂巢里有________只蜜蜂. 【答案】3125 【分析】找出每天蜂巢里蜜蜂数量的变化规律，判断其为等比数列，然后利用等比数列的通项公式进行计算. 【详解】第一天:原本有只蜜蜂，出去只找回个同伴，那么第一天结束后蜂巢里蜜蜂的数量为只， 第二天:只蜜蜂出去，各自找回个同伴，所以增加了只蜜蜂，第二天结束后蜂巢里蜜蜂的数量为只， 第三天:只蜜蜂出去，各自找回个同伴，增加了只蜜蜂，第三天结束后蜂巢里蜜蜂的数量为只， 以此类推，可发现每天结束后蜂巢里蜜蜂的数量构成了一个首项，公比的等比数列， 所以第五天蜂巢里蜜蜂的数量为. 故答案为:3125. 20.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺． 【答案】 【分析】小老鼠和大老鼠每天打洞的距离为等比数列，分别求等比数列前6项和即可得结果. 【详解】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列， 前6天打洞之和为； 大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前6天打洞之和为． 所以两只老鼠前6天打洞穿墙的厚度之和为． 故答案为:. 1.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，从到修筑一段公路需要50车的石料，石料厂到的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从运送到施工路段，第1车石料卸在处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： (1)该车运送第20车石料往返的路程； (2)该车所有往返的路程之和. 【答案】(1)3900米 (2)222500米 【分析】(1)根据已知条件可知数列为等差数列，求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解； (2)利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】解:(1)把记为数列，则该车运送第20车石料往返的路程是， 因为在数列中，从第2项起，每一项与前一项的差都等于， 所以数列为等差数列，其中，公差， 则. (2)由(1)可知，该车所有往返的路程之和是等差数列的前50项和， 因为，， 所以. 答:该车所有往返的路程之和是222500米. 2.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. (1)求，，的值； (2)若的边长小于0.01，求的最小值. 【答案】(1)3， (2)10 【分析】(1)由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； (2)由(1)可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【详解】解:(1)因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，. (2)由(1)知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $