6.3等比数列（练习）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以支架式教学为理念，构建等比数列概念-公式-性质的逻辑体系，通过分层训练实现从基础到综合的能力进阶，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点1 等比数列的概念及通项公式|基础题9题+进阶题11题|选择/填空/解答（含证明）|概念生成→通项公式推导→性质应用（如等比中项）| |考点2 等比数列的前n项和公式及性质|基础题11题+进阶题12题|选择/填空/解答（含综合求和）|前n项和公式推导→性质拓展（如片段和）→实际应用|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题六 6.3 等比数列 【考点1 等比数列的概念及通项公式】 1.已知等比数列，则该数列的公比q是(  ) A.2 B. C.4 D. 2.已知等比数列公比，则(  ) A.2 B.4 C.8 D. 3.已知两个数的等差中项是10，等比中项是8，则这两个数是(  ) A.3和15 B.4和16 C.4和9 D.3和7 4.设等比数列的公比为，，则=(  ) A.1 B. C. D. 5.在等比数列中，，公比，则(  ) A. B. C. D. 6.在等比数列中，已知首项为2，且，求(  ) A.4 B.8 C. D. 7.若数列，a，b，c，是等比数列，则_________. 8.已知等比数列中，，，求的通项公式. 9.在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，求； (3)若，求． 【考点2 等比数列的前n项和公式及性质】 10.在等比数列中，若，则(  ) A.6 B. C.18 D. 11.等比数列中，，，则(  ) A.15 B.16 C.31 D.32 12.等比数列的前10项和是(  ) A. B. C. D. 13.在等比数列中，已知，且，则该数列的前5项和(  ) A. B. C. D. 14.已知等比数列的公比是3，前5项和是363，则的首项是(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 15.已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则(  ) A. B.4 C. D.6 16.已知等比数列的公比，且前项和为，则(  ) A. B. C. D. 17.已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 18.设等比数列的前n项和为，若，，则其公比________． 19.在等比数列中，，公比，则前4项和_______________. 20.已知数列的通项公式为． (1)求数列前10项和； (2)在等比数列中，已知，，求数列的通项公式. 【考点1 等比数列的概念及通项公式】 21.成等比数列，则(  ) A. B. C.或 D. 22.“”是“a，G，b三个数成等比数列”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 23.如果一个数列既是等差数列又是等比数列，则此数列(  ) A.为常数数列 B.为非零的常数数列 C.存在且唯一 D.不存在 24.在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为(  ) A. B. C.或 D.或 25.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则(  ) A. B. C. D. 26.已知三个数成递增的等比数列，它们的和是13，积是27，则公比______. 27.已知是等比数列，是方程的两个根，则 ______. 28.在等比数列中，，，求的值. 29.已知数列的前项和为，且. (1)求的值； (2)设，证明数列为等比数列，并求通项公式. 30.已知数列的首项为2，且满足， ， (1)求数列的通项公式； (2)若=，求数列的前项和 31.在数列中，，，(为常数，)，且，，成公比不等于1的等比数列． (1)求此数列通项公式； (2)求此数列前7项的和． 【考点2 等比数列的前n项和公式及性质】 32.在等比数列中，已知，，则(  ) A.600 B.480 C.360 D.240 33.设等比数列的前项和为，若，则(  ) A. B. C. D. 34.若为等比数列的前n项和，已知，则(  ) A. B. C. D. 35.在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是(  ) A.150 B.200 C.250 D.300 36.已知，则(  ) A. B. C. D. 37.已知等比数列的前项和是，，，则等于(  ) A.8 B.12 C.16 D.24 38.在等比数列中，若，，则_______. 39.设是等比数列的前n项和，若，，则__________． 40.已知等比数列的前n项和为，且成等差数列，则数列的公比q＝________． 41.记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 42.已知为等差数列，为等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 43.设数列的前n项和且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求. 1.(2025年山东省春季高考数学真题)现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2023年山东省春季高考数学真题)若成等比数列，则实数的值是(  ) A. B. C.6或－6 D.8或－8 3.(2026年山东省春季高考数学真题)已知等比数列的前n项和是(C为常数) (1)求常数C的值. (2)若，求n的最小值. 4.(2024年山东省春季高考数学真题)在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题六 6.3 等比数列 【考点1 等比数列的概念及通项公式】 1.已知等比数列，则该数列的公比q是(  ) A.2 B. C.4 D. 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列的概念，即可求解. 【详解】等比数列的公比. 故选:B. 2.已知等比数列公比，则(  ) A.2 B.4 C.8 D. 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知等比数列公比， 则， 故选:C. 3.已知两个数的等差中项是10，等比中项是8，则这两个数是(  ) A.3和15 B.4和16 C.4和9 D.3和7 【答案】B 【分析】根据题意，结合等差中项与等比中项的概念及其应用，即可列式求解. 【详解】由题意，设这两个数为，则， 解得或， 故这两个数是4和16. 故选:B. 4.设等比数列的公比为，，则=(  ) A.1 B. C. D. 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式代入求解即可. 【详解】由题意可得，，解得. 故选:B. 5.在等比数列中，，公比，则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】∵等比数列的通项公式为， ∴. 故选:A. 6.在等比数列中，已知首项为2，且，求(  ) A.4 B.8 C. D. 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义和通项公式求值即可. 【详解】在等比数列中，由， 得，即， 所以公比，所以， 故选:D. 7.若数列，a，b，c，是等比数列，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列性质列方程求解即可. 【详解】因为数列，a，b，c，是等比数列， 所以，则 因为成等比数列，则， 所以，所以. 故答案为:. 8.已知等比数列中，，，求的通项公式. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】设等比数列的公比为， 已知，， 因为，可得：，解得， 由，可得，即，解得， 所以. 9.在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意，先求出等比数列的首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解； (2)根据题意，结合等比数列的通项公式，即可求解； (3)根据题意，结合等比数列的通项公式，先求得公比，继而求得首项，即可求得等比数列的通项公式. 【详解】(1)因为等比数列的前三项分别为， 所以，，故； (2)因为等比数列中， ， 所以； (3)因为等比数列中，， 所以，所以，， 所以. 【考点2 等比数列的前n项和公式及性质】 10.在等比数列中，若，则(  ) A.6 B. C.18 D. 【答案】B 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】在等比数列中，，解得. 故选:B. 11.等比数列中，，，则(  ) A.15 B.16 C.31 D.32 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式进行计算. 【详解】已知在等比数列中，，， 所以， 故选:A. 12.等比数列的前10项和是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，先求得等比数列的首项和公比，结合等比数列的前项和公式，求值即可. 【详解】由等比数列，可得首项，公比， 则. 故选:C. 13.在等比数列中，已知，且，则该数列的前5项和(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，先求出公比，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解.. 【详解】因为等比数列中，， 所以公比， 所以. 故选:B. 14.已知等比数列的公比是3，前5项和是363，则的首项是(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式求解即可. 【详解】等比数列的公比是3，前5项和是363， 则，即， 解得， 故选:A. 15.已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则(  ) A. B.4 C. D.6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求出，进而可得答案． 【详解】因为，公比，则， 所以， 故选:D． 16.已知等比数列的公比，且前项和为，则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式求解即可. 【详解】因为等比数列的公比， 所以，. 进而. 故选:A. 17.已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 【答案】 【分析】利用韦达定理求出的值，再结合等比数列的性质得到的值. 【详解】因为与是方程的两个实数根，所以， 在等比数列中，， 故答案为:15. 18.设等比数列的前n项和为，若，，则其公比________． 【答案】1或 【分析】根据等比数列的基本量计算解方程即得公比的值． 【详解】因为，， 若，则，符合题意， 若，则，解得， 故答案为:1或． 19.在等比数列中，，公比，则前4项和_______________. 【答案】 【分析】根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】在等比数列中，，公比， 则， 所以前4项和. 故答案为:. 20.已知数列的通项公式为． (1)求数列前10项和； (2)在等比数列中，已知，，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意结合等差数列的定义得出数列为等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的求和公式即可得解. (2)求出，结合等比数列的定义求出公比，代入等比数列的通项公式即可得解. 【详解】(1)数列的通项公式为， ，， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， ，则. (2)数列的通项公式为， 则，，所以， 等比数列中，，， 设等比数列的公比为， 则， 数列的通项公式. 【考点1 等比数列的概念及通项公式】 21.成等比数列，则(  ) A. B. C.或 D. 【答案】C 【分析】根据等比中项的概念求出的值即可. 【详解】已知成等比数列， 则，解得， 当时，由，得， 此时， 当时，由，得， 此时， 所以或， 故选:C. 22.“”是“a，G，b三个数成等比数列”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充要条件与等比数列的定义进行判断． 【详解】成等比数列，因为G可能为0， 成等比数列． ∴“”是“a，G，b三个数成等比数列”的必要不充分条件. 故选:B. 23.如果一个数列既是等差数列又是等比数列，则此数列(  ) A.为常数数列 B.为非零的常数数列 C.存在且唯一 D.不存在 【答案】B 【分析】依据等差数列和等比数列的定义来分析. 【详解】设该数列为，公差为，公比为， 根据等差数列定义：， 根据等比数列定义：（），即， 将代入中，可得， 即对任意恒成立， 所以且，即， 又，则此数列是非零的常数数列，但并非唯一（如常数列1，1，1，…和2，2，2，…均满足）. 故选:B. 24.在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为(  ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求解. 【详解】设等差数列的公差为，且， 已知，，成等比数列，可得， 所以， 化简得，解得或， 当时，可得， 当时，可得， 综上，的通项公式为或. 故选:D. 25.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的中项求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 又因为数列是等比数列，所以，则， 又因为在等比数列中，奇数项的符号必须相同，即， 所以，所以. 故选:A. 26.已知三个数成递增的等比数列，它们的和是13，积是27，则公比______. 【答案】3 【分析】根据题意，结合等比数列的概念和通项公式，列式即可求解. 【详解】因为三个数成递增的等比数列，设公比为，则， 所以，解得， 所以， 所以，所以， 整理得，即， 解得（舍）或. 故答案为:3. 27.已知是等比数列，是方程的两个根，则 ______. 【答案】 【分析】根据题意，结合一元二次方程根与系数的关系，及等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，是方程的两个根， 所以，则，故， 所以. 故答案为:. 28.在等比数列中，，，求的值. 【答案】64或1 【分析】根据等比数列的通项公式和性质求解即可. 【详解】假设该等比数列的公比为，由题可知：， 则，∴或， ∴或， 因此或. 29.已知数列的前项和为，且. (1)求的值； (2)设，证明数列为等比数列，并求通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】(1)根据与的关系求解即可. (2)由，求出，从而能证明数列为首项6，公比2的等比数列，求出通项公式. 【详解】(1)因为， 所以； ； . (2)因为， 两式相减得，即， 设，又，则，且， 所以为首项6，公比2的等比数列，， 故. 30.已知数列的首项为2，且满足， ， (1)求数列的通项公式； (2)若=，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据等比数列的定义可得该数列为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. (2)由(1)可得，则，根据等差数列的定义可得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】(1)因为数列满足，所以该数列为等比数列， 且该数列的首项为2，公比为2， 所以该数列的通项公式. (2)因为，所以， 则， 所以， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以数列的前项和. 31.在数列中，，，(为常数，)，且，，成公比不等于1的等比数列． (1)求此数列通项公式； (2)求此数列前7项的和． 【答案】(1) (2)49 【分析】(1)利用递推关系判断出数列为等差数列，将，， 用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c的值，利用等差数列的通项公式即可求解. (2)根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】(1)由，，可得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 则该数列的通项公式为， 所以，． 又，，成公比不等于1的等比数列， 即，解得或， 当时，不符合题意，舍去， 所以，所以该数列的通项公式为. (2)因为为等差数列，且，， 所以该数列前7项的和. 【考点2 等比数列的前n项和公式及性质】 32.在等比数列中，已知，，则(  ) A.600 B.480 C.360 D.240 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式求出，进而可得. 【详解】设等比数列的公比为， 已知，， 又， 所以，解得， 所以， 故选:B. 33.设等比数列的前项和为，若，则(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据等比数列的片段和公式求解即可. 【详解】在等比数列中，， 则有成等比数列， 所以成等比数列， 即，解得， 则. 故选:D. 34.若为等比数列的前n项和，已知，则(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据已知等式求出等比数列的公比，再利用等比数列通项公式和前项和公式计算求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为，且， 所以，因为，所以，解得：， 所以. 故选:C. 35.在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是(  ) A.150 B.200 C.250 D.300 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列奇数项、偶数项和的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，，且公比， 所以， 所以. 故选:B. 36.已知，则(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用等比数列的求和公式化简，从而得解. 【详解】因为 ， 所以. 故选:D. 37.已知等比数列的前项和是，，，则等于(  ) A.8 B.12 C.16 D.24 【答案】C 【分析】利用等比数列的片段和性质求解即可； 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C 38.在等比数列中，若，，则_______. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式结合已知条件求出该数列的首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 因为，， 解得，又，解得， 所以. 故答案为:511. 39.设是等比数列的前n项和，若，，则__________． 【答案】60 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的求和公式，分，两种情况，计算，可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题意： ①若时，则，方程组无解，故不符合题意； ②若时，则 ，解得， 又， 即，解得. 故答案为:60 40.已知等比数列的前n项和为，且成等差数列，则数列的公比q＝________． 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，且成等差数列， 则， 因为不等于， 则或（舍）， 综上所述： 故答案为:． 41.记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据数列前项和与通项的关系求解即可， (2)先证明数列为等比数列，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】(1)为数列的前n项和，， 当时，； 当时，，验证时成立， 故数列的通项公式为． (2)数列满足， 则， 因为，且 所以数列是首项为9，公比为9的等比数列， 故数列的前项和. 42.已知为等差数列，为等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据等差数列，等比数列的定义，通项公式即可求解. (2)根据等差数列和等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】(1)因为为等差数列，，，所以公差， 则通项公式为； 因为为等比数列，，，所以公比， 则通项公式为． (2)由(1)得， 则. 43.设数列的前n项和且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用数列前项和与的关系以及等差数列的性质来确定数列的类型，进而根据等比数列通项公式求； (2)根据等比数列的前项和公式求解. 【详解】(1)已知， 当时，，即； 当时，，即，则， 因为，，成等差数列， 所以，即，解得， 当时，根据，可得， 则， 化简可得:，由题意，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. (2)数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 1.(2025年山东省春季高考数学真题)现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】根据题意该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，其前5项和．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【详解】根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为，因为她5天共织布31尺，则， 解得，则. 故选:C. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)若成等比数列，则实数的值是(  ) A. B. C.6或－6 D.8或－8 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】若成等比数列， 则， 解得. 故选:A. 3.(2026年山东省春季高考数学真题)已知等比数列的前n项和是(C为常数) (1)求常数C的值. (2)若，求n的最小值. 【答案】(1)1 (2)7 【分析】(1)根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. (2)根据(1)求出，再根据不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为等比数列，前n项和是(为常数)， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. 【小问2详解】 由(1)知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 4.(2024年山东省春季高考数学真题)在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比数列的通项公式求出，即可求出； (2)先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【详解】解:(1)因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或(舍) ， 所以. (2)因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $